Cálculo I

5 Integração 5.6 Integração por substituição trigonométrica 5.8 Integrais impróprias

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5.7 Integração por frações parciais

O método de integração por frações parciais aplica-se a integrais de funções racionais

\int\frac{p(x)}{q(x)}\,dx

(5.578)

onde, $p$ e $q$ são funções polinomiais. A ideia é usar a chamada decomposição por fatores parciais: toda função racional própria²⁹²⁹endnote: ²⁹Uma função racional $p/q$ é própria, quando o grau de $p$ é menor que o grau do denominador. $p/q$ pode ser reescrita da seguinte forma

\frac{p(x)}{q(x)}=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x),

(5.579)

onde $f_{1},f_{2},\dotsc,f_{n}$ são chamadas de frações parciais e têm a forma

\frac{A}{(ax+b)^{m}}

(5.580)

\frac{Ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(5.581)

sendo seus denominadores os fatores de $q$ .

5.7.1 Raízes reais distintas

Quando o polinômio denominador tem todas suas raízes reais e distintas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\cdots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}

(5.582)

onde, $n$ é o grau do denominador.

Exemplo 5.7.1.

Vamos calcular

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx.

(5.583)

Para fazermos a decomposição por frações parciais, começamos calculando as raízes do denominador.

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }2}x^{2}-5x+3=0$		(5.584)
	$\displaystyle x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$		(5.585)
	$\displaystyle x_{1,2}=\frac{\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-4\cdot\frac{3}{2}% }}{2}$		(5.586)
	$\displaystyle x_{1}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{0,0,1}1},\leavevmode\nobreak\ x_{2}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{3}{2}}$		(5.587)

Com isso, decompomos o denominador como segue

	$\displaystyle 2x^{2}-5x+3={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}2}(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}1})\left(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{3}{2}}\right)$		(5.588)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)(2x-3)$		(5.589)

Com o Python+SymPy, podemos computar a fatoração do polinômio acima como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> factor(2*x**2 - 5*x + 3)

4 (x - 1)*(2*x - 3)

Uma vez fatorado o denominador, a decomposição por frações parciais consistem em calcular os parâmetros $A$ e $B$ tais que

	$\displaystyle\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x-3}$		(5.590)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A(2x-3)+B(x-1)}{(x-1)(2x-3)}$		(5.591)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2A+B)x+(-3A-B))}{(x-1)(2x-3)}$		(5.592)

Então, por comparação direta, obtemos o seguinte sistema linear de duas equações e duas incógnitas

	$\displaystyle 2A+B=2$		(5.593)
	$\displaystyle-3A-B=-4$		(5.594)

Resolvendo-o, encontramos $A=2$ e $B=-2$ .

Com o Python+SymPy, podemos computar a solução deste sistema como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> A,B = symbols('A,B')

3 >>> solve([Eq(2*A + B, 2),

4 >>> Eq(-3*A - B, -4)])

5 {A: 2, B: -2}

Em fim, obtemos a decomposição por frações parciais

\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}=\frac{2}{x-1}-\frac{2}{2x-3}.

(5.595)

Com o Python+SymPy, podemos computar a decomposição por frações parciais diretamente com o método apart. Neste caso aqui, temos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> apart((2*x-4)/(2*x**2 - 5*x + 3))

4 -2/(2*x - 3) + 2/(x - 1)

Uma vez, calculada a decomposição, temos que a integral que queremos calcular pode ser reescrita da seguinte forma

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=\int\frac{2}{x-1}\,dx-\int\frac{2}{2x-3}\,dx

(5.596)

As integrais do lado esquerdo podem ser computadas pelo método da substituição, obtendo-se

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|2x-3|+C

(5.597)

5.7.2 Raízes reais múltiplas

No caso em que o denominador com raízes reais múltiplas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{(ax+b)^{m}}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\cdots+% \frac{A_{m}}{(ax+b)^{m}}.

(5.598)

Exemplo 5.7.2.

Vamos calcular

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx

(5.599)

O denominador tem raiz real dupla $x_{1,2}=1$ , podendo ser fatorado como segue

x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}

(5.600)

Então, a decomposição do integrando por frações parciais tem a forma

	$\displaystyle\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}}{(x-1)^{2}}$		(5.601)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x-1)+A_{2}}{(x-1)^{2}}$		(5.602)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}x+(-A_{1}+A_{2})}{(x-1)^{2}}$		(5.603)

Por comparação direta, encontramos o seguinte sistema de equações lineares

	$\displaystyle A_{1}=-1$		(5.604)
	$\displaystyle-A_{1}+A_{2}=2$		(5.605)

Donde, obtemos os parâmetros $A_{1}=-1$ e $A_{2}=1$ . Com isso, a integral pode ser reescrita da seguinte forma

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\int\frac{1}{x-1}\,dx+\int\frac{1}{(x-1)^{2}}% \,dx

(5.606)

Estas últimas podem ser calculadas pelo método de substituição, donde concluímos que

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

(5.607)

Com o Python+SymPy, podemos computar esta integral diretamente com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate((2-x)/(x**2 - 2*x + 1))

4 -log(x - 1) - 1/(x - 1)

5.7.3 Raízes complexas

Quando o polinômio denominador tem raízes complexas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\cdots+\frac{A% _{m}x+B_{m}}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(5.608)

Exemplo 5.7.3.

Vamos calcular

\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx

(5.609)

As raízes do denominador são $x_{1}=1$ e $x_{2,3}=1\pm i$ . Desta forma, fazemos a decomposição por frações parciais do integrando como segue

	$\displaystyle\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}x+B_{2}}% {x^{2}-2x+2}$		(5.610)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x^{2}-2x+2)+(A_{2}x+B_{2})(x-1))}{x^{3}-% 3x^{2}+4x-2}$		(5.611)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(A_{1}+A_{2})x^{2}+(-2A_{1}-A_{2}+B_{2})x+(2A_% {1}-B_{2})}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}$		(5.612)

Por comparação direta, temos

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(5.613)
	$\displaystyle-2A_{1}-A_{2}+B_{2}=0$		(5.614)
	$\displaystyle 2A_{1}-B_{2}=1$		(5.615)

donde $A_{1}=1$ , $A_{2}=-1$ e $B_{2}=1$ . Com isso, calculamos a integral como segue

	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx=\int\frac{1}{(x-1)}\,dx+\int% \frac{-x+1}{x^{2}-2x+2}\,dx$		(5.616)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln\|x^{2}-2x+2\|+C$		(5.617)

5.7.4 Exercícios resolvidos

ER 5.7.1.

Calcule

\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx

(5.618)

Resolução.

Vamos calcular fazendo a decomposição por frações parciais. Começamos observando que $x=1$ é raiz do denominador, donde calculamos a fatoração

2x^{3}+2x^{2}-2x-2=2(x-1)(x+1)^{2}.

(5.619)

Com isso, vemos que o denominador tem raízes $x_{1}=1$ e $x_{2,3}=-1$ . Então, a decomposição por frações parciais do integrando tem a forma

	$\displaystyle\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}=\frac{A_{1}}{2x-2}+\frac{A_{2}}{x+% 1}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{2}}$		(5.620)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(2x+2)^{2}+A_{2}(2x-2)(x+1)+A_{3}(2x-2)}{% (2x-2)(x+1)^{2}}$		(5.621)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(4x^{2}+8x+4)+A_{2}(2x^{2}-2)+A_{3}(2x-2)% }{(2x-2)(x+1)^{2}}$		(5.622)

Por comparação direta, temos

	$\displaystyle 4A_{1}+2A_{2}=0$		(5.623)
	$\displaystyle 8A_{1}+2A_{3}=1$		(5.624)
	$\displaystyle 4A_{1}-2A_{2}-2A_{3}=1$		(5.625)

Resolvendo, obtemos $A_{1}=1/8$ , $A_{2}=-1/4$ e $A_{3}=0$ . Por fim, calculamos a integral como segue

	$\displaystyle\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx=\int\frac{\frac{1}{8}}{2x-% 2}\,dx+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}\,dx$		(5.626)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}\ln\|x-1\|-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+C$		(5.627)

ER 5.7.2.

Calcule a área entre as curvas $y=5/(x(x^{2}+4))$ , $y=0$ , $x=1$ e $x=2$ .

Resolução.

A área pode ser calculada pela integral definida

\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}+4)}\,dx.

(5.628)

Vamos calculá-la pelo método da decomposição por frações parciais

	$\displaystyle\frac{5}{x(x^{2}-4)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(x**2+4}$		(5.629)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x^{2}+4)+(A_{2}x+B_{2})x}{x(x^{2}+4)}$		(5.630)

Por comparação direta, obtemos o seguinte sistema de equações lineares

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(5.631)
	$\displaystyle B_{2}=0$		(5.632)
	$\displaystyle 4A_{1}=5$		(5.633)

Donde, temos os parâmetros $A_{1}=\frac{5}{4}$ , $A_{2}=-\frac{5}{4}$ e $B_{2}=0$ . Com isso, calculamos a integral como segue

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}-4)}\,dx=\int_{1}^{2}\frac{\frac{5}{4% }}{x}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{-\frac{5}{4}x}{x^{2}+4}\,dx$		(5.634)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{2}-\frac{5}{4}% \left[\ln\|x^{2}+4\|\right]_{1}^{2}$		(5.635)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\ln(2)-\frac{5}{4}\ln(8)+\frac{5}{4}\ln(4)$		(5.636)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\ln(2)$		(5.637)

5.7.5 Exercícios

E. 5.7.1.

Calcule

\int\frac{1}{x^{2}-1}\,dx

(5.638)

$\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

E. 5.7.2.

Calcule

\int\frac{x+2}{2x^{3}-5x^{2}+2x}\,dx

(5.639)

$\ln|x|+\frac{2}{3}\ln|x-2|-\frac{5}{3}\ln|x-\frac{1}{2}|+C$

E. 5.7.3.

Calcule

\int\frac{2x-3}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx

(5.640)

$\frac{5}{4}\ln|x-1|-\frac{5}{4}\ln|x+1|+\frac{1}{2x-2}+C$

E. 5.7.4.

Calcule

\int\frac{x+2}{x^{3}+x}\,dx

(5.641)

$2\ln|x|-\ln|x^{2}+1|+\operatorname{arctg}(x)+C$

E. 5.7.5.

Calcule

\int_{0}^{1}\frac{1}{2x^{3}+7x^{2}-7x+2}\,dx

(5.642)

$-\frac{4}{3}\ln(2)+\ln|3|$

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5.7.1 Raízes reais distintas

Exemplo 5.7.1.

5.7.2 Raízes reais múltiplas

Exemplo 5.7.2.

5.7.3 Raízes complexas

Exemplo 5.7.3.

5.7.4 Exercícios resolvidos

ER 5.7.1.

Resolução.

ER 5.7.2.

Resolução.

5.7.5 Exercícios

E. 5.7.1.

E. 5.7.2.

E. 5.7.3.

E. 5.7.4.

E. 5.7.5.

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