Cálculo I

2 Limites 2.5 Limites infinitos 2.7 Limites e desigualdades

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2.6 Continuidade

2.6.1 Definição de função contínua

Dizemos que uma função $f$ é contínua em um ponto $x_{0}$ , quando $f(x_{0})$ está definida, existe o limite

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}}f(x)

(2.300)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}}f(x)=f(x_{0}).

(2.301)

Usando de limites laterais, definimos os conceitos de função contínua à esquerda ou à direta. Quando a função $f$ não é contínua em um dado ponto $x_{0}$ , dizemos que $f$ é descontínua neste ponto.

Exemplo 2.6.1.

Consideremos a seguinte função

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}&,x\neq 2,\\ -4&,x=2.\end{array}\right.

(2.302)

Na Figura 2.27, temos um esboço do gráfico de $f$ .

Refer to caption — Figura 2.27: Gráfico da função $f$ definida no Exemplo 2.6.1.

Estudemos a continuidade desta função nos seguintes pontos:

a)

$x=-2$ . Neste ponto, temos $f(-2)=-1$ e

$\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$ (2.303)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-4}{-1\cdot(-4)}=-1=f(-2).$ (2.304)

Com isso, concluímos que $f$ é contínua no ponto $x=-2$ .
b)

$x=-1$ . Neste ponto,

$\displaystyle f(-1)=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)}$ (2.305)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0}$ (2.306)

logo, f(-1) não está definido e, portanto, $f$ é descontínua neste ponto. Observemos que $f$ tem uma assíntota vertical em $x=-1$ , verifique!
c)

$x=2$ . Neste ponto, temos $f(2)=-4$ e

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$ (2.307)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}\neq f(2).$ (2.308)

Portanto, concluímos que $f$ é descontínua em $x=2$ .

Uma função $f$ é dita ser contínua em um intervalo $(a,b)$ , quando $f$ é contínua em todos os pontos $x_{0}\in(a,b)$ . Para intervalos, $[a,b)$ , $(a,b]$ ou $[a,b]$ , empregamos a noção de continuidade lateral nos pontos de extremos fechados dos intervalos. Quando uma função é contínua em $(-\infty,\infty)$ , dizemos que ela é contínua em toda parte.

Exemplo 2.6.2.(Continuidade da função valor absoluto)

A função valor absoluto é contínua em toda parte. De fato, ela é definida por

|x|=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.309)

Consultemos o esboço do gráfico desta função na Figura 2.28.

Observamos que para $x\in(-\infty,0)$ temos $|x|=x$ que é contínua para todos estes valores de $x$ . Também, para $x\in(0,\infty)$ temos $|x|=-x$ que é contínua para todos estes valores de $x$ . Agora, em $x=0$ , temos $|0|=0$ e

	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\|x\|=\lim_{x\to 0^{+}}x=0,$		(2.310)
	$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\|x\|=\lim_{x\to 0^{-}}-x=0.$		(2.311)

Logo,

\lim_{x\to 0}|x|=0=|0|.

(2.312)

Com tudo isso, concluímos que a função valor absoluto é contínua em toda parte.

2.6.2 Propriedades de funções contínuas

Se $f$ e $g$ são funções contínuas em $x=c_{0}$ e $k$ um número real, então também são contínuas em $x=x_{0}$ as funções:

a)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}k\cdot f$
b)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f\pm g$
c)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f\cdot g$
d)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f/g$ , se $g(x_{0})\neq 0$
e)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{k}$ , se existe $f^{k}(x_{0})$ .

Exemplo 2.6.3.

Temos que $f(x)=x$ e $g(x)=|x|$ são exemplos de funções contínuas em toda parte. Segue das propriedades acima que:

a)

$f_{a}(x)=2x$ é contínua em toda parte.
b)

$f_{b}(x)=x+|x|$ é contínua em toda parte.
c)

$f_{c}(x)=2x|x|$ é contínua em toda parte.
d)

$f_{d}(x)=\frac{|x|}{x}$ é contínua para todo $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
e)

$f_{e}(x)=x^{2}$ é contínua em toda parte.

Exemplo 2.6.4.

Polinômios são contínuos em toda parte. Isto é, se

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},

(2.313)

$a_{n}\neq 0$ , então

\lim_{x\to x_{0}}p(x)=p(x_{0}),

(2.314)

para qualquer $x_{0}\in\mathbb{R}$ . Por exemplo,

\lim_{x\to-1}2-x^{2}+x^{5}=2-(-1)^{2}+(-1)^{5}=0.

(2.315)

Exemplo 2.6.5.

Funções racionais $r(x)=p(x)/q(x)$ são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Por exemplo, a função racional

f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-1},

(2.316)

é descontínua nos pontos

x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1,

(2.317)

pois $f$ não está definida nestes pontos. Agora, para $x_{0}\neq 1$ e $x_{0}\neq-1$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.318)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to x_{0}}\frac{x-1}{x^{2}-1}$		(2.319)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x_{0}-1}{x_{0}^{2}-1}=f(x_{0}).$		(2.320)

Por exemplo,

\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{0-1}{0^{2}-1}=1=f(0).

(2.321)

Ou seja, $f$ é contínua nos intervalos $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$ , que coincide com seu domínio.

Observação 2.6.1.(Continuidade de funções elementares)

São contínuas em todo seu domínio as funções potência, polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

Se $f$ é contínua no ponto $x_{0}$ e $g$ é contínua no ponto $f(x_{0})$ , então a função composta $f\circ g$ é contínua no ponto $x_{0}$ .

Exemplo 2.6.6.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$y=\sqrt{x^{2}-1}$ é descontínua nos pontos $x$ tais que

$x^{2}-1<0\Rightarrow-1<x<1.$ (2.322)

Isto é, esta função é contínua em $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .
b)

$\displaystyle y=\left|\frac{x-1}{x^{2}-1}\right|$ é descontínua nos pontos $x$ tais que

$x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1.$ (2.323)

Exemplo 2.6.7.

Podemos explorar a continuidade para calcularmos limites. Por exemplo,

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x+4}\cdot e^{\operatorname{sen}x}=\sqrt{\lim_{% x\to 0}(x+4)}\cdot e^{\operatorname{sen}(\lim_{x\to 0}x)}$		(2.324)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{4}\cdot e^{0}=2.$		(2.325)

Teorema do valor intermediário

O teorema do valor intermediário estabelece que qualquer função $f$ contínua dada em um intervalo $[a,b]$ , assume todos os valores entre $f(a)$ e $f(b)$ . Consultemos a Figura 2.29.

Teorema 2.6.1.(Teorema do valor intermediário)

Seja $f$ função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ . Se $d$ é um número entre $f(a)$ e $f(b)$ , então existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=d$ .

Exemplo 2.6.8.

Podemos afirmar que $f(x)=x^{3}-x-1$ tem (pelo menos) um zero no intervalo $(0,2)$ . De fato, $f$ é contínua no intervalo $[0,2]$ e, pelo teorema do valor intermediário, assume todos os valores entre $f(0)=-1<0$ e $f(2)=5>0$ . Observemos que $y=0$ está entre $f(0)$ e $f(2)$ . Consultemos a Figura 2.30.

2.6.3 Exercícios resolvidos

ER 2.6.1.

Encontre os pontos de continuidade da função

f(x)=\frac{|x|}{x}.

(2.326)

Resolução.

Observamos que a função é descontínua em $x=0$ , pois não está definida neste ponto. Agora, para $x<0$ , temos

f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1.

(2.327)

Ou seja, para $x<0$ a função é constante igual a $-1$ e, portanto, contínua.

Para $x>0$ , temos

f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1.

(2.328)

I.e., para $x>0$ a função é constante igual a $1$ e, portanto, contínua.

Concluímos que $f(x)$ é contínua em $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Faça o esboço do gráfico desta função!

ER 2.6.2.

Encontre os pontos de continuidade da função

f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right).

(2.329)

Resolução.

A função $f$ pode ser vista como a composição da função logaritmo natural $g(x)=\ln x$ com a função racional $\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{x-1}$ . Observamos que:

a)

a função logaritmo natural é contínua em todo o seu domínio, i.e. $g$ é contínua para todo $x>0$ ;
b)

a função racional $\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{x-1}$ é contínua para todo $x\neq 1$ .

Lembrando que a composição de funções contínuas é contínua, temos que a função $f(x)=g(h(x))$ é contínua nos pontos de continuidade da função $h$ tais que $h(x)>0$ , i.e. para $x\neq 1$ e

\frac{x+1}{x-1}>0.

(2.330)

Fazendo o estudo de sinal

vemos que $h(x)>0$ em $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ .

Em resumo, $h$ é contínua em $(0,\infty)$ e $g$ é contínua e positiva em $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ . A função $f=(h\circ g)$ é contínua na interseção destes conjuntos, i.e. $f$ é contínua em $(1,\infty)$ .

2.6.4 Exercícios

E. 2.6.1.

Encontre os pontos de continuidade da função

f(x)=\frac{x^{3}-27}{x^{2}-3x+2}.

(2.331)

$\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$ .

E. 2.6.2.

Encontre os pontos de continuidade da função

f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}-27}{x^{2}-3x+2}}.

(2.332)

$(1,2)\cup(3,\infty)$ .

E. 2.6.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}e^{x^{2}-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\sqrt{2}}\ln|x^{2}-1|$

a) $1$ ; b) $0$

E. 2.6.4.

Calcule

\lim_{x\to\pi}\ln\left(\frac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}-\cos x}{2}\right).

(2.333)

$0$

E. 2.6.5.

Calcule o valor de $c$ de forma que a seguinte função seja contínua em $x=1$ .

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{x-1}{x^{2}-1}&,x\neq 1\\ c&,x=1\end{array}\right.

(2.334)

$c=\frac{1}{2}$

E. 2.6.6.

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que $f(x)=\cos(x)-x$ tem (pelo menos) um zero no intervalo $(0,1)$ .

$f$ é contínua em $[0,1]$ , $f(0)=1>0$ e $f(1)=\cos(1)-1<0$ . Pelo teorema do valor intermediário, existe $c\in[0,1]$ tal que $f(c)=0$ .

E. 2.6.7.

O Teorema 2.6.1 (teorema do valor intermediário) tem como hipótese a continuidade da função $f$ no intervalo $[a,b]$ . O que pode acontecer se $f$ não for contínua neste intervalo? Dê um exemplo.

Se $f$ não for contínua em $[a,b]$ , então $f$ pode não assumir todos os valores entre $f(a)$ e $f(b)$ . Por exemplo, a função $f(x)=|x|/x$ definida no intervalo $[-1,1]$ é descontínua em $x=0$ e não assume o valor $0$ que está entre $f(-1)=-1$ e $f(1)=1$ .

E. 2.6.8.

No E.2.5.12, consideramos a equação da lei básica da radioatividade

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(2.335)

onde, $N=N(t)$ é o número de átomos no tempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ é o número de átomos presentes no tempo inicial $t=0$ e $\lambda>0$ é a constante de decaimento. Qual a tendência de $N=N(t)$ quando a taxa de decaimento $\lambda\to 0^{+}$ . E, qual a relação do resultado com o conceito de continuidade?

$N(t)\to N_{0}$ quando $\lambda\to 0^{+}$ . Para $\lambda=0$ , temos que $N(t)\equiv N_{0}$ , i.e. $N$ é contínua à direta em $\lambda=0$ .

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2.6 Continuidade

2.6.1 Definição de função contínua

Exemplo 2.6.1.

Exemplo 2.6.2.(Continuidade da função valor absoluto)

2.6.2 Propriedades de funções contínuas

Exemplo 2.6.3.

Exemplo 2.6.4.

Exemplo 2.6.5.

Observação 2.6.1.(Continuidade de funções elementares)

Exemplo 2.6.6.

Exemplo 2.6.7.

Teorema do valor intermediário

Teorema 2.6.1.(Teorema do valor intermediário)

Exemplo 2.6.8.

2.6.3 Exercícios resolvidos

ER 2.6.1.

Resolução.

ER 2.6.2.

Resolução.

2.6.4 Exercícios

E. 2.6.1.

E. 2.6.2.

E. 2.6.3.

E. 2.6.4.

E. 2.6.5.

E. 2.6.6.

E. 2.6.7.

E. 2.6.8.

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	$\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$		(2.303)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-4}{-1\cdot(-4)}=-1=f(-2).$		(2.304)

	$\displaystyle f(-1)=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)}$		(2.305)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0}$		(2.306)

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$		(2.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}\neq f(2).$		(2.308)