Cálculo I

2 Limites 2.2 Regras para o cálculo de limites 2.4 Limites no infinito

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2.3 Limites laterais

Seja dada uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(a,x_{0})$ . O limite lateral à esquerda de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x_% {0}^{-}}}f(x)

(2.95)

e é a tendência da função apenas para pontos $x<x_{0}$ (consultemos a Figura 2.5). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{-}}f(x)=L

(2.96)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.5: Limite lateral à esquerda.

Para uma função $f$ definida para todo $x$ em um intervalo aberto $(x_{0},b)$ , o limite lateral à direita de $f$ no ponto $x_{0}$ é denotado por

\lim_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_% {0}^{+}}}f(x)

(2.97)

e é a tendência da função apenas para pontos $x>x_{0}$ (consultemos a Figura 2.6). Mais precisamente, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{+}}f(x)=L,

(2.98)

quando $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Observação 2.3.1.(Funções constantes e da função identidade)

Por inferência direita, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}k=k

(2.99)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{\pm}}x=x_{0},

(2.100)

onde $x_{0}$ e $k$ são quaisquer números reais dados.

Exemplo 2.3.1.(Limite do valor absoluto)

Vamos calcular

\lim_{x\to 0^{-}}|x|.

(2.101)

Por definição (consultemos a Figura 2.7), temos

|x|:=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.102)

Como estamos interessados no limite lateral à esquerda de $x=0$ , trabalhamos com $x<0$ e, então

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\|x\|=\lim_{x\to 0^{-}}(-x)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\lim_{x\to 0^{-}}x=0.$		(2.104)

Analogamente, calculamos

\lim_{x\to 0^{+}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}x=0.

(2.105)

Código 18: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x), x, 0, '-')

⬇

1limit(abs(x), x, 0, '+')

Teorema 2.3.1.(Existência e os limites laterais)

Existe o limite de uma dada função $f$ no ponto $x=x_{0}$ e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L

(2.106)

se, e somente se, existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ . Escrevemos

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L\in\mathbb{R}$		(2.107)
	$\displaystyle\text{}\quad\Leftrightarrow$		(2.108)
	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\in\mathbb{R}.$		(2.109)

Demonstração.

A demonstração foge dos objetivos destas notas de aula e pode ser encontrada em livros de Análise Matemática. Entretanto, o resultado é intuitivo e pode ser compreendido a partir da noção de limite. Vamos começar pela implicação “ $\Rightarrow$ ”. Suponha que existe o limite de $f$ no ponto $x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.110)

Então, por definição, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x\neq x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ (consultemos a Figura 2.8). Isto implica que $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ e, também, para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ . Logo, existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.111)

Agora, vamos provar a recíproca, i.e., a implicação “ $\Leftarrow$ ”. Suponha que existem e são iguais a $L$ os limites laterais à esquerda e à direita de $f$ no ponto $x=x_{0}$ , i.e.

\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.112)

Então, por definição, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , i.e. para todo $x$ no intervalo $(x_{0}-\delta^{-},x_{0})$ , para um $\delta^{-}$ suficientemente pequeno. Analogamente, $f(x)$ é arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , i.e. para todo $x$ no intervalo $(x_{0},x_{0}+\delta^{+})$ , com $\delta^{+}$ suficientemente pequeno (consultemos a Figura 2.9). Então, tomando $\delta=\min\{\delta^{-},\delta^{+}\}$ , temos que $f(x)$ é igualmente próximo de $L$ , para todo $x$ no intervalo $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ , com $x\neq x_{0}$ . Logo, existe o limite de $f$ no ponto $x_{0}$ e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.113)

∎

Exemplo 2.3.2.(Limite da função valor absoluto – continuação)

No exemplo anterior (Exemplo 2.3.1), vimos que

\lim_{x\to 0^{-}}|x|=\lim_{x\to 0^{+}}|x|=0.

(2.114)

Logo, pelo teorema acima (Teorema 2.3.1), podemos concluir que

\lim_{x\to 0}|x|=0.

(2.115)

Exemplo 2.3.3.

Vamos verificar a existência de

\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}.

(2.116)

Começamos pelo limite lateral à esquerda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{-}}-1=-1.$		(2.118)

Agora, calculando o limite lateral à direta, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\|x\|}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0^{+}}1=1.$		(2.120)

Como os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes, concluímos que não existe o limite de $|x|/x$ no ponto $x=0$ . Consultemos a Figura 2.10.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x)/x, x, 0)

Observemos que, por padrão, o SymPy calcula o limite lateral à direita.

Código 20: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '-')

-1

Código 21: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '+')

Observação 2.3.2.(Regras de cálculo dos limites laterais)

As regras básicas para o cálculo de limites bilaterais são estendidas para limites laterais. I.e., se

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=L_{1}

(2.121)

\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)=L_{2},

(2.122)

então valem a:

•

regra da multiplicação por um escalar

$\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}kf(x)=k\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=kL_{1},$ (2.123)

para qualquer número real $k$ .
•

regra da soma/subtração

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.124)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$ (2.125)
•

regra do produto

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.126)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.127)
•

regra do quociente

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}^{% \pm}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$ (2.128)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.129)

desde que $L_{2}\neq 0$ .
•

regra da potenciação

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(% x)\right)^{s}$ (2.130)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.131)

se, adicionalmente, $L_{1}^{s}$ é um número real.

2.3.1 Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Então, infira os valores de

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Resolução.

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}f(x)$

Para valores $x<-2$ e suficientemente próximos de $-2$ , podemos observar que $f(x)$ fica arbitrariamente próximo de $1$ . Concluímos que

$\lim_{x\to-2^{-}}=1.$ (2.132)
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$

Mesmo sendo $f(-1)=2$ , observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>-1$ e suficientemente próximos de $-1$ . Logo,

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=1.$ (2.133)
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $2$ , se escolhemos valores de $x<1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2.$ (2.134)

Notamos também que, neste caso, $f(x)$ não tende para $f(1)=1$ quando $x$ tende a $1$ pela esquerda.
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$

Observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x>1$ e suficientemente próximos de $1$ . Logo,

$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.135)

Aqui, $f(x)\to f(1)=1$ quando $x\to 1^{+}$ .
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Nos itens anteriores, vimos que

$2=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.136)

Logo, concluímos que este limite não existe, e escrevemos

$\not\exists\lim_{x\to 1}f(x).$ (2.137)

ER 2.3.2.

Calcule $\lim_{x\to-1}f(x)$ para

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}-1&,x<-1,\\ x&,x>-1.\end{array}\right.

(2.138)

Resolução.

A função $f$ tem comportamentos distintos para valores à esquerda e à direita de $x_{0}=-1$ . Portanto, para calcularmos $\lim_{x\to-1}f(x)$ precisamos calcular os limites laterais. Temos:

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}(x+1)^{2}-1$		(2.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1+1)^{2}-1=-1,$		(2.140)

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}x$		(2.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(2.142)

Como ambos os limites laterais são iguais a $-1$ , concluímos que

\lim_{x\to-1}f(x)=-1.

(2.143)

2.3.2 Exercícios

E. 2.3.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$
f)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$ ; d) $2$ ; e) $1$ ; f) $\nexists$

E. 2.3.2.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x&,x>1.\end{array}\right.

(2.144)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$

E. 2.3.3.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x+1&,x>1,\end{array}\right.

(2.145)

calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $3$ ; c) $\nexists$

E. 2.3.4.

Calcule

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{2|x|}.

(2.146)

$-\frac{1}{2}$

E. 2.3.5.

Calcule

\lim_{x\to-1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}.

(2.147)

O que pode-se dizer sobre o limite à esquerda?

$0$ ; Não está definido, pois o domínio de $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ é $[-1,1]$ .

E. 2.3.6.

Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação. Se existem

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=L$		(2.148)
	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}g(x)=M$		(2.149)

então

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)+g(x)=L+M.

(2.150)

Justifique sua resposta.

Falso. Dica: construa um contraexemplo para mostrar que a afirmação não é verdadeira.

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Cálculo I

2.3 Limites laterais

Observação 2.3.1.(Funções constantes e da função identidade)

Exemplo 2.3.1.(Limite do valor absoluto)

Teorema 2.3.1.(Existência e os limites laterais)

Demonstração.

Exemplo 2.3.2.(Limite da função valor absoluto – continuação)

Exemplo 2.3.3.

Observação 2.3.2.(Regras de cálculo dos limites laterais)

2.3.1 Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Resolução.

ER 2.3.2.

Resolução.

2.3.2 Exercícios

E. 2.3.1.

E. 2.3.2.

E. 2.3.3.

E. 2.3.4.

E. 2.3.5.

E. 2.3.6.

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	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$		(2.125)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.127)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}^{% \pm}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$		(2.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.129)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}f(% x)\right)^{s}$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.131)