Cálculo I

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2.7 Límites y desigualdades

Si $f$ y $g$ son funciones tales que $f(x)\text{\textless}g(x)$ para todo $x$ en cierto intervalo abierto que contiene $x_{0}$ , excepto posiblemente en $x=x_{0}$ , y existen los límites de $f$ y $g$ en el punto $x=x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\leq}\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}% }g(x).

(2.336)

Observe que el proceso de tomar el límite no preserva la desigualdad estricta.

Ejemplo 2.7.1.

Las funciones $f(x)=x^{2}/3$ y $g(x)=x^{2}/2$ satisfacen que $f(x)<g(x)$ para todo $x\neq 0$ . Además, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{e}\quad\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0}g(x)=0.

(2.337)

Observación 2.7.1.

La preservación de la desigualdad también ocurre para límites laterales. Más precisamente, si $f$ y $g$ son funciones tales que $f(x)<g(x)$ para todo $x<x_{0}$ y existen los límites laterales por la izquierda de $f$ y $g$ en el punto $x=x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{-}}g(x).

(2.338)

Vale el resultado análogo para el límite lateral por la derecha y para límites en el infinito.

2.7.1 Límites de funciones acotadas

Si $f(x)\leq L$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene $x_{0}$ , excepto posiblemente en $x_{0}$ , entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\leq L.

(2.339)

Resultados análogos valen para límites laterales y límites en el infinito.

Ejemplo 2.7.2.

Vamos a calcular el siguiente límite

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x.

(2.340)

Como $|\mathop{\operator@font sen}\nolimits x|\leq 1$ , tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x\leq\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-% x}=0,$		(2.341)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x\geq\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}-e^{% -x}=0.$		(2.342)

Luego, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x=0.

(2.343)

2.7.2 Teorema del sándwich

Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene $a$ , excepto posiblemente en $x=a$ (consultemos la Figura 2.31), y

\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}g(x)=\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}h% (x)=L,

(2.344)

entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(x)=L.

(2.345)

Demostración.

De la preservación de la desigualdad y de la hipótesis $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}g(x)\leq\mathop{\operator@font lim}_{x\to a% }f(x)\leq\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}h(x)

(2.346)

de donde

L\leq\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(x)\leq L

(2.347)

y, por lo tanto,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(x)=L.

(2.348)

∎

Refer to caption — Figura 2.31: Teorema del sándwich.

Ejemplo 2.7.3.

Toda función $f$ definida en un intervalo abierto alrededor de $x=0$ , excepto quizá en $x=0$ , tal que $-1+x^{2}/2\leq f(x)\leq-1+x^{2}/3$ , tiene

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)=-1.

(2.349)

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

El teorema del sándwich también se aplica a límites laterales.

Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x=0.

(2.350)

En efecto, comenzamos suponiendo $0<x<\pi/2$ . Tomando $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ y $P=(\cos x,\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)$ (consultemos la Figura 2.32), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng.}OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP,

(2.351)

i.e.

\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{2}<\frac{x}{2}\Rightarrow\mathop% {\operator@font sen}\nolimits x<x,

(2.352)

para todo $0<x<\pi/2$ .

Es cierto que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x<-x$ para $-\pi/2<x<0$ . Con ello y el resultado anterior, tenemos

\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq|x|,\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.353)

Recordando que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ es una función impar, tenemos

-|x|\leq-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(-x),\quad-\pi/2<x<\pi/2.

(2.354)

Luego, de (2.353) y (2.354), tenemos

-|x|\leq\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq|x|.

(2.355)

Por último, como

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}-|x|=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}|% x|=0,

(2.356)

por el teorema del sándwich, concluimos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x=0.

(2.357)

Observación 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

Del ejemplo anterior (Ejemplo 2.7.4), podemos mostrar que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\cos x=1.

(2.358)

En efecto, de la identidad trigonométrica de ángulo mitad

\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos x% }{2}

(2.359)

tenemos

\cos x=1+2\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}\right).

(2.360)

Entonces, aplicando las reglas de cálculo de límites, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\cos x=\mathop{\operator@font lim% }_{x\to 0}\left[1+2\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\left(\frac{x}{2}% \right)\right]$		(2.361)
	$\displaystyle\text{}\quad=1+2\left[\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop% {\operator@font sen}\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)\right]^{2}.$		(2.362)

Ahora, hacemos el cambio de variable $y=x/2$ . En este caso, tenemos $y\to 0$ cuando $x\to 0$ y, entonces,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits\frac{% x}{2}=\mathop{\operator@font lim}_{y\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits y% =0.

(2.363)

Entonces, volviendo a la ecuación (2.362), concluimos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\cos x=1.

(2.364)

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ , $\cos x$ , $\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ , $\cot x$ , $\sec x$ y $\operatorname{cossec}x$ son continuas en todos los puntos de sus dominios. En particular, $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ son continuas en todas partes.

En efecto, de los resultados anteriores (Ejemplo 2.7.4 y Observación 2.7.3), tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x+a)$		(2.365)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\left(\cancelto{% 0}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}\cos a+\cancelto{1}{\cos x}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits a\right)$		(2.366)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits a.$		(2.367)

Análogamente, podemos mostrar que $\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\cos x=\cos a$ (consulte el E.2.7.7). Lo que muestra que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ son continuas en todas partes.

La continuidad de las funciones $\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ , $\cot x$ , $\sec x$ y $\operatorname{cossec}x$ se sigue, entonces, de la continuidad de $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $\cos x$ y de las relaciones trigonométricas

	$\displaystyle\mathop{\operator@font tg}\nolimits x=\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}{\cos x}$		(2.368)
	$\displaystyle\cot x=\frac{\cos x}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}$		(2.369)
	$\displaystyle\sec x=\frac{1}{\cos x}$		(2.370)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}x=\frac{1}{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x}.$		(2.371)

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Verificamos el siguiente resultado

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x% }{x}=1.

(2.372)

Para verificar este resultado, calcularemos los límites laterales por la izquierda y por la derecha. Comenzamos con el límite lateral por la derecha y suponemos $0<x<\pi/2$ . Siendo los puntos $O=(0,0)$ , $P=(\cos x,\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)$ , $A=(1,0)$ y $T=(1,\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)$ (consultemos la Figura 2.33), observamos que

\text{\'{A}rea do tri\^{a}ng. }OAP<\text{\'{A}rea do setor}OAP<\text{\'{A}rea % do tri\^{a}ng. }OAT.

(2.373)

Es decir, tenemos

\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{% \operator@font tg}\nolimits x}{2}.

(2.374)

Multiplicando por $2$ y dividiendo por $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ ³³3 $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x>0$ para todo $0<x<\pi/2$ ., obtenemos

1<\frac{x}{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}<\frac{1}{\cos x}.

(2.375)

Tomando los recíprocos, tenemos

1>\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}>\cos x.

(2.376)

Ahora, pasando al límite,

1=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}1\geq\mathop{\operator@font lim}_{x% \to 0^{+}}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}\geq\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\cos x=1.

(2.377)

Luego, concluimos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x}{x}=1.

(2.378)

Ahora, usando el hecho de que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x/x$ es una función par, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}{x}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}% \frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(-x)}{-x}$		(2.379)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{% \mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{x}=1.$		(2.380)

Calculados los límites laterales, concluimos lo que queríamos.

Ejemplo 2.7.5.

Con el resultado anterior y las reglas de cálculo de límites, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0.

(2.381)

Consulte el E.2.7.4.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Sabendo que $x^{3}\leq f(x)\leq\sqrt{x}$ para $0<x<1$ , calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}f(x).

(2.382)

Resolución.

Por el teorema del sándwich, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\cancelto{0}{x^{3}}\leq\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{+}}f(x)\leq\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+% }}\cancelto{0}{\sqrt{x}}.

(2.383)

Logo,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}f(x)=0.

(2.384)

ER 2.7.2.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)/x.

(2.385)

Resolución.

Usando las reglas de cálculo de límites, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen% }\nolimits(2x)}{x}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(2x)}{x}\cdot\frac{2}{2}$		(2.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(2x)}{2x}=2\cdot 1=2.$		(2.387)

2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

Suponga que $1-x^{2}/3\leq u(x)\leq 1-x^{2}/2$ para todo $x\neq 0$ . Determine $\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}u(x)$ .

$1$

E. 2.7.2.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{-x}\cos x.

(2.388)

$0$

E. 2.7.3.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits 3% x}{6x}.

(2.389)

$\frac{1}{2}$

E. 2.7.4.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}.

(2.390)

$0$

E. 2.7.5.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{6x}.

(2.391)

$0$

E. 2.7.6.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits% ^{2}(x)}{x}.

(2.392)

$0$

E. 2.7.7.

Use los hechos de que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x=0

(2.393)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\cos x=1

(2.394)

para mostrar que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\cos x=\cos a.

(2.395)

Sugerencia: $\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\cos x=\mathop{\operator@font lim}_{y\to 0% }\cos(a-y)$ , mediante el cambio de variable $y=a-x$ .

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2.7 Límites y desigualdades

Ejemplo 2.7.1.

Observación 2.7.1.

2.7.1 Límites de funciones acotadas

Ejemplo 2.7.2.

2.7.2 Teorema del sándwich

Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Demostración.

Ejemplo 2.7.3.

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

Observación 2.7.3.( $\cos(x)\to 1$ , $x\to 0$ )

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Ejemplo 2.7.5.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Resolución.

ER 2.7.2.

Resolución.

2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

E. 2.7.3.

E. 2.7.4.

E. 2.7.5.

E. 2.7.6.

E. 2.7.7.

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2.7.2 Teorema del sándwich

Teorema 2.7.1.(Teorema del sándwich)

Demostración.

Ejemplo 2.7.3.

Observación 2.7.2.(Teorema del sándwich para límites laterales)

Ejemplo 2.7.4.(sen(x)→0, x→0)

Observación 2.7.3.(cos⁡(x)→1, x→0)

2.7.3 Continuidad de funciones trigonométricas

2.7.4 Límites que involucran sen(x)/x

Ejemplo 2.7.5.

2.7.5 Ejercicios resueltos

ER 2.7.1.

Resolución.

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2.7.6 Ejercicios

E. 2.7.1.

E. 2.7.2.

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Ejemplo 2.7.4.( $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\to 0$ , $x\to 0$ )

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