Cálculo I

5 Integración 5.7 Integración por fracciones parciales 6 Aplicaciones de la integral

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5.8 Integrales impropias

La integral

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.643)

se llama integral impropia cuando $a,b\to\pm\infty$ o $f$ tiene una discontinuidad infinita en el intervalo $[a,b]$ . Cuando la integral existe, decimos que es convergente.

Ejemplo 5.8.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int_{-2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$

Es una integral impropia, pues el intervalo de integración $[-2,\infty)$ es infinito.
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1}e^{x}\,dx$

Es una integral impropia, pues el intervalo de integración $(-\infty,1]$ es infinito.
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$

Es una integral impropia, pues el integrando $1/(x+1)$ tiene una asíntota vertical en el extremo izquierdo del intervalo de integración.
d)

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

No es una integral impropia, pues el integrando es por partes continuo en el intervalo $[0,2]$ .
e)

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$

Es una integral impropia, pues el integrando presenta una discontinuidad infinita en $x=-1$ .

5.8.1 Límites de integración infinitos

En el caso de integrales impropias de la forma

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx

(5.644)

calculamos

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\int_{a}^{b}% f(x)\,dx.

(5.645)

Ejemplo 5.8.2.

Vamos a calcular

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx

(5.646)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\mathop{\operator@font lim}_% {b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx$		(5.647)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[-\frac% {1}{x}\right]_{1}^{b}$		(5.648)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[-% \cancelto{0}{\frac{1}{b}}+1\right]$		(5.649)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(5.650)

Análogamente, calculamos

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}\int_{a}^{% b}f(x)\,dx.

(5.651)

Ejemplo 5.8.3.

Vamos a calcular

\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx.

(5.652)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-% \infty}\int_{a}^{2}e^{x}\,dx$		(5.653)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}[e^{x}]_{a}% ^{2}$		(5.654)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}e^{2}-% \cancelto{0}{e^{a}}$		(5.655)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(5.656)

En el caso de integrales impropias de la forma

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

(5.657)

elegimos un $c$ cualquiera y calculamos

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty}f(% x)\,dx.

(5.658)

Decimos que la integral diverge si al menos una de las integrales a la derecha es divergente.

Ejemplo 5.8.4.

Vamos a calcular

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}

(5.659)

Eligiendo $c=0$ , tenemos

	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}% \frac{2\,dx}{1+4x^{2}}+\int_{0}^{\infty}\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}$		(5.660)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}\int_{a}^{0% }\frac{2\,dx}{1+4x^{2}}+\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\int_{0}^{b}% \frac{2\,dx}{1+4x^{2}}$		(5.661)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}[% \operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(2x)]_{a}^{0}+\mathop{% \operator@font lim}_{b\to\infty}[\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits(2x)]_{0}^{b}$		(5.662)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{a\to-\infty}[% \operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(0)-\cancelto{-\frac{\pi}% {4}}{\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits(a)}]+\mathop{% \operator@font lim}_{b\to\infty}[\cancelto{\frac{\pi}{4}}{\operatorname{arc}% \mathop{\operator@font tg}\nolimits(b)}-\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(0)]$		(5.663)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$		(5.664)

5.8.2 Integrandos con discontinuidad infinita

En el caso de integrales impropias en las que el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite de integración inferior, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font lim}_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f(x)% \,dx.

(5.665)

Si la discontinuidad está en el límite superior, entonces calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\mathop{\operator@font lim}_{c\to b^{-}}\int_{a}^{c}f(x)% \,dx.

(5.666)

Ejemplo 5.8.5.

Vamos a calcular

\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx

(5.667)

Tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\mathop{\operator@font lim}_{c% \to 1^{+}}\int_{c}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.668)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 1^{+}}\int_{u=c-1}% ^{1}\frac{du}{u^{2}}$		(5.669)

donde usamos la sustitución $u=x-1$ y $du=dx$ . Se sigue que

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx=\mathop{\operator@font lim}_% {c\to 1^{+}}[-u^{-1}]_{x=c}^{2}$		(5.670)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 1^{+}}\left[-\frac% {1}{x-1}\right]_{c}^{2}$		(5.671)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 1^{+}}\left[-1+% \frac{1}{\cancelto{0^{+}}{c-1}}\right]$		(5.672)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.673)

Si el integrando tiene una discontinuidad infinita en un punto interior del intervalo de integración, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx,

(5.674)

onde $x=c$ es el punto de discontinuidad de $f$ .

Ejemplo 5.8.6.

Vamos a calcular

\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}

(5.675)

Procedemos como sigue:

	$\displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3% }\frac{dx}{x-2}$		(5.676)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{-}}\int_{0}^{c}% \frac{dx}{x-2}+\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{+}}\int_{c}^{3}\frac{dx}{x% -2}$		(5.677)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{-}}[\ln\|x-2\|]_{% 0}^{c}+\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{+}}[\ln\|x-2\|]_{c}^{3}$		(5.678)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{-}}[\cancelto{-% \infty}{\ln\|c-2\|}+\ln\|-2\|]+\mathop{\operator@font lim}_{c\to 2^{+}}[\ln 1-% \cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}]$		(5.679)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty+\infty$		(5.680)

por lo que concluimos que la integral es divergente.

5.8.3 Ejercicios resueltos

ER 5.8.1.

Para qué valores de $p$ es convergente la integral +

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}?

(5.681)

Resolución.

Por definición

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\int% _{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}.

(5.682)

Para $p=1$ tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\mathop{\operator@font lim}_{b\to% \infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}$		(5.683)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}[\ln\|x\|]_{1}% ^{b}$		(5.684)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[% \cancelto{\infty}{\ln\|b\|}-0\right]$		(5.685)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty$		(5.686)

Es decir, para $p=1$ la integral diverge. Ahora, para $p\neq 1$ , tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\mathop{\operator@font lim}_{b% \to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}$		(5.687)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[\frac{% x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b}$		(5.688)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[\frac{% b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p}\right].$		(5.689)

Para $p<1$ , $b^{1-p}\to\infty$ cuando $b\to\infty$ . Para $p>1$ , $b^{1-p}\to 0$ cuando $b\to\infty$ . Por lo tanto, la integral es convergente para $p>1$ y

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1},\quad p>1.

(5.690)

ER 5.8.2.

Calcule

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}.

(5.691)

Resolución.

Observamos que, además del límite de integración infinito, el integrando tiene una discontinuidad infinita en $x=1$ . Así, calculamos

	$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\mathop{\operator@font lim}% _{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(5.692)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\left[% \mathop{\operator@font lim}_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\right]$		(5.693)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{b\to\infty}\mathop{% \operator@font lim}_{a\to 1^{+}}\left(\cancelto{0}{\frac{1}{1-b}}-\cancelto{-% \infty}{\frac{1}{1-a}}\right)$		(5.694)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty$		(5.695)

5.8.4 Ejercicios

E. 5.8.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{3}}$

a) $\tfrac{1}{2}$ ; b) $-2$

E. 5.8.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+1}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\tfrac{\pi}{2}$

E. 5.8.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
b)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x-2}\,dx$

a) $\infty$ ; b) $-\infty$

E. 5.8.4.

Calcule

\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^{2}}

(5.696)

$\infty$

E. 5.8.5.

Calcule

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}

(5.697)

divergente

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5.8 Integrales impropias

Ejemplo 5.8.1.

5.8.1 Límites de integración infinitos

Ejemplo 5.8.2.

Ejemplo 5.8.3.

Ejemplo 5.8.4.

5.8.2 Integrandos con discontinuidad infinita

Ejemplo 5.8.5.

Ejemplo 5.8.6.

5.8.3 Ejercicios resueltos

ER 5.8.1.

Resolución.

ER 5.8.2.

Resolución.

5.8.4 Ejercicios

E. 5.8.1.

E. 5.8.2.

E. 5.8.3.

E. 5.8.4.

E. 5.8.5.

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