Cálculo I

5 Integración 5.7 Integración por fracciones parciales 6 Aplicaciones de la integral

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5.8 Integrales impropias

La integral

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.643)

se llama integral impropia cuando $a,b\to\pm\infty$ o $f$ tiene una discontinuidad infinita en el intervalo $[a,b]$ . Cuando la integral existe, decimos que es convergente.

Ejemplo 5.8.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int_{-2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$

Es una integral impropia, pues el intervalo de integración $[-2,\infty)$ es infinito.
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1}e^{x}\,dx$

Es una integral impropia, pues el intervalo de integración $(-\infty,1]$ es infinito.
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$

Es una integral impropia, pues el integrando $1/(x+1)$ tiene una asíntota vertical en el extremo izquierdo del intervalo de integración.
d)

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

No es una integral impropia, pues el integrando es por partes continuo en el intervalo $[0,2]$ .
e)

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

Es una integral impropia, pues el integrando presenta una discontinuidad infinita en $x=-1$ .

5.8.1 Límites de integración infinitos

En el caso de integrales impropias de la forma

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx

(5.644)

calculamos

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.645)

Ejemplo 5.8.2.

Vamos a calcular

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx

(5.646)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx$		(5.647)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}$		(5.648)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[-\cancelto{0}{\frac{1}{b}}+1\right]$		(5.649)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(5.650)

Análogamente, calculamos

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.651)

Ejemplo 5.8.3.

Vamos a calcular

\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx

(5.652)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{a\to-\infty}\int_{a}^{2}e^{x}\,dx$		(5.653)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}[e^{x}]_{a}^{2}$		(5.654)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}e^{2}-\cancelto{0}{e^{a}}$		(5.655)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(5.656)

En el caso de integrales impropias de la forma

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

(5.657)

elegimos un $c$ cualquiera y calculamos

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty}f(% x)\,dx

(5.658)

Decimos que la integral diverge si al menos una de las integrales a la derecha es divergente.

Ejemplo 5.8.4.

Vamos a calcular

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}

(5.659)

Eligiendo $c=0$ , tenemos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}% \frac{2\,dx}{1+4x^{2}}+\int_{0}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}$		(5.660)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}\int_{a}^{0}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}+\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}$		(5.661)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}[\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(2x)]_{a}^{0}+% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to\infty}[\operatorname{arc}% \mathop{\operator@font tg}\nolimits(2x)]_{0}^{b}$		(5.662)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to-% \infty}[\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(0)-\cancelto{-% \frac{\pi}{4}}{\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(a)}]+% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to\infty}[\cancelto{\frac{\pi}{4% }}{\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(b)}-\operatorname{arc% }\mathop{\operator@font tg}\nolimits(0)]$		(5.663)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$		(5.664)

5.8.2 Integrandos con discontinuidad infinita

En el caso de integrales impropias en las que el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite de integración inferior, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to a^{+}}% \int_{c}^{b}f(x)\,dx

(5.665)

Si la discontinuidad está en el límite superior, entonces calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to b^{-}}% \int_{a}^{c}f(x)\,dx

(5.666)

Ejemplo 5.8.5.

Vamos a calcular

\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx

(5.667)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{c\to 1^{+}}\int_{c}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.668)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 1^{% +}}\int_{u=c-1}^{1}\frac{du}{u^{2}}$		(5.669)

donde usamos la sustitución $u=x-1$ y $du=dx$ . Se sigue que

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{c\to 1^{+}}[-u^{-1}]_{x=c}^{2}$		(5.670)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 1^{% +}}\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{c}^{2}$		(5.671)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 1^{% +}}\left[-1+\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{c-1}}\right]$		(5.672)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.673)

Si el integrando tiene una discontinuidad infinita en un punto interior del intervalo de integración, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx,

(5.674)

onde $x=c$ es el punto de discontinuidad de $f$ .

Ejemplo 5.8.6.

Vamos a calcular

\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}

(5.675)

Procedemos como sigue:

	$\displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3% }\frac{dx}{x-2}$		(5.676)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 2^{% -}}\int_{0}^{c}\frac{dx}{x-2}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 2% ^{+}}\int_{c}^{3}\frac{dx}{x-2}$		(5.677)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 2^{% -}}[\ln\|x-2\|]_{0}^{c}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 2^{+}}[% \ln\|x-2\|]_{c}^{3}$		(5.678)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{c\to 2^{% -}}[\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}+\ln\|-2\|]+\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{c\to 2^{+}}[\ln 1-\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}]$		(5.679)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty+\infty$		(5.680)

por lo que concluimos que la integral es divergente.

5.8.3 Ejercicios resueltos

ER 5.8.1.

Para qué valores de $p$ es convergente la integral +

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}?

(5.681)

Resolución.

Por definición

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{% b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}

(5.682)

Para $p=1$ tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}$		(5.683)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}[\ln\|x\|]_{1}^{b}$		(5.684)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[\cancelto{\infty}{\ln\|b\|}-0\right]$		(5.685)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.686)

Es decir, para $p=1$ la integral diverge. Ahora, para $p\neq 1$ , tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\mathop{\operator@font l\acute{% {\imath}}m}_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}$		(5.687)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b}$		(5.688)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[\frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p}\right]$		(5.689)

Para $p<1$ , $b^{1-p}\to\infty$ cuando $b\to\infty$ . Para $p>1$ , $b^{1-p}\to 0$ cuando $b\to\infty$ . Por lo tanto, la integral es convergente para $p>1$ y

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1},\quad p>1

(5.690)

ER 5.8.2.

Calcule

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}

(5.691)

Resolución.

Observamos que, además del límite de integración infinito, el integrando tiene una discontinuidad infinita en $x=1$ . Así, calculamos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.692)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\left[\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{% b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\right]$		(5.693)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{b\to% \infty}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{a\to 1^{+}}\left(\cancelto{% 0}{\frac{1}{1-b}}-\cancelto{-\infty}{\frac{1}{1-a}}\right)$		(5.694)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty$		(5.695)

5.8.4 Ejercicios

E. 5.8.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{3}}$

a) $\tfrac{1}{2}$ ; b) $-2$

E. 5.8.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+1}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\tfrac{\pi}{2}$

E. 5.8.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
b)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x-2}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\infty$

E. 5.8.4.

Calcule

\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^{2}}

(5.696)

$\infty$

E. 5.8.5.

Calcule

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}

(5.697)

divergente

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Ejemplo 5.8.1.

5.8.1 Límites de integración infinitos

Ejemplo 5.8.2.

Ejemplo 5.8.3.

Ejemplo 5.8.4.

5.8.2 Integrandos con discontinuidad infinita

Ejemplo 5.8.5.

Ejemplo 5.8.6.

5.8.3 Ejercicios resueltos

ER 5.8.1.

Resolución.

ER 5.8.2.

Resolución.

5.8.4 Ejercicios

E. 5.8.1.

E. 5.8.2.

E. 5.8.3.

E. 5.8.4.

E. 5.8.5.

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