Cálculo I

5 Integração 5.2 Propriedades de integração 5.4 Integração por substituição

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5.3 Regras básicas de integração

Como estudamos na seção anterior (Seção 5.2), a integral indefinida de uma função $f$ em relação a $x$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(x)\,dx% =F(x)+C,

(5.117)

onde $F$ é uma primitiva de $f$ , i.e. $F^{\prime}=f$ , e $C$ é uma constante indeterminada. Na sequência, vamos estudar as regras básicas para o cálculo de integrais.

5.3.1 Integral de função potência

Com base na derivada de função potência, podemos afirmar que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x^{r}\,% dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,\leavevmode\nobreak\ r\neq-1.

(5.118)

De fato, para $r\neq-1$ , temos

	$\displaystyle F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,$		(5.119)
	$\displaystyle F^{\prime}(x)=(r+1)\frac{x^{r}}{r+1}=x^{r}.$		(5.120)

Exemplo 5.3.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.$ (5.121)

Código 87: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x, x)

⬇

x**2/2
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$ (5.122)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$ (5.123)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C.$ (5.124)

Código 88: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x**2, x)

⬇

-1/x

Exemplo 5.3.2.

Vamos calcular

\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.

(5.125)

Da regra da potência (5.118), temos

\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.

(5.126)

Logo, do teorema fundamental do cálculo, temos

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{-1}^{1}$		(5.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}$		(5.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$		(5.129)

Código 89: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2, (x, -1, 1))

2/3

5.3.2 Regra da multiplicação por constante

Seja $k$ uma constante. Então, temos a seguinte regra da multiplicação por constante

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int k\cdot f% (x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx

(5.130)

De fato, se $F$ é uma primitiva de $f$ , então pela regra da multiplicação por constante para derivadas, temos

	$\displaystyle(k\cdot F)^{\prime}=k\cdot F^{\prime}$		(5.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot f,$		(5.132)

i.e. $k\cdot F$ é primitiva de $k\cdot f$ .

Exemplo 5.3.3.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$ (5.133)

$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$ (5.134)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$ (5.135)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C.$ (5.136)

Aqui, fizemos um abuso de linguagem ao assumir $2C=C$ . Isso pode ser feito, pois $C$ denota uma constante indeterminada e, multiplicá-la por dois continua sendo indeterminada e constante. Vamos fazer este tipo de simplificação de notação várias vezes ao longo do texto.

Código 90: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(2*x, x)

⬇

x**2
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$ (5.137)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$ (5.138)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$ (5.139)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C.$ (5.140)

Código 91: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/3*sym.sqrt(x), x)

⬇

0.222222222222222*x**(3/2)
c)

$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ (5.141)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$ (5.142)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$ (5.143)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$ (5.144)

Código 92: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(-x**2, (x, 0, 1))

⬇

-1/3

5.3.3 Regra da soma ou subtração

Se $f$ e $g$ são funções integráveis, então vale a seguinte regra da soma/subtração

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\left[f(x% )\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.

(5.145)

De fato, sejam $F$ uma primitiva de $f$ e $G$ uma primitiva de $g$ . Temos

	$\displaystyle(F\pm G)^{\prime}=F^{\prime}\pm G^{\prime}$		(5.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=f\pm g,$		(5.147)

i.e. $F\pm G$ é primitiva de $f\pm g$ .

Exemplo 5.3.4.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$ (5.148)

$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$ (5.149)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C.$ (5.150)

Aqui, $C_{1}$ , $C_{2}$ e $C=C_{1}+C_{2}$ denotam constantes indeterminadas.

Código 93: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x+1, x)

⬇

x**2/2 + x
b)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$ (5.151)

$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C.$ (5.152)

Código 94: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = sym.sqrt(x) - x

4sym.integrate(f, x)

⬇

2*x**(3/2)/3 - x**2/2

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \int(2x^{2}+3x-1)\,dx=\int\left[2x^{2}+(3x-1)\right]\,dx$		(5.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2x^{2}\,dx+\int 3x-1\,dx$		(5.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\int 2x^{2}\,dx-\int 3x\,dx-\int\,dx$		(5.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int x^{2}\,dx+3\int x\,dx-\int\,dx$		(5.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C.$		(5.157)

Código 95: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = 2*x**2 + 3*x - 1

4sym.integrate(f, x)

2*x**3/3 + 3*x**2/2 - x

Exemplo 5.3.5.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx.

(5.158)

Temos

	$\displaystyle\int x^{2}+1\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\,dx$		(5.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{3}}{3}+x+C.$		(5.160)

Agora, do teorema fundamental do cálculo, temos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{1}$		(5.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+0\right)$		(5.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{3}.$		(5.163)

Código 96: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2 + 1, (x, 0, 1))

4/3

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Começamos lembrando que

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\leavevmode\nobreak\ x>0.

(5.164)

Para $x<0$ , usamos a regra da cadeia

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-x)^{\prime}$		(5.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}\cdot(-1)$		(5.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}.$		(5.167)

Ou seja, temos que

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x},

(5.168)

donde concluímos que a integral de $x^{-1}$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\frac{1}{% x}\,dx=\ln|x|+C.

(5.169)

Exemplo 5.3.6.

	$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{-1}\,dx=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$		(5.170)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{e}$		(5.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e\|-\ln\|1\|$		(5.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1.$		(5.173)

Código 97: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x, (x, 1, sym.E))

5.3.5 Integral da função exponencial natural

Da derivada da função exponencial natural, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\,% dx=e^{x}+C.

(5.174)

Exemplo 5.3.7.

Vamos estudar os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$ (5.175)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$ (5.176)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$ (5.177)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C.$ (5.178)

Código 98: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(2+x), x)

⬇

exp(x + 2)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left.e^{x}\right|_{0}^{\ln 2}$ (5.179)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$ (5.180)

$\displaystyle\text{}\quad=2-1$ (5.181)

$\displaystyle\text{}\quad=1.$ (5.182)

Código 99: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp, log

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(x), (x, 0, log(2)))

⬇

1

5.3.6 Integrais de funções trigonométricas

No que lembramos que

\frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x)

(5.183)

temos que a integral da função seno é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(5.184)

Exemplo 5.3.8.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2\operatorname{sen}(x)\,dx=2\int\operatorname{sen}(x)dx$ (5.185)

$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$ (5.186)

Código 100: Python

⬇

1from sympy import integrate, sin

2from sympy.abc import x

3integrate(2*sin(x), x)

⬇

-2*cos(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx=\left.-\cos(x)\right|_% {-\pi}^{\pi}$ (5.187)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$ (5.188)

$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$ (5.189)

Código 101: Python

⬇

1 from sympy import integrate, sin, pi

2from sympy.abc import x

3integrate(sin(x), (x, -pi, pi))

⬇

0

Também, lembramos que

\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x),

(5.190)

donde temos que a integral da função cosseno

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\cos(x)\,% dx=\operatorname{sen}(x)+C.

(5.191)

Exemplo 5.3.9.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$ (5.192)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(x)+C.$ (5.193)

Código 102: Python

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0.5*sin(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left.\operatorname{sen}(x)\right|_{% -\pi}^{\pi}$ (5.195)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(\pi)-\operatorname{sen}(-\pi)$ (5.196)

$\displaystyle\text{}\quad=0.$ (5.197)

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0

5.3.7 Lista de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx$		(5.198)
	$\displaystyle\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$		(5.199)
	$\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,\leavevmode\nobreak\ r\neq-1$		(5.200)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C$		(5.201)
	$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$		(5.202)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C$		(5.203)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C$		(5.204)

5.3.8 Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Calcule

\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx

(5.205)

Resolução.

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}+2% \frac{x}{\sqrt{x}}\,dx$		(5.206)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}+2\frac{x}{x^{\frac% {1}{2}}}\,dx$		(5.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{2-\frac{1}{2}}+2x^{1-\frac{1}{2}}\,dx$		(5.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+2\int x^{\frac{1}{2}}\,dx.$		(5.209)

Agora, usando a regra da função potência (5.118), obtemos

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{% 3}{2}+1}+2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}% }+C.$		(5.211)

Código 103: Python

⬇

1from sympy import integrate, sqrt

2from sympy.abc import x

3integrate((x**2+2*x)/sqrt(x))

2*x**(5/2)/5 + 4*x**(3/2)/3

ER 5.3.2.

Calcule

\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx.

(5.212)

Resolução.

Das regras básicas de integração, temos

	$\displaystyle\int\frac{1}{2x}\,dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$		(5.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx$		(5.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln(x)+C$		(5.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\sqrt{x}+C.$		(5.216)

Então, do teorema fundamental do cálculo, temos

	$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx=\left.\ln\sqrt{x}\right\|_{1}^{e}$		(5.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln(\sqrt{e})-\ln(1)$		(5.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(5.219)

Código 104: Python

⬇

1from sympy import integrate, E

2from sympy.abc import x

3integrate(1/(2*x), (x, 1, E))

1/2

5.3.9 Exercícios

E. 5.3.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx$
d)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle x+C$ ; b) $\displaystyle-\frac{1}{x}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ ; d) $\displaystyle 2x^{1/2}+C$

E. 5.3.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 1+x^{-2}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-\frac{1}{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x^{3}-3x^{2}+1\,dx$

a) $\displaystyle x-\frac{1}{x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+x+C$

E. 5.3.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int 1-\operatorname{sen}(x)\,dx$

a) $\displaystyle 2\operatorname{sen}(x)+C$ ; b) $\displaystyle x+\cos(x)+C$

E. 5.3.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{e}^{2e}x^{-1}\,dx$

a) $0$ ; b) $\ln(2)$ ;

E. 5.3.5.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}-2x^{3}\,dx$
2.

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle-\frac{1}{6}$ ; b) $\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{8}{3}$ ;

E. 5.3.6.

Cálculo

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $-2$

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Cálculo I

5.3 Regras básicas de integração

5.3.1 Integral de função potência

Exemplo 5.3.1.

Exemplo 5.3.2.

5.3.2 Regra da multiplicação por constante

Exemplo 5.3.3.

5.3.3 Regra da soma ou subtração

Exemplo 5.3.4.

Exemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Exemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral da função exponencial natural

Exemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrais de funções trigonométricas

Exemplo 5.3.8.

Exemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrais

5.3.8 Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Resolução.

ER 5.3.2.

Resolução.

5.3.9 Exercícios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$		(5.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$		(5.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C.$		(5.124)

	$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$		(5.133)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$		(5.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$		(5.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C.$		(5.136)

	$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$		(5.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$		(5.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C.$		(5.140)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(5.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(5.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$		(5.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(5.144)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$		(5.148)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$		(5.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C.$		(5.150)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$		(5.151)
	$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C.$		(5.152)

	$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$		(5.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$		(5.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$		(5.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C.$		(5.178)

	$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left.e^{x}\right\|_{0}^{\ln 2}$		(5.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$		(5.180)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-1$		(5.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(5.182)

	$\displaystyle\int 2\operatorname{sen}(x)\,dx=2\int\operatorname{sen}(x)dx$		(5.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$		(5.186)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx=\left.-\cos(x)\right\|_% {-\pi}^{\pi}$		(5.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$		(5.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$		(5.189)

	$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$		(5.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(x)+C.$		(5.193)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left.\operatorname{sen}(x)\right\|_{% -\pi}^{\pi}$		(5.195)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(\pi)-\operatorname{sen}(-\pi)$		(5.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(5.197)

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo I

5.3 Regras básicas de integração

5.3.1 Integral de função potência

Exemplo 5.3.1.

Exemplo 5.3.2.

5.3.2 Regra da multiplicação por constante

Exemplo 5.3.3.

5.3.3 Regra da soma ou subtração

Exemplo 5.3.4.

Exemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de x−1

Exemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral da função exponencial natural

Exemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrais de funções trigonométricas

Exemplo 5.3.8.

Exemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrais

5.3.8 Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Resolução.

ER 5.3.2.

Resolução.

5.3.9 Exercícios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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5.3.4 Integral de $x^{-1}$