Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

| | | |

Cálculo I

2 Limites 2.2 Regras para o cálculo de limites 2.4 Limites no infinito

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.3 Limites laterais

Seja dada uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(a,x_{0})$ . O limite lateral à esquerda de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x_% {0}^{-}}}f(x)

(2.95)

e é a tendência da função apenas para pontos $x<x_{0}$ (consultemos a Figura 2.5). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{-}}f(x)=L

(2.96)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.5: Limite lateral à esquerda.

Para uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(x_{0},b)$ , o limite lateral à direita de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_% {0}^{+}}}f(x)

(2.97)

e é a tendência da função apenas para pontos $x>x_{0}$ (consultemos a Figura 2.6). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{+}}f(x)=L,

(2.98)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Observação 2.3.1.(Funções constantes e da função identidade)

Por inferência direta, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}k=k

(2.99)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}x=x_{0},

(2.100)

onde $x_{0}$ e $k$ são quaisquer números reais dados.

Exemplo 2.3.1.(Limite do valor absoluto)

Vamos calcular

\lim_{x\to 0^{-}}|x|.

(2.101)

Por definição (consultemos a Figura 2.7), temos

|x|:=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.102)

Como estamos interessados no limite lateral à esquerda de $x=0$ , trabalhamos com $x<0$ e, então

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\|x\|=\lim_{x\to 0^{-}}(-x)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\lim_{x\to 0^{-}}x=0.$		(2.104)

Analogamente, calculamos

\lim_{x\to 0^{+}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}x=0.

(2.105)

Verifique!

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x), x, 0, '-')

Código 18: Python

⬇

1limit(abs(x), x, 0, '+')

Teorema 2.3.1.(Existência e os limites laterais)

Existe o limite de uma dada função $f$ no ponto $x=x_{0}$ e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L

(2.106)

se, e somente se, existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ . Escrevemos

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L\in\mathbb{R}$		(2.107)
	$\displaystyle\text{}\quad\Leftrightarrow$		(2.108)
	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\in\mathbb{R}.$		(2.109)

Demonstração.

A demonstração foge dos objetivos destas notas de aula e pode ser encontrada em livros de Análise Matemática. Entretanto, o resultado é intuitivo e pode ser compreendido a partir da noção de limite. Vamos começar pela implicação “ $\Rightarrow$ ”. Suponha que existe o limite de $f$ no ponto $x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.110)

Então, por definição, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x\neq x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ (consultemos a Figura 2.8). Isto implica que $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ e, também, para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ . Logo, existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.111)

Agora, vamos provar a recíproca, i.e., a implicação “ $\Leftarrow$ ”. Suponha que existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.112)

Então, por definição, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , i.e. para todo $x$ no intervalo $(x_{0}-\delta^{-},x_{0})$ , para um $\delta^{-}$ suficientemente pequeno. Analogamente, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , i.e. para todo $x$ no intervalo $(x_{0},x_{0}+\delta^{+})$ , com $\delta^{+}$ suficientemente pequeno (consultemos a Figura 2.9). Então, tomando $\delta=\min\{\delta^{-},\delta^{+}\}$ , temos que $f(x)$ é igualmente próximo de $L$ , para todo $x$ no intervalo $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ , com $x\neq x_{0}$ . Logo, existe o limite de $f$ no ponto $x_{0}$ e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.113)

∎

Exemplo 2.3.2.(Limite da função valor absoluto – continuação)

No exemplo anterior (Exemplo 2.3.1), vimos que

\lim_{x\to 0^{-}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}|x|=0.

(2.114)

Logo, pelo teorema acima (Teorema 2.3.1), podemos concluir que

\lim_{x\to 0}|x|=0.

(2.115)

Exemplo 2.3.3.

Vamos verificar a existência de

\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}.

(2.116)

Começamos pelo limite lateral à esquerda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{-}}-1=-1.$		(2.118)

Agora, calculando o limite lateral à direta, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}1=1.$		(2.120)

Como os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes, concluímos que não existe o limite de $|x|/x$ no ponto $x=0$ . Consultemos a Figura 2.10.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x)/x, x, 0)

Observemos que, por padrão, o SymPy calcula o limite lateral à direita.

Código 20: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '-')

-1

Código 21: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '+')

Observação 2.3.2.(Regras de cálculo dos limites laterais)

As regras básicas para o cálculo de limites bilaterais são estendidas para limites laterais. I.e., se

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=L_{1}

(2.121)

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)=L_{2},

(2.122)

então valem a:

•

regra da multiplicação por um escalar

$\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}kf(x)=k\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=kL_{1},$ (2.123)

para qualquer número real $k$ .
•

regra da soma/subtração

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.124)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$ (2.125)
•

regra do produto

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.126)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.127)
•

regra do quociente

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}^{% \pm}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$ (2.128)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.129)

desde que $L_{2}\neq 0$ .
•

regra da potenciação

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(% x)\right)^{s}$ (2.130)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.131)

se, adicionalmente, $L_{1}^{s}$ é um número real.

2.3.1 Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Então, infira o valores de

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Solução 0.

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$

Para valores $x<-2$ e suficientemente próximos de $-2$ , podemos observar que $f(x)$ fica arbitrariamente próximo de $1$ . Concluímos que

$\lim_{x\to-2^{-}}=1.$ (2.132)
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$

Mesmo sendo $f(-1)=2$ , observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>-1$ e suficientemente próximos de $-1$ . Logo,

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=1.$ (2.133)
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $2$ , se escolhemos valores de $x<1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2.$ (2.134)

Notamos também que, neste caso, $f(x)$ não tende para $f(1)=1$ quando $x$ tende a $1$ pela esquerda.
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.135)

Aqui, $f(x)\to f(1)=1$ quando $x\to 1^{+}$ .
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Nos itens anteriores, vimos que

$2=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.136)

Logo, concluímos que este limite não existe, e escrevemos

$\not\exists\lim_{x\to 1}f(x).$ (2.137)

ER 2.3.2.

Calcule $\lim_{x\to-1}f(x)$ para

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}-1&,x<-1,\\ x&,x>-1.\end{array}\right.

(2.138)

Solução 0.

A função $f$ tem comportamentos distintos para valores à esquerda e à direita de $x_{0}=-1$ . Portanto, para calcularmos $\lim_{x\to-1}f(x)$ precisamos calcular os limites laterais. Temos:

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}(x+1)^{2}-1$		(2.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1+1)^{2}-1=-1,$		(2.140)

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}x$		(2.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(2.142)

Como ambos os limites laterais são iguais a $-1$ , concluímos que

\lim_{x\to-1}f(x)=-1.

(2.143)

2.3.2 Exercícios

E. 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$
f)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$ ; d) $2$ ; e) $1$ ; f) $\nexists$

E. 2.3.2.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x&,x>1.\end{array}\right.

(2.144)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$

E. 2.3.3.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x+1&,x>1,\end{array}\right.

(2.145)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $3$ ; c) $\nexists$

E. 2.3.4.

Calcule

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{2|x|}.

(2.146)

$-\frac{1}{2}$

E. 2.3.5.

Calcule

\lim_{x\to-1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}.

(2.147)

O que pode-se dizer sobre o limite à esquerda?

$0$ ; Não está definido, pois o domínio de $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ é $[-1,1]$ .

E. 2.3.6.

Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação. Se existem

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=L$		(2.148)
	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}g(x)=M$		(2.149)

então

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)+g(x)=L+M.

(2.150)

Justifique sua resposta.

Falso. Dica: construa um contraexemplo para mostrar que a afirmação não é verdadeira.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Cálculo I

2 Limites 2.2 Regras para o cálculo de limites 2.4 Limites no infinito

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.3 Limites laterais

Seja dada uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(a,x_{0})$ . O limite lateral à esquerda de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x_% {0}^{-}}}f(x)

(2.95)

e é a tendência da função apenas para pontos $x<x_{0}$ (consultemos a Figura 2.5). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{-}}f(x)=L

(2.96)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Para uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(x_{0},b)$ , o limite lateral à direita de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_% {0}^{+}}}f(x)

(2.97)

e é a tendência da função apenas para pontos $x>x_{0}$ (consultemos a Figura 2.6). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{+}}f(x)=L,

(2.98)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Observação 2.3.1.(Funções constantes e da função identidade)

Por inferência direta, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}k=k

(2.99)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}x=x_{0},

(2.100)

onde $x_{0}$ e $k$ são quaisquer números reais dados.

Exemplo 2.3.1.(Limite do valor absoluto)

Vamos calcular

\lim_{x\to 0^{-}}|x|.

(2.101)

Por definição (consultemos a Figura 2.7), temos

|x|:=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.102)

Como estamos interessados no limite lateral à esquerda de $x=0$ , trabalhamos com $x<0$ e, então

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\|x\|=\lim_{x\to 0^{-}}(-x)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\lim_{x\to 0^{-}}x=0.$		(2.104)

Analogamente, calculamos

\lim_{x\to 0^{+}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}x=0.

(2.105)

Verifique!

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x), x, 0, '-')

Código 18: Python

⬇

1limit(abs(x), x, 0, '+')

Teorema 2.3.1.(Existência e os limites laterais)

Existe o limite de uma dada função $f$ no ponto $x=x_{0}$ e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L

(2.106)

se, e somente se, existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ . Escrevemos

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L\in\mathbb{R}$		(2.107)
	$\displaystyle\text{}\quad\Leftrightarrow$		(2.108)
	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\in\mathbb{R}.$		(2.109)

Demonstração.

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.110)

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.111)

Agora, vamos provar a recíproca, i.e., a implicação “ $\Leftarrow$ ”. Suponha que existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.112)

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.113)

∎

Exemplo 2.3.2.(Limite da função valor absoluto – continuação)

No exemplo anterior (Exemplo 2.3.1), vimos que

\lim_{x\to 0^{-}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}|x|=0.

(2.114)

Logo, pelo teorema acima (Teorema 2.3.1), podemos concluir que

\lim_{x\to 0}|x|=0.

(2.115)

Exemplo 2.3.3.

Vamos verificar a existência de

\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}.

(2.116)

Começamos pelo limite lateral à esquerda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{-}}-1=-1.$		(2.118)

Agora, calculando o limite lateral à direta, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}1=1.$		(2.120)

Como os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes, concluímos que não existe o limite de $|x|/x$ no ponto $x=0$ . Consultemos a Figura 2.10.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x)/x, x, 0)

Observemos que, por padrão, o SymPy calcula o limite lateral à direita.

Código 20: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '-')

-1

Código 21: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '+')

Observação 2.3.2.(Regras de cálculo dos limites laterais)

As regras básicas para o cálculo de limites bilaterais são estendidas para limites laterais. I.e., se

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=L_{1}

(2.121)

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)=L_{2},

(2.122)

então valem a:

•

regra da multiplicação por um escalar

$\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}kf(x)=k\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=kL_{1},$ (2.123)

para qualquer número real $k$ .
•

regra da soma/subtração

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.124)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$ (2.125)
•

regra do produto

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.126)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.127)
•

regra do quociente

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}^{% \pm}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$ (2.128)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.129)

desde que $L_{2}\neq 0$ .
•

regra da potenciação

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(% x)\right)^{s}$ (2.130)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.131)

se, adicionalmente, $L_{1}^{s}$ é um número real.

2.3.1 Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Então, infira o valores de

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Solução 0.

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$

Para valores $x<-2$ e suficientemente próximos de $-2$ , podemos observar que $f(x)$ fica arbitrariamente próximo de $1$ . Concluímos que

$\lim_{x\to-2^{-}}=1.$ (2.132)
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$

Mesmo sendo $f(-1)=2$ , observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>-1$ e suficientemente próximos de $-1$ . Logo,

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=1.$ (2.133)
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $2$ , se escolhemos valores de $x<1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2.$ (2.134)

Notamos também que, neste caso, $f(x)$ não tende para $f(1)=1$ quando $x$ tende a $1$ pela esquerda.
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.135)

Aqui, $f(x)\to f(1)=1$ quando $x\to 1^{+}$ .
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Nos itens anteriores, vimos que

$2=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.136)

Logo, concluímos que este limite não existe, e escrevemos

$\not\exists\lim_{x\to 1}f(x).$ (2.137)

ER 2.3.2.

Calcule $\lim_{x\to-1}f(x)$ para

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}-1&,x<-1,\\ x&,x>-1.\end{array}\right.

(2.138)

Solução 0.

A função $f$ tem comportamentos distintos para valores à esquerda e à direita de $x_{0}=-1$ . Portanto, para calcularmos $\lim_{x\to-1}f(x)$ precisamos calcular os limites laterais. Temos:

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}(x+1)^{2}-1$		(2.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1+1)^{2}-1=-1,$		(2.140)

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}x$		(2.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(2.142)

Como ambos os limites laterais são iguais a $-1$ , concluímos que

\lim_{x\to-1}f(x)=-1.

(2.143)

2.3.2 Exercícios

E. 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$
f)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$ ; d) $2$ ; e) $1$ ; f) $\nexists$

E. 2.3.2.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x&,x>1.\end{array}\right.

(2.144)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$

E. 2.3.3.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x+1&,x>1,\end{array}\right.

(2.145)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $3$ ; c) $\nexists$

E. 2.3.4.

Calcule

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{2|x|}.

(2.146)

$-\frac{1}{2}$

E. 2.3.5.

Calcule

\lim_{x\to-1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}.

(2.147)

O que pode-se dizer sobre o limite à esquerda?

$0$ ; Não está definido, pois o domínio de $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ é $[-1,1]$ .

E. 2.3.6.

Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação. Se existem

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=L$		(2.148)
	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}g(x)=M$		(2.149)

então

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)+g(x)=L+M.

(2.150)

Justifique sua resposta.

Falso. Dica: construa um contraexemplo para mostrar que a afirmação não é verdadeira.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Pedro H A Konzen

| | | |

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$		(2.125)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.127)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}^{% \pm}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$		(2.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.129)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(% x)\right)^{s}$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.131)