Cálculo I

3 Derivadas 3.5 Regas básicas de derivação 3.7 Linearização e diferenciais

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3.6 Derivadas de funções trigonométricas

Começamos pela derivada da função seno. Pela definição da derivada, temos

	$\displaystyle\operatorname{sen}^{\prime}x=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen% }(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}$		(3.319)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(h)+\cos% (x)\operatorname{sen}(h)-\operatorname{sen}x}{h}$		(3.320)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\operatorname{sen}(x)\frac{\cos(h)-1}{h% }+\cos(x)\frac{\operatorname{sen}h}{h}$		(3.321)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x)\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h% }+\cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}.$		(3.322)

Usando do teorema do confronto para limites de funções, podemos mostrar que¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰Consultemos aSeção 2.7.4.

\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1\quad\text{e}\quad\lim_{h\to 0}% \frac{\cos(h)-1}{h}=0.

(3.323)

Logo, temos

\boldsymbol{\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x}.

(3.324)

De forma similar, temos

	$\displaystyle\cos^{\prime}x=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$		(3.325)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\cos(h)-\operatorname{sen}% (x)\operatorname{sen}(h)-\cos x}{h}$		(3.326)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h}-% \operatorname{sen}(x)\frac{\operatorname{sen}h}{h}$		(3.327)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos(x)\lim_{h\to 0}\cancelto{0}{\frac{\cos(h)-1}{h}% }-\operatorname{sen}(x)\lim_{h\to 0}\cancelto{0}{\frac{\operatorname{sen}h}{h}}.$		(3.328)

Ou seja,

\boldsymbol{\cos^{\prime}x=-\operatorname{sen}x}.

(3.329)

Exemplo 3.6.1.

A derivada de $f(x)=\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)^{\prime}$		(3.330)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\operatorname{sen}^{2}x)^{\prime}+(\cos^{2}x)^{\prime}$		(3.331)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}x)^{% \prime}+(\cos x\cdot\cos x)^{\prime}$		(3.332)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos x\cdot\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}x% \cdot\cos x-\operatorname{sen}x\cdot\cos x-\cos x\cdot\operatorname{sen}x$		(3.333)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,$		(3.334)

conforme esperado.

Com o SymPy, podemos computar esta derivada com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(sin(x)**2+cos(x)**2,x)

Conhecidas as derivadas da função seno e cosseno, podemos obter as derivadas das demais funções trigonométricas pela regra do quociente. Temos:

•

$\boldsymbol{\operatorname{tg}^{\prime}x=\sec^{2}x}$

Dem.:

	$\displaystyle\operatorname{tg}^{\prime}x=\left(\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x% }\right)^{\prime}$		(3.335)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}^{\prime}x\cos x-% \operatorname{sen}x\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$		(3.336)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\cos x\cos x+\operatorname{sen}x\operatorname{% sen}x}{\cos^{2}x}$		(3.337)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\cos^{2}x}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{2}$		(3.338)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sec^{2}x.$		(3.339)

•

$\boldsymbol{\operatorname{cotg}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}^{2}x}$

Dem.:

	$\displaystyle\operatorname{cotg}^{\prime}x=\left(\frac{\cos x}{\operatorname{% sen}x}\right)^{\prime}$		(3.340)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\cos^{\prime}x\operatorname{sen}x-\cos x% \operatorname{sen}^{\prime}x}{\operatorname{sen}^{2}x}$		(3.341)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}x-\cos x% \cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$		(3.342)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-1}{\operatorname{sen}^{2}x}=-\left(\frac{1}{% \operatorname{sen}x}\right)^{2}$		(3.343)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\operatorname{cossec}^{2}x.$		(3.344)

•

$\boldsymbol{\sec^{\prime}x=\sec x\operatorname{tg}x}$

Dem.:

$\displaystyle\sec^{\prime}x=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$ (3.345)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$ (3.346)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}$ (3.347)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}$ (3.348)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{tg}x\sec x.$ (3.349)
•

$\boldsymbol{\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x% \operatorname{cotg}x}$

Dem.:

$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}% x}\right)^{\prime}$ (3.350)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\operatorname{sen}^{\prime}x}{\operatorname{% sen}^{2}x}$ (3.351)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$ (3.352)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{1}{% \operatorname{sen}x}$ (3.353)

$\displaystyle\text{}\quad=-\operatorname{cotg}x\operatorname{cossec}x.$ (3.354)

Observação 3.6.1.

Os cálculos acima, mostram que as funções trigonométricas são deriváveis em todos os pontos de seus domínios.

Exemplo 3.6.2.

A derivada em relação a $x$ de

f(x)=\frac{x+\operatorname{tg}x}{\sec x}

(3.355)

pode ser calculada como segue

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{x+\operatorname{tg}x}{\sec x}\right)^{\prime}$		(3.356)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x+\operatorname{tg}x)^{\prime}\sec x-(x+% \operatorname{tg}x)\sec^{\prime}x}{\sec^{2}x}$		(3.357)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(1+\sec^{2}x)\sec x-(x+\operatorname{tg}x)\sec x% \operatorname{tg}x}{\sec^{2}x}$		(3.358)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1+\sec^{2}x-(x+\operatorname{tg}x)% \operatorname{tg}x}{\sec x}.$		(3.359)

Com o SymPy, podemos computar esta derivada com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff((x+tan(x))/sec(x),x)

3.6.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.360)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.361)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.362)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.363)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.364)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.365)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.366)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.367)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.368)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.369)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.370)
	$\displaystyle\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x$		(3.371)
	$\displaystyle\cos^{\prime}x=-\operatorname{sen}x$		(3.372)
	$\displaystyle\operatorname{tg}^{\prime}x=\sec^{2}x$		(3.373)
	$\displaystyle\operatorname{cotg}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}^{2}x$		(3.374)
	$\displaystyle\sec^{\prime}x=\sec x\operatorname{tg}x$		(3.375)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x% \operatorname{cotg}x$		(3.376)

3.6.2 Exercícios resolvidos

ER 3.6.1.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $y=\operatorname{sen}x$ no ponto $x=0$ . Então, faça os esboços desta função e da reta tangente, em uma mesma figura.

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ no ponto $x=x+0$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.377)

No caso deste exercício, temos $f(x)=\operatorname{sen}x$ e $x_{0}=0$ . Assim sendo, calculamos a derivada em relação a $x$ de $f(x)$ , i.e.

f^{\prime}(x)=\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x.

(3.378)

Segue que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$		(3.379)
	$\displaystyle y=\cos(0)(x-0)+\operatorname{sen}(0)$		(3.380)
	$\displaystyle y=x.$		(3.381)

Na Figura 3.9, temos os gráficos da função seno e da reta tangente calculada no ponto $x=0$ .

Refer to caption — Figura 3.9: Gráficos da função seno e de sua reta tangente no ponto $x=0$ .

Com o SymPy, podemos resolver este exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 f = sin(x)

4 x0 = 0

6 # reta tangente

7 rt = diff(f,x).subs(x,x0)*(x-x0)+f.subs(x,x0)

8 print("Reta tangente: y = %s" % rt)

10 # graficos

11 plot(f,rt,(x,-pi,pi))

ER 3.6.2.

Resolva a equação

\sec^{\prime}(x)=0,

(3.382)

para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Resolução.

Temos

	$\displaystyle 0=\sec^{\prime}(x)$		(3.383)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sec(x)\operatorname{tg}(x)$		(3.384)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\cos(x)}\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}$		(3.385)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{2}(x)}$		(3.386)

donde segue que

\operatorname{sen}(x)=0.

(3.387)

Por fim, observamos que para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ , a função seno se anula somente em $x=\pi$ , a qual é a solução da equação.

3.6.3 Exercícios

E. 3.6.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos^{2}(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{2\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)}$

a) $f^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(2x)+\cos(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot(2-3\sin^{2}(x)))$ ; c) $h^{\prime}(x)=2\cos(x)$

E. 3.6.2.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $y=\cos x$ no ponto $x=0$ . Então, faça os esboços desta função e da reta tangente, em uma mesma figura.

$y=1$ . Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar os esboços dos gráficos.

E. 3.6.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)-\operatorname{cotg}(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\sec(x)-\operatorname{cossec}(x)$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{2\cos(x)}$

a) $f^{\prime}(x)=\sec^{2}(x)+\operatorname{cossec}^{2}(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\sec(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{cossec}(x)% \operatorname{cotg}(x)$ ; c) $h^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\sec^{2}(x)$

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3.6 Derivadas de funções trigonométricas

Exemplo 3.6.1.

Observação 3.6.1.

Exemplo 3.6.2.

3.6.1 Lista de derivadas

3.6.2 Exercícios resolvidos

ER 3.6.1.

Resolução.

ER 3.6.2.

Resolução.

3.6.3 Exercícios

E. 3.6.1.

E. 3.6.2.

E. 3.6.3.

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	$\displaystyle\sec^{\prime}x=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$		(3.345)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$		(3.346)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}$		(3.347)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}$		(3.348)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{tg}x\sec x.$		(3.349)

	$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}% x}\right)^{\prime}$		(3.350)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\operatorname{sen}^{\prime}x}{\operatorname{% sen}^{2}x}$		(3.351)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$		(3.352)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{1}{% \operatorname{sen}x}$		(3.353)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\operatorname{cotg}x\operatorname{cossec}x.$		(3.354)