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Cálculo I

5 Integração 5.4 Integração por substituição 5.6 Integração por substituição trigonométrica

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5.5 Integração por partes

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis, então da regra do produto para derivadas temos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}.

(5.393)

Integrando em ambos os lados, obtemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(5.394)

donde

uv=\int vdu+\int udv.

(5.395)

Daí, segue a fórmula de integração por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int udv=uv-% \int vdu}.

(5.396)

Exemplo 5.5.1.

Vamos calcular

\int xe^{x}\,dx.

(5.397)

usando integração por partes. Escolhemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }u=x}$		(5.398)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.399)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.400)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }dv=e^{x}\,dx}$		(5.401)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(5.402)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }v=e^{x}}.$		(5.403)

Observamos que no cálculo de $v$ , desprezamos a constante indeterminada. Então, da fórmula de integração por partes, temos

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}e^{x% }\,dx}$	$\displaystyle=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}dv}$	(5.404)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}-% \int{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}du}$	(5.405)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}dx$	(5.406)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C.$	(5.407)

Verifique computando esta integral com Python+SymPy!

Em alguns casos, é possível fazer mais de uma escolha na aplicação da integração por partes.

5.5.1 A integral do logaritmo natural

Vamos calcular

\int\ln x\,dx.

(5.408)

Usando integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.409)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.410)

	$\displaystyle dv=dx$		(5.411)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(5.412)

Pela fórmula de integração por partes, segue que

$\displaystyle\int\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int u\,dv$	(5.413)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.414)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$	(5.415)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int dx$	(5.416)
	$\displaystyle=x\ln(x)-x+C.$	(5.417)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\ln x\,% dx=x\ln(x)-x+C}.

(5.418)

Exemplo 5.5.2.

Calculamos as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.x\ln(x)-x\right|_{1}^{e}$ (5.419)

$\displaystyle=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (5.420)

$\displaystyle=e\ln(e)-e+1$ (5.421)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando o método da substituição⁴²⁴²endnote: ⁴²Consulte a Seção 5.4 para mais informações sobre integração por substituição., escolhemos

$\displaystyle u=2x$ (5.422)

$\displaystyle\Rightarrow du=2\,dx.$ (5.423)

Fazendo a substituição e calculando, temos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$ $\displaystyle=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (5.424)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (5.425)

$\displaystyle=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (5.426)

$\displaystyle=x\ln(2x)-x+C.$ (5.427)

Verifique as soluções com o Python+SymPy!

5.5.2 Integral definida

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis em $x$ . Segue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ e $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . Segue que a fórmula de integração por partes para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{x=a}^{% b}u\,dv=\left.uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}.

(5.428)

Exemplo 5.5.3.

Vamos calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx.

(5.429)

Para aplicar integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.430)
	$\displaystyle du=dx$		(5.431)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(5.432)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(5.433)

Segue da fórmula de integração por partes para integrais definidas que

$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx$	$\displaystyle=\left.uv\right\|_{x=0}^{2}-\int_{x=0}^{2}e^{-x}\,dx$	(5.434)
	$\displaystyle=\left.-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx$	(5.435)
	$\displaystyle=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$	(5.436)
	$\displaystyle=-3e^{-2}+1.$	(5.437)

Verifique computando com o Python+SymPy!

5.5.3 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.438)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(5.439)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(5.440)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(5.441)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.442)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.443)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(5.444)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.445)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+C$		(5.446)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.447)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,du=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(5.448)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(5.449)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(5.450)

5.5.4 Exercícios resolvidos

ER 5.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx.

(5.451)

Solução 0.

Usamos a fórmula de integração por partes

\int udv=uv-\int vdu.

(5.452)

Para tanto, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.453)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.454)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(5.455)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(5.456)

Segue que

$\displaystyle\int x\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int udv$	(5.457)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.458)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}\,dx$	(5.459)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$	(5.460)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$	(5.461)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.$	(5.462)

Com o Python+SymPy, computamos este integral com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*log(x))

4 x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 5.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx.

(5.463)

Solução 0.

Primeiramente, vamos calcular

\int xe^{-x}\,dx

(5.464)

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.465)
	$\displaystyle du=dx$		(5.466)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(5.467)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(5.468)

Segue que

$\displaystyle\int xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.469)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$	(5.470)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C$	(5.471)

Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo como segue

$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=\left.xe^{x}-e^{x}\right\|_{-1}^{1}$	(5.472)
	$\displaystyle=1\cdot e^{1}-e^{1}$	(5.473)
	$\displaystyle-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$	(5.474)
	$\displaystyle=\frac{2}{e}$	(5.475)

Com o Python+sympy, computamos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

4 2*exp(-1)

ER 5.5.3.

Calcule

\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.

(5.476)

Solução 0.

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.477)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.478)

	$\displaystyle dv=\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.479)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(5.480)

Então, segue que

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(5.481)
		$\displaystyle=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(5.482)

Por sua vez, integramos por partes esta última, escolhendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.483)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.484)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(5.485)
	$\displaystyle v=\operatorname{sen}(x)$		(5.486)

Com isso, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int e^{x}\cos(x)\,dx}$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(5.487)
		$\displaystyle=e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.488)

Então, voltamos a (5.481) e obtemos

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e^{x}\operatorname{sen}(x% )-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx}$		(5.489)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+e^{x}% \operatorname{sen}(x)$		(5.490)
	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=\frac{1}{2}e^{x}\operatorname% {sen}(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(5.491)

Com o Python+SymPy, computamos esta integral com os seguintes códigos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(exp(x)*sin(x))

4 exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

5.5.5 Exercícios

E. 5.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $xe^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 5.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln 2$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 5.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx.

(5.492)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 5.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx.

(5.493)

Resposta 0.

$-\frac{5}{e}+e$

E. 5.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)+C$ ;

E. 5.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\operatorname{sen}(x)+2\cos(x)+C$

E. 5.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx.

(5.494)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 5.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 5.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(5.495)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)|+C$

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Cálculo I

5 Integração 5.4 Integração por substituição 5.6 Integração por substituição trigonométrica

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5.5 Integração por partes

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis, então da regra do produto para derivadas temos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}.

(5.393)

Integrando em ambos os lados, obtemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(5.394)

donde

uv=\int vdu+\int udv.

(5.395)

Daí, segue a fórmula de integração por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int udv=uv-% \int vdu}.

(5.396)

Exemplo 5.5.1.

Vamos calcular

\int xe^{x}\,dx.

(5.397)

usando integração por partes. Escolhemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }u=x}$		(5.398)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.399)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.400)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }dv=e^{x}\,dx}$		(5.401)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(5.402)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }v=e^{x}}.$		(5.403)

Observamos que no cálculo de $v$ , desprezamos a constante indeterminada. Então, da fórmula de integração por partes, temos

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}e^{x% }\,dx}$	$\displaystyle=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}dv}$	(5.404)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}-% \int{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}du}$	(5.405)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}dx$	(5.406)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C.$	(5.407)

Verifique computando esta integral com Python+SymPy!

Em alguns casos, é possível fazer mais de uma escolha na aplicação da integração por partes.

5.5.1 A integral do logaritmo natural

Vamos calcular

\int\ln x\,dx.

(5.408)

Usando integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.409)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.410)

	$\displaystyle dv=dx$		(5.411)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(5.412)

Pela fórmula de integração por partes, segue que

$\displaystyle\int\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int u\,dv$	(5.413)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.414)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$	(5.415)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int dx$	(5.416)
	$\displaystyle=x\ln(x)-x+C.$	(5.417)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\ln x\,% dx=x\ln(x)-x+C}.

(5.418)

Exemplo 5.5.2.

Calculamos as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.x\ln(x)-x\right|_{1}^{e}$ (5.419)

$\displaystyle=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (5.420)

$\displaystyle=e\ln(e)-e+1$ (5.421)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando o método da substituição⁴²⁴²endnote: ⁴²Consulte a Seção 5.4 para mais informações sobre integração por substituição., escolhemos

$\displaystyle u=2x$ (5.422)

$\displaystyle\Rightarrow du=2\,dx.$ (5.423)

Fazendo a substituição e calculando, temos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$ $\displaystyle=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (5.424)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (5.425)

$\displaystyle=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (5.426)

$\displaystyle=x\ln(2x)-x+C.$ (5.427)

Verifique as soluções com o Python+SymPy!

5.5.2 Integral definida

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis em $x$ . Segue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ e $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . Segue que a fórmula de integração por partes para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{x=a}^{% b}u\,dv=\left.uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}.

(5.428)

Exemplo 5.5.3.

Vamos calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx.

(5.429)

Para aplicar integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.430)
	$\displaystyle du=dx$		(5.431)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(5.432)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(5.433)

Segue da fórmula de integração por partes para integrais definidas que

$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx$	$\displaystyle=\left.uv\right\|_{x=0}^{2}-\int_{x=0}^{2}e^{-x}\,dx$	(5.434)
	$\displaystyle=\left.-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx$	(5.435)
	$\displaystyle=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$	(5.436)
	$\displaystyle=-3e^{-2}+1.$	(5.437)

Verifique computando com o Python+SymPy!

5.5.3 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.438)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(5.439)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(5.440)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(5.441)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.442)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.443)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(5.444)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.445)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+C$		(5.446)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.447)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,du=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(5.448)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(5.449)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(5.450)

5.5.4 Exercícios resolvidos

ER 5.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx.

(5.451)

Solução 0.

Usamos a fórmula de integração por partes

\int udv=uv-\int vdu.

(5.452)

Para tanto, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.453)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.454)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(5.455)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(5.456)

Segue que

$\displaystyle\int x\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int udv$	(5.457)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.458)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}\,dx$	(5.459)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$	(5.460)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$	(5.461)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.$	(5.462)

Com o Python+SymPy, computamos este integral com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*log(x))

4 x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 5.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx.

(5.463)

Solução 0.

Primeiramente, vamos calcular

\int xe^{-x}\,dx

(5.464)

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.465)
	$\displaystyle du=dx$		(5.466)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(5.467)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(5.468)

Segue que

$\displaystyle\int xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(5.469)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$	(5.470)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C$	(5.471)

Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo como segue

$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=\left.xe^{x}-e^{x}\right\|_{-1}^{1}$	(5.472)
	$\displaystyle=1\cdot e^{1}-e^{1}$	(5.473)
	$\displaystyle-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$	(5.474)
	$\displaystyle=\frac{2}{e}$	(5.475)

Com o Python+sympy, computamos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

4 2*exp(-1)

ER 5.5.3.

Calcule

\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.

(5.476)

Solução 0.

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.477)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.478)

	$\displaystyle dv=\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.479)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(5.480)

Então, segue que

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(5.481)
		$\displaystyle=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(5.482)

Por sua vez, integramos por partes esta última, escolhendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.483)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.484)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(5.485)
	$\displaystyle v=\operatorname{sen}(x)$		(5.486)

Com isso, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int e^{x}\cos(x)\,dx}$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(5.487)
		$\displaystyle=e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.488)

Então, voltamos a (5.481) e obtemos

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e^{x}\operatorname{sen}(x% )-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx}$		(5.489)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+e^{x}% \operatorname{sen}(x)$		(5.490)
	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=\frac{1}{2}e^{x}\operatorname% {sen}(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(5.491)

Com o Python+SymPy, computamos esta integral com os seguintes códigos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(exp(x)*sin(x))

4 exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

5.5.5 Exercícios

E. 5.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $xe^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 5.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln 2$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 5.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx.

(5.492)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 5.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx.

(5.493)

Resposta 0.

$-\frac{5}{e}+e$

E. 5.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)+C$ ;

E. 5.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\operatorname{sen}(x)+2\cos(x)+C$

E. 5.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx.

(5.494)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 5.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 5.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(5.495)

Resposta 0.

$\displaystyle\frac{\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)|+C$

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Pedro H A Konzen

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$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$	$\displaystyle=\left.x\ln(x)-x\right\|_{1}^{e}$	(5.419)
	$\displaystyle=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$	(5.420)
	$\displaystyle=e\ln(e)-e+1$	(5.421)

	$\displaystyle u=2x$		(5.422)
	$\displaystyle\Rightarrow du=2\,dx.$		(5.423)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$	$\displaystyle=\int\ln(u)\frac{du}{2}$	(5.424)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$	(5.425)
	$\displaystyle=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$	(5.426)
	$\displaystyle=x\ln(2x)-x+C.$	(5.427)