Cálculo I

5 Integração 5.4 Integração por substituição 5.6 Integração por substituição trigonométrica

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5.5 Integração por partes

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis, então da regra do produto para derivadas temos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}.

(5.406)

Integrando em ambos os lados, obtemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(5.407)

donde

uv=\int vdu+\int udv.

(5.408)

Daí, segue a fórmula de integração por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int udv=uv-% \int vdu}.

(5.409)

Exemplo 5.5.1.

Vamos calcular

\int xe^{x}\,dx.

(5.410)

usando integração por partes. Escolhemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }u=x}$		(5.411)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.412)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.413)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }dv=e^{x}\,dx}$		(5.414)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(5.415)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }v=e^{x}}.$		(5.416)

Observamos que no cálculo de $v$ , desprezamos a constante indeterminada. Então, da fórmula de integração por partes, temos

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}e^{x% }\,dx}=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u% }{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}dv}$		(5.417)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}-\int{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}du}$		(5.418)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}dx$		(5.419)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C.$		(5.420)

Verifique computando esta integral com Python+SymPy!

Em alguns casos, é possível fazer mais de uma escolha na aplicação da integração por partes.

5.5.1 A integral do logaritmo natural

Vamos calcular

\int\ln x\,dx.

(5.421)

Usando integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.422)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.423)

	$\displaystyle dv=dx$		(5.424)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(5.425)

Pela fórmula de integração por partes, segue que

	$\displaystyle\int\ln x\,dx=\int u\,dv$		(5.426)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.427)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$		(5.428)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int dx$		(5.429)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-x+C.$		(5.430)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\ln x\,% dx=x\ln(x)-x+C}.

(5.431)

Exemplo 5.5.2.

Calculamos as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left.x\ln(x)-x\right|_{1}^{e}$ (5.432)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (5.433)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$ (5.434)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando o método da substituição²⁵²⁵endnote: ²⁵Consultemos a Seção 5.4 para mais informações sobre integração por substituição., escolhemos

$\displaystyle u=2x$ (5.435)

$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx.$ (5.436)

Fazendo a substituição e calculando, temos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (5.437)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (5.438)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (5.439)

$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C.$ (5.440)

5.5.2 Integral definida

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis em $x$ . Segue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ e $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . Segue que a fórmula de integração por partes para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{x=a}^{% b}u\,dv=\left.uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}.

(5.441)

Exemplo 5.5.3.

Vamos calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx.

(5.442)

Para aplicar integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.443)
	$\displaystyle du=dx$		(5.444)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(5.445)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(5.446)

Segue da fórmula de integração por partes para integrais definidas que

	$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx=\left.uv\right\|_{x=0}^{2}-\int_{x=0}^{2}e% ^{-x}\,dx$		(5.447)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx$		(5.448)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$		(5.449)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3e^{-2}+1.$		(5.450)

5.5.3 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.451)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(5.452)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\leavevmode\nobreak\ r\neq-1$		(5.453)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(5.454)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.455)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.456)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(5.457)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.458)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+C$		(5.459)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.460)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,du=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(5.461)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(5.462)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(5.463)

5.5.4 Exercícios resolvidos

ER 5.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx.

(5.464)

Resolução.

Usamos a fórmula de integração por partes

\int udv=uv-\int vdu.

(5.465)

Para tanto, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.466)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.467)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(5.468)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(5.469)

Segue que

	$\displaystyle\int x\ln x\,dx=\int udv$		(5.470)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.471)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}% \,dx$		(5.472)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$		(5.473)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$		(5.474)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.$		(5.475)

Com o Python+SymPy, computamos este integral com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*log(x))

4 x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 5.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx.

(5.476)

Resolução.

Primeiramente, vamos calcular

\int xe^{-x}\,dx

(5.477)

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(5.478)
	$\displaystyle du=dx$		(5.479)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(5.480)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(5.481)

Segue que

	$\displaystyle\int xe^{x}\,dx=uv-\int v\,du$		(5.482)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$		(5.483)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C$		(5.484)

Então, aplicamos o teorema fundamental do cálculo como segue

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx=\left.xe^{x}-e^{x}\right\|_{-1}^{1}$		(5.485)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot e^{1}-e^{1}$		(5.486)
	$\displaystyle\text{}\quad-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$		(5.487)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{e}$		(5.488)

Com o Python+sympy, computamos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

4 2*exp(-1)

ER 5.5.3.

Calcule

\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.

(5.489)

Resolução.

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.490)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.491)

	$\displaystyle dv=\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.492)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(5.493)

Então, segue que

		$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=uv-\int v\,du$		(5.494)
		$\displaystyle\text{}\quad=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(5.495)

Por sua vez, integramos por partes esta última, escolhendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.496)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.497)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(5.498)
	$\displaystyle v=\operatorname{sen}(x)$		(5.499)

Com isso, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int e^{x}\cos(x)\,dx}=uv-\int v\,du$		(5.500)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\operatorname{% sen}(x)\,dx$		(5.501)

Então, voltamos a (5.494) e obtemos

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e^{x}\operatorname{sen}(x% )-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx}$		(5.502)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+e^{x}% \operatorname{sen}(x)$		(5.503)
	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=\frac{1}{2}e^{x}\operatorname% {sen}(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(5.504)

Com o Python+SymPy, computamos esta integral com os seguintes códigos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(exp(x)*sin(x))

4 exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

5.5.5 Exercícios

E. 5.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $xe^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 5.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln 2$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 5.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx.

(5.505)

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 5.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx.

(5.506)

$-\frac{5}{e}+e$

E. 5.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

a) $\displaystyle\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)+C$ ;

E. 5.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx$

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\operatorname{sen}(x)+2\cos(x)+C$

E. 5.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx.

(5.507)

$\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 5.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 5.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(5.508)

$\displaystyle\frac{\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)|+C$

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Cálculo I

5.5 Integração por partes

Exemplo 5.5.1.

5.5.1 A integral do logaritmo natural

Exemplo 5.5.2.

5.5.2 Integral definida

Exemplo 5.5.3.

5.5.3 Tabela de integrais

5.5.4 Exercícios resolvidos

ER 5.5.1.

Resolução.

ER 5.5.2.

Resolução.

ER 5.5.3.

Resolução.

5.5.5 Exercícios

E. 5.5.1.

E. 5.5.2.

E. 5.5.3.

E. 5.5.4.

E. 5.5.5.

E. 5.5.6.

E. 5.5.7.

E. 5.5.8.

E. 5.5.9.

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	$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left.x\ln(x)-x\right\|_{1}^{e}$		(5.432)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$		(5.433)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$		(5.434)

	$\displaystyle u=2x$		(5.435)
	$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx.$		(5.436)

	$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$		(5.437)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$		(5.438)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$		(5.439)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C.$		(5.440)