Cálculo I

3 Derivadas 3.9 Diferenciabilidad de la función inversa 4 Aplicaciones de la derivada

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

3.10 Derivación implícita

Sea $y=y(x)$ definida implícitamente por

g(y(x))=0\mathchar 46\relax

(3.597)

La derivada $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ puede calcularse mediante la regla de la cadena

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(y(x))=\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{% d}x}$		(3.598)
	$\displaystyle g^{\prime}(y(x))\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\mathchar 46\relax$		(3.599)

Ejemplo 3.10.1.

Considere la ecuación de la circunferencia unitaria (Figura 3.13)

x^{2}+y^{2}=1\mathchar 46\relax

(3.600)

Aquí vamos a calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ de dos maneras distintas.

Refer to caption — Figura 3.13: Gráfico de la circunferencia unitaria $x^{2}+y^{2}=1$ .

a)

Por derivación directa. Aislando $y$ en (3.600), tenemos

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$ (3.601)

lo cual está bien definido para $-1\leq x\leq 1$ . Calculando la derivada, obtenemos

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$ (3.602)

$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$ (3.603)

$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$ (3.604)

Es decir, para $y<0$ tenemos $y^{\prime}=x/y$ y, para $y>0$ , $y^{\prime}=-x/y$ . Luego, concluimos que

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}\mathchar 46\relax$ (3.605)

Por derivación implícita. Derivamos ambos lados de (3.600) con respecto a $x$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.606)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.607)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.608)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.609)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}\mathchar 46\relax$		(3.610)

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de $x$ )

Vamos a mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{% \mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1}},

(3.611)

para cualquier número racional $r\neq 0$ . Denotando $r=m/n$ , $m,n\in\mathbb{N}$ , tenemos

	$\displaystyle y=x^{m/n}$		(3.612)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$		(3.613)
	$\displaystyle y^{n}=x^{m}$		(3.614)

De la derivación de la función potencia con exponente entero, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^{n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }x^{m}$		(3.615)
	$\displaystyle ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}$		(3.616)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}y^{1-n}$		(3.617)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}\left(x^{\frac{% m}{n}}\right)^{1-n}$		(3.618)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}x^{\frac{m}{n}(% 1-n)}$		(3.619)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1+\frac{m}{n}(1-n)}$		(3.620)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}% \mathchar 46\relax$		(3.621)

Luego, se obtiene el resultado que queríamos demostrar.

Ejemplo 3.10.2.

Vamos a calcular $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$ para

x^{2}+y^{2}=1\mathchar 46\relax

(3.622)

Primeramente, necesitamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ . Esto se hizo en el Ejemplo 3.10.1, donde obtuvimos

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}\mathchar 46\relax

(3.623)

Antes de derivar de nuevo, reescribamos esta última expresión de la siguiente forma

y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-x

(3.624)

Derivando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d% }x}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[-x\right]$		(3.625)
	$\displaystyle 1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$		(3.626)
	$\displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}+\frac{\mathrm{d}% ^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-1$		(3.627)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}-1% \mathchar 46\relax$		(3.628)

3.10.1 Ejercicios resueltos

ER 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para la lemniscata de Bernoulli¹⁰¹⁰10Jacob Bernoulli, 1655-1705, matemático suizo. Fuente: Wikipedia: Jakob Bernoulli.

(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}\mathchar 46\relax

(3.629)

Resolución.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(x^{2}+y^{2})^{2}\right]=% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}-y^{2}\right]$		(3.630)
	$\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})\left(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=% 2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$		(3.631)

Reordenando los términos, obtenemos

2(y+2x^{2}y+2y^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-4xy^{2}-4x^{3}

(3.632)

o bien

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-2x^{3}-2xy^{2}}{y+2x^{2}y+2y^{3}}

(3.633)

ER 3.10.2.

Calcule la ecuación de la recta tangente al gráfico de la circunferencia unitaria

x^{2}+y^{2}=1

(3.634)

en el punto $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $y=y(x)$ en el punto $(x_{0},y(x_{0}))$ viene dada por

y=y^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})

(3.635)

donde, en este caso, $\displaystyle x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

y^{\prime}(x_{0})=\left\mathchar 46\relax\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right% |_{x=x_{0}}\mathchar 46\relax

(3.636)

Calculamos $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ como sigue

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.637)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.638)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.639)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.640)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}\mathchar 46\relax$		(3.641)

Con esto, tenemos

	$\displaystyle y^{\prime}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{y(x_{0})}$		(3.642)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$		(3.643)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\mathchar 46\relax$		(3.644)

Concluimos que la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.645)
	$\displaystyle y=-x+\sqrt{2}\mathchar 46\relax$		(3.646)

3.10.2 Ejercicios

E. 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para:

a)

$x+2xy-x^{3}=3$
b)

$x^{2}+y^{2}=xy$

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}-2y-1}{2x}$ b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-2x}{2y-x}$

E. 3.10.2.

Calcule $\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}$ para

x^{2}+y^{2}=xy

(3.647)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{x+y-2}{x^{2}}$

E. 3.10.3.

Encuentre el punto de intersección de las rectas tangentes al gráfico de

y^{2}=x-1

(3.648)

en los puntos $(2,-1)$ y $(2,1)$ .

(0, 0)

E. 3.10.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de la circunferencia de centro $C=(1,1)$ y radio $r=\sqrt{2}$ que pasa por el origen $O=(0,0)$ .

$y=-x$

E. 3.10.5.

Sea $c$ la circunferencia de radio $r>0$

x^{2}+y^{2}=r^{2}\mathchar 46\relax

(3.649)

Demuestre que la recta tangente al gráfico de $c$ en cualquier punto arbitrario $P=(x_{0},y_{0})\in c$ es perpendicular a la recta $\overline{OP}$ , es decir la recta que pasa por el origen $O=(0,0)$ y por el punto $P\mathchar 46\relax$

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

3.10 Derivación implícita

Ejemplo 3.10.1.

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de $x$ )

Ejemplo 3.10.2.

3.10.1 Ejercicios resueltos

ER 3.10.1.

Resolución.

ER 3.10.2.

Resolución.

3.10.2 Ejercicios

E. 3.10.1.

E. 3.10.2.

E. 3.10.3.

E. 3.10.4.

E. 3.10.5.

Envía tu comentario

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$		(3.602)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.603)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$		(3.604)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

3.10 Derivación implícita

Ejemplo 3.10.1.

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de x)

Ejemplo 3.10.2.

3.10.1 Ejercicios resueltos

ER 3.10.1.

Resolución.

ER 3.10.2.

Resolución.

3.10.2 Ejercicios

E. 3.10.1.

E. 3.10.2.

E. 3.10.3.

E. 3.10.4.

E. 3.10.5.

Envía tu comentario

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de $x$ )