Cálculo I

3 Derivadas 3.5 Reglas básicas de derivación 3.7 Linealización y diferenciales

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3.6 Derivadas de funciones trigonométricas

Comenzamos por la derivada de la función seno. Por la definición de la derivada, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{\prime}x=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x+h)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{h}$		(3.328)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cos(h)+\cos(x)\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(h)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{h}$		(3.329)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\frac{% \mathop{\operator@font sen}\nolimits h}{h}$		(3.330)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits h}{h}\mathchar 46\relax$		(3.331)

Usando el teorema del emparedado para límites de funciones, podemos mostrar que⁶⁶6Consultemos laSección 2.7.4.

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits h}{h}=1\quad\text{y}\quad\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0\mathchar 46\relax

(3.332)

Luego, tenemos

\boldsymbol{\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{\prime}x=\cos x}\mathchar 46\relax

(3.333)

De forma similar, tenemos

	$\displaystyle\cos^{\prime}x=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0% }\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$		(3.334)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{\cos(x)\cos(h)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(h)-\cos x}{h}$		(3.335)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h}-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\frac{% \mathop{\operator@font sen}\nolimits h}{h}$		(3.336)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos(x)\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h% \to 0}\cancelto{0}{\frac{\cos(h)-1}{h}}-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x% )\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\cancelto{0}{\frac{\mathop% {\operator@font sen}\nolimits h}{h}}\mathchar 46\relax$		(3.337)

Es decir,

\boldsymbol{\cos^{\prime}x=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}\mathchar 46\relax

(3.338)

Ejemplo 3.6.1.

La derivada de $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}x+\cos^{2}x$ es

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}x+\cos^{2% }x)^{\prime}$		(3.339)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}x)^{\prime}% +(\cos^{2}x)^{\prime}$		(3.340)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\cdot\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x)^{\prime}+(\cos x\cdot\cos x)^{\prime}$		(3.341)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos x\cdot\mathop{\operator@font sen}\nolimits x+% \mathop{\operator@font sen}\nolimits x\cdot\cos x-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x\cdot\cos x-\cos x\cdot\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$		(3.342)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,$		(3.343)

como era de esperar⁷⁷7Recordemos la identidad trigonométrica fundamental $\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)+\cos^{2}(x)\equiv 1$ ..

Código 59: Python

⬇

1from sympy import diff, sin, cos

2from sympy.abc import x

3diff(sin(x)**2 + cos(x)**2, x)

Conocidas las derivadas de seno y coseno, podemos obtener las derivadas de las demás funciones trigonométricas mediante la regla del cociente. Tenemos:

$\boldsymbol{\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{\prime}x=\sec^{2}x}$

	$\displaystyle\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{\prime}x=\left(\frac{\mathop% {\operator@font sen}\nolimits x}{\cos x}\right)^{\prime}$		(3.344)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{\prime}x% \cos x-\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$		(3.345)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\cos x\cos x+\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{\cos^{2}x}$		(3.346)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\cos^{2}x}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{2}$		(3.347)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sec^{2}x\mathchar 46\relax$		(3.348)

Código 60: Python

⬇

1from sympy import diff, tan

2from sympy.abc import x

3diff(tan(x), x)

tan(x)**2 + 1

$\boldsymbol{\mathop{\operator@font cotg}\nolimits^{\prime}x=-\operatorname{% cossec}^{2}x}$

Consultemos la demostración de este resultado en el E.3.6.4.

Código 61: Python

⬇

1from sympy import diff, cot

2from sympy.abc import x

3diff(cot(x), x)

⬇

-cot(x)**2 - 1
$\boldsymbol{\sec^{\prime}x=\sec x\mathop{\operator@font tg}\nolimits x}$

$\displaystyle\sec^{\prime}x=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$ (3.349)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$ (3.350)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{\cos^{% 2}x}$ (3.351)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{\cos x% }\cdot\frac{1}{\cos x}$ (3.352)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font tg}\nolimits x\sec x\mathchar 46\relax$ (3.353)

Código 62: Python

⬇

1from sympy import diff, sec

2from sympy.abc import x

3diff(sec(x), x)

⬇

sec(x)*tan(x)
$\boldsymbol{\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits x}$

Consultemos la demostración de este resultado en el E.3.6.5.

Código 63: Python

⬇

1from sympy import diff, csc

2from sympy.abc import x

3diff(csc(x), x)

⬇

-cot(x)*csc(x)

Observación 3.6.1.

Los cálculos anteriores muestran que las funciones trigonométricas son derivables en todos los puntos de sus dominios.

Ejemplo 3.6.2.

La derivada con respecto a $x$ de

f(x)=\frac{x+\mathop{\operator@font tg}\nolimits x}{\sec x}

(3.354)

puede calcularse como sigue

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{x+\mathop{\operator@font tg}\nolimits x% }{\sec x}\right)^{\prime}$		(3.355)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x+\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)^{% \prime}\sec x-(x+\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)\sec^{\prime}x}{\sec^{2% }x}$		(3.356)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(1+\sec^{2}x)\sec x-(x+\mathop{\operator@font tg% }\nolimits x)\sec x\mathop{\operator@font tg}\nolimits x}{\sec^{2}x}$		(3.357)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1+\sec^{2}x-(x+\mathop{\operator@font tg}% \nolimits x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits x}{\sec x}\mathchar 46\relax$		(3.358)

3.6.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.359)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.360)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.361)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.362)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.363)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.364)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.365)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.366)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.367)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.368)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.369)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{\prime}x=\cos x$		(3.370)
	$\displaystyle\cos^{\prime}x=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$		(3.371)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{\prime}x=\sec^{2}x$		(3.372)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font cotg}\nolimits^{\prime}x=-\operatorname{% cossec}^{2}x$		(3.373)
	$\displaystyle\sec^{\prime}x=\sec x\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$		(3.374)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits x$		(3.375)

3.6.2 Ejercicios resueltos

ER 3.6.1.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $y=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ en el punto $x=0$ . Luego, realice los bocetos de esta función y de la recta tangente en la misma figura.

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $y=f(x)$ en el punto $x=x_{0}$ es

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\mathchar 46\relax

(3.376)

En este ejercicio, tenemos $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $x_{0}=0$ . Por tanto, calculamos la derivada respecto a $x$ de $f(x)$ , es decir

f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{\prime}x=\cos x\mathchar 46\relax

(3.377)

De ahí que la ecuación de la recta tangente sea

	$\displaystyle y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$		(3.378)
	$\displaystyle y=\cos(0)(x-0)+\mathop{\operator@font sen}\nolimits(0)$		(3.379)
	$\displaystyle y=x\mathchar 46\relax$		(3.380)

En la Figura 3.9 aparecen los gráficos de la función seno y de la recta tangente calculada en el punto $x=0$ .

Refer to caption — Figura 3.9: Gráficos de la función seno y de su recta tangente en el punto $x=0$ .

Código 64: Python

⬇

1from sympy import diff, sin, plot

2from sympy.abc import x

3f = lambda x: sin(x)

4x0 = 0

5# recta tangente

6rt = lambda x: diff(f(x),x).subs(x,x0)*(x-x0)+f(x).subs(x,x0)

7print("y =", rt(x))

8# gráficos

9plot(f(x),rt(x),(x,-3.14,3.14))

ER 3.6.2.

Resuelva la ecuación

\sec^{\prime}(x)=0,

(3.381)

para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Resolución.

Tenemos

	$\displaystyle 0=\sec^{\prime}(x)$		(3.382)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sec(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)$		(3.383)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\cos(x)}\frac{\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)}{\cos(x)}$		(3.384)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)}{\cos^% {2}(x)}$		(3.385)

de donde se sigue que

\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=0\mathchar 46\relax

(3.386)

Finalmente, observamos que para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ la función seno se anula sólo en $x=\pi$ , que es la solución de la ecuación.

3.6.3 Ejercicios

E. 3.6.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\cos^{2}(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\cos(x)$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{2\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}{\sec(x)}$

a) $f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)+\cos(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cdot(2-3\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(x))$ ; c) $h^{\prime}(x)=2\cos(x)$

E. 3.6.2.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $y=\cos x$ en el punto $x=0$ . Luego, haga los bocetos de esta función y de la recta tangente en la misma figura.

$y=1$ . Sugerencia: use un paquete de matemática simbólica para verificar los bocetos de los gráficos.

E. 3.6.3.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)-\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\sec(x)-\operatorname{cossec}(x)$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)}{2\cos(x)}$

a) $f^{\prime}(x)=\sec^{2}(x)+\operatorname{cossec}^{2}(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\sec(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)+\operatorname{% cossec}(x)\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(x)$ ; c) $h^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\sec^{2}(x)$

E. 3.6.4.

Demuestre que $\displaystyle(\mathop{\operator@font cotg}\nolimits x)^{\prime}=-\operatorname% {cossec}^{2}(x)$ .

	$\displaystyle\mathop{\operator@font cotg}\nolimits^{\prime}x=\left(\frac{\cos x% }{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}\right)^{\prime}$
	$\displaystyle\text{}\quad=-\operatorname{cossec}^{2}x$

E. 3.6.5.

Demuestre que $\displaystyle(\operatorname{cossec}x)^{\prime}=-\mathop{\operator@font cotg}% \nolimits x\operatorname{cossec}x$ .

	$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=\left(\frac{1}{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}\right)^{\prime}$
	$\displaystyle\text{}\quad=-\mathop{\operator@font cotg}\nolimits x% \operatorname{cossec}x$

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3.6 Derivadas de funciones trigonométricas

Ejemplo 3.6.1.

Observación 3.6.1.

Ejemplo 3.6.2.

3.6.1 Lista de derivadas

3.6.2 Ejercicios resueltos

ER 3.6.1.

Resolución.

ER 3.6.2.

Resolución.

3.6.3 Ejercicios

E. 3.6.1.

E. 3.6.2.

E. 3.6.3.

E. 3.6.4.

E. 3.6.5.

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	$\displaystyle\sec^{\prime}x=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$		(3.349)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$		(3.350)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{\cos^{% 2}x}$		(3.351)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits x}{\cos x% }\cdot\frac{1}{\cos x}$		(3.352)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font tg}\nolimits x\sec x\mathchar 46\relax$		(3.353)