Cálculo I

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2.7 Límites y desigualdades

Si $f$ y $g$ son funciones tales que $f(x)\text{\textless}g(x)$ para todo $x$ en cierto intervalo abierto que contiene $x_{0}$ , excepto posiblemente en $x=x_{0}$ , y existen los límites de $f$ y $g$ en el punto $x=x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x){\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\leq}\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)\mathchar 46\relax

(2.336)

Observe que el proceso de tomar el límite no preserva la desigualdad estricta.

Ejemplo 2.7.1.

Las funciones $f(x)=x^{2}/3$ y $g(x)=x^{2}/2$ satisfacen que $f(x)<g(x)$ para todo $x\neq 0$ . Además, tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{e}\quad% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)=0\mathchar 46\relax

(2.337)

Observación 2.7.1.

La preservación de la desigualdad también ocurre para límites laterales. Más precisamente, si $f$ y $g$ son funciones tales que $f(x)<g(x)$ para todo $x<x_{0}$ y existen los límites laterales por la izquierda de $f$ y $g$ en el punto $x=x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}g(x)\mathchar 46\relax

(2.338)

Vale el resultado análogo para el límite lateral por la derecha y para límites en el infinito.

2.7.1 Límites de funciones acotadas

Si $f(x)\leq L$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene $x_{0}$ , excepto posiblemente en $x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\leq L\mathchar 46\relax

(2.339)

Resultados análogos valen para límites laterales y límites en el infinito.

Ejemplo 2.7.2.

Vamos a calcular el siguiente límite

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x\mathchar 46\relax

(2.340)

Como $|\mathop{\operator@font sen}\nolimits x|\leq 1$ , tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}=0,$		(2.341)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits x\geq\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{x\to\infty}-e^{-x}=0\mathchar 46\relax$		(2.342)

Luego, tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x=0\mathchar 46\relax

(2.343)

2.7.2 Teorema del sándwich

Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene $a$ , excepto posiblemente en $x=a$ (consultemos la Figura 2.31), y

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}g(x)=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{x\to a}h(x)=L,

(2.344)

entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.345)

Demostración.

De la preservación de la desigualdad y de la hipótesis $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}g(x)\leq\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(x)\leq\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{x\to a}h(x)

(2.346)

de donde

L\leq\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(x)\leq L

(2.347)

y, por lo tanto,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.348)

∎

Refer to caption — Figura 2.31: Teorema del sándwich.

Ejemplo 2.7.3.

Toda función $f$ definida en un intervalo abierto alrededor de $x=0$ , excepto quizá en $x=0$ , tal que $-1+x^{2}/2\leq f(x)\leq-1+x^{2}/3$ , tiene

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=-1\mathchar 46\relax

(2.349)

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

El teorema del sándwich también se aplica a límites laterales.

Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x=0\mathchar 46\relax

(2.350)

En efecto, comenzamos suponiendo $0<x<\pi/2$ . Tomando $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ y $P=(\cos x,\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)$ (consultemos la Figura 2.32), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng.}OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP,

(2.351)

i.e.

\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{2}<\frac{x}{2}\Rightarrow\mathop% {\operator@font sen}\nolimits x<x,

(2.352)

para todo $0<x<\pi/2$ .

Es cierto que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x<-x$ para $-\pi/2<x<0$ . Con ello y el resultado anterior, tenemos

\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq|x|,\quad-\pi/2<x<\pi/2\mathchar 46\relax

(2.353)

Recordando que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ es una función impar, tenemos

-|x|\leq-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(-x),\quad-\pi/2<x<\pi/2\mathchar 46\relax

(2.354)

Luego, de (2.353) y (2.354), tenemos

-|x|\leq\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq|x|\mathchar 46\relax

(2.355)

Por último, como

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}-|x|=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{x\to 0}|x|=0,

(2.356)

por el teorema del sándwich, concluimos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x=0\mathchar 46\relax

(2.357)

Observación 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

Del ejemplo anterior (Ejemplo 2.7.4), podemos mostrar que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\cos x=1\mathchar 46\relax

(2.358)

En efecto, de la identidad trigonométrica de ángulo mitad

\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos x% }{2}

(2.359)

tenemos

\cos x=1+2\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}\right)% \mathchar 46\relax

(2.360)

Entonces, aplicando las reglas de cálculo de límites, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\cos x=\mathop% {\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\left[1+2\mathop{\operator@font sen% }\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right]$		(2.361)
	$\displaystyle\text{}\quad=1+2\left[\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_% {x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)\right]^{2% }\mathchar 46\relax$		(2.362)

Ahora, hacemos el cambio de variable $y=x/2$ . En este caso, tenemos $y\to 0$ cuando $x\to 0$ y, entonces,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits\frac{x}{2}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{y\to 0}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits y=0\mathchar 46\relax

(2.363)

Entonces, volviendo a la ecuación (2.362), concluimos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\cos x=1\mathchar 46\relax

(2.364)

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ , $\cos x$ , $\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ , $\cot x$ , $\sec x$ y $\operatorname{cossec}x$ son continuas en todos los puntos de sus dominios. En particular, $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ son continuas en todas partes.

En efecto, de los resultados anteriores (Ejemplo 2.7.4 y Observación 2.7.3), tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x+a)$		(2.365)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \left(\cancelto{0}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}\cos a+\cancelto{1}{% \cos x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits a\right)$		(2.366)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits a\mathchar 46\relax$		(2.367)

Análogamente, podemos mostrar que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\cos x=\cos a$ (consulte el E.2.7.7). Lo que muestra que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ son continuas en todas partes.

La continuidad de las funciones $\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ , $\cot x$ , $\sec x$ y $\operatorname{cossec}x$ se sigue, entonces, de la continuidad de $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ y de las relaciones trigonométricas

	$\displaystyle\mathop{\operator@font tg}\nolimits x=\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}{\cos x}$		(2.368)
	$\displaystyle\cot x=\frac{\cos x}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}$		(2.369)
	$\displaystyle\sec x=\frac{1}{\cos x}$		(2.370)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}x=\frac{1}{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x}\mathchar 46\relax$		(2.371)

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Verificamos el siguiente resultado

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}{x}=1\mathchar 46\relax

(2.372)

Para verificar este resultado, calcularemos los límites laterales por la izquierda y por la derecha. Comenzamos con el límite lateral por la derecha y suponemos $0<x<\pi/2$ . Siendo los puntos $O=(0,0)$ , $P=(\cos x,\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)$ , $A=(1,0)$ y $T=(1,\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)$ (consultemos la Figura 2.33), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng. }OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP<\text{\'{A}rea % do tri\^{a}ng. }OAT\mathchar 46\relax

(2.373)

Es decir, tenemos

\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{% \operator@font tg}\nolimits x}{2}\mathchar 46\relax

(2.374)

Multiplicando por $2$ y dividiendo por $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ ³³3 $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x>0$ para todo $0<x<\pi/2$ ., obtenemos

1<\frac{x}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}<\frac{1}{\cos x}\mathchar 46\relax

(2.375)

Tomando los recíprocos, tenemos

1>\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}>\cos x\mathchar 46\relax

(2.376)

Ahora, pasando al límite,

1=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}1\geq\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\frac{\mathop{\operator@font sen% }\nolimits x}{x}\geq\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}% \cos x=1\mathchar 46\relax

(2.377)

Luego, concluimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}{x}=1\mathchar 46\relax

(2.378)

Ahora, usando el hecho de que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x/x$ es una función par, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}\frac{% \mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{x\to 0^{-}}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(-x)}{-x}$		(2.379)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{% +}}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}=1\mathchar 46\relax$		(2.380)

Calculados los límites laterales, concluimos lo que queríamos.

Ejemplo 2.7.5.

Con el resultado anterior y las reglas de cálculo de límites, tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0% \mathchar 46\relax

(2.381)

Consulte el E.2.7.4.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Sabendo que $x^{3}\leq f(x)\leq\sqrt{x}$ para $0<x<1$ , calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}f(x)\mathchar 46\relax

(2.382)

Resolución.

Por el teorema del sándwich, tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{x^{3}}\leq% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}f(x)\leq\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{\sqrt{x}}\mathchar 46\relax

(2.383)

Logo,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}f(x)=0\mathchar 46\relax

(2.384)

ER 2.7.2.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(2x)/x\mathchar 46\relax

(2.385)

Resolución.

Usando las reglas de cálculo de límites, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(2x)}{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m% }_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)}{x}\cdot\frac{2}{2}$		(2.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)}{2x}=2\cdot 1=2\mathchar 46\relax$		(2.387)

2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

Suponga que $1-x^{2}/3\leq u(x)\leq 1-x^{2}/2$ para todo $x\neq 0$ . Determine $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}u(x)$ .

$1$

E. 2.7.2.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}\cos x\mathchar 46\relax

(2.388)

$0$

E. 2.7.3.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits 3x}{6x}\mathchar 46\relax

(2.389)

$\frac{1}{2}$

E. 2.7.4.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}% \mathchar 46\relax

(2.390)

$0$

E. 2.7.5.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{6x}% \mathchar 46\relax

(2.391)

$0$

E. 2.7.6.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(x)}{x}\mathchar 46\relax

(2.392)

$0$

E. 2.7.7.

Use los hechos de que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x=0

(2.393)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\cos x=1

(2.394)

para mostrar que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\cos x=\cos a\mathchar 46\relax

(2.395)

Sugerencia: $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\cos x=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{y\to 0}\cos(a-y)$ , mediante el cambio de variable $y=a-x$ .

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Cálculo I

2.7 Límites y desigualdades

Ejemplo 2.7.1.

Observación 2.7.1.

2.7.1 Límites de funciones acotadas

Ejemplo 2.7.2.

2.7.2 Teorema del sándwich

Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Demostración.

Ejemplo 2.7.3.

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

Observación 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Ejemplo 2.7.5.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Resolución.

ER 2.7.2.

Resolución.

2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

E. 2.7.6.

E. 2.7.7.

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Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Demostración.

Ejemplo 2.7.3.

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

Ejemplo 2.7.4.(sen(x)→0, x→0)

Observación 2.7.3.(cos⁡(x)→1, x→0)

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Ejemplo 2.7.5.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Resolución.

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Resolución.

2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

E. 2.7.6.

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Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

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