Cálculo I

3 Derivadas 3.9 Diferenciabilidad de la función inversa 4 Aplicaciones de la derivada

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3.10 Derivación implícita

Sea $y=y(x)$ definida implícitamente por

g(y(x))=0.

(3.601)

La derivada $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ puede calcularse mediante la regla de la cadena

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(y(x))=\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{% d}x}$		(3.602)
	$\displaystyle g^{\prime}(y(x))\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.$		(3.603)

Ejemplo 3.10.1.

Considere la ecuación de la circunferencia unitaria (Figura 3.13)

x^{2}+y^{2}=1.

(3.604)

Aquí vamos a calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ de dos maneras distintas.

Refer to caption — Figura 3.13: Gráfico de la circunferencia unitaria $x^{2}+y^{2}=1$ .

a)

Por derivación directa. Aislando $y$ en (3.604), tenemos

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$ (3.605)

lo cual está bien definido para $-1\leq x\leq 1$ . Calculando la derivada, obtenemos

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$ (3.606)

$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$ (3.607)

$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$ (3.608)

Es decir, para $y<0$ tenemos $y^{\prime}=x/y$ y, para $y>0$ , $y^{\prime}=-x/y$ . Luego, concluimos que

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$ (3.609)

Por derivación implícita. Derivamos ambos lados de (3.604) con respecto a $x$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.610)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.611)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.612)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.613)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.614)

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de $x$ )

Vamos a mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{% \mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1}},

(3.615)

para cualquier número racional $r\neq 0$ . Denotando $r=m/n$ , $m,n\in\mathbb{N}$ , tenemos

	$\displaystyle y=x^{m/n}$		(3.616)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$		(3.617)
	$\displaystyle y^{n}=x^{m}$		(3.618)

De la derivación de la función potencia con exponente entero, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y^{n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }x^{m}$		(3.619)
	$\displaystyle ny^{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}$		(3.620)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}y^{1-n}$		(3.621)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}\left(x^{\frac{% m}{n}}\right)^{1-n}$		(3.622)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1}x^{\frac{m}{n}(% 1-n)}$		(3.623)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{m-1+\frac{m}{n}(1-n)}$		(3.624)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}.$		(3.625)

Luego, se obtiene el resultado que queríamos demostrar.

Ejemplo 3.10.2.

Vamos a calcular $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$ para

x^{2}+y^{2}=1.

(3.626)

Primeramente, necesitamos calcular $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ . Esto se hizo en el Ejemplo 3.10.1, donde obtuvimos

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.

(3.627)

Antes de derivar de nuevo, reescribamos esta última expresión de la siguiente forma

y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-x

(3.628)

Derivando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d% }x}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[-x\right]$		(3.629)
	$\displaystyle 1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$		(3.630)
	$\displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}+\frac{\mathrm{d}% ^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-1$		(3.631)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}-1.$		(3.632)

3.10.1 Ejercicios resueltos

ER 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para la lemniscata de Bernoulli¹⁰¹⁰10Jacob Bernoulli, 1655-1705, matemático suizo. Fuente: Wikipedia: Jakob Bernoulli.

(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}.

(3.633)

Resolución.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(x^{2}+y^{2})^{2}\right]=% \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{2}-y^{2}\right]$		(3.634)
	$\displaystyle 2(x^{2}+y^{2})\left(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=% 2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$		(3.635)

Reordenando los términos, obtenemos

2(y+2x^{2}y+2y^{2})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-4xy^{2}-4x^{3}

(3.636)

o bien

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-2x^{3}-2xy^{2}}{y+2x^{2}y+2y^{3}}

(3.637)

ER 3.10.2.

Calcule la ecuación de la recta tangente al gráfico de la circunferencia unitaria

x^{2}+y^{2}=1

(3.638)

en el punto $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $y=y(x)$ en el punto $(x_{0},y(x_{0}))$ viene dada por

y=y^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})

(3.639)

donde, en este caso, $\displaystyle x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

y^{\prime}(x_{0})=\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}.

(3.640)

Calculamos $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ como sigue

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{% \mathrm{d}1}{\mathrm{d}x}$		(3.641)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}\right)+\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\left(y^{2}(x)\right)=0$		(3.642)
	$\displaystyle 2x+\frac{\mathrm{d}y^{2}}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm% {d}x}=0$		(3.643)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$		(3.644)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}.$		(3.645)

Con esto, tenemos

	$\displaystyle y^{\prime}(x_{0})=-\frac{x_{0}}{y(x_{0})}$		(3.646)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$		(3.647)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(3.648)

Concluimos que la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.649)
	$\displaystyle y=-x+\sqrt{2}.$		(3.650)

3.10.2 Ejercicios

E. 3.10.1.

Calcule $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ para:

a)

$x+2xy-x^{3}=3$
b)

$x^{2}+y^{2}=xy$

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}-2y-1}{2x}$ b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-2x}{2y-x}$

E. 3.10.2.

Calcule $\mathrm{d}^{2}y/\mathrm{d}x^{2}$ para

x^{2}+y^{2}=xy

(3.651)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{x+y-2}{x^{2}}$

E. 3.10.3.

Encuentre el punto de intersección de las rectas tangentes al gráfico de

y^{2}=x-1

(3.652)

en los puntos $(2,-1)$ y $(2,1)$ .

(0, 0)

E. 3.10.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de la circunferencia de centro $C=(1,1)$ y radio $r=\sqrt{2}$ que pasa por el origen $O=(0,0)$ .

$y=-x$

E. 3.10.5.

Sea $c$ la circunferencia de radio $r>0$

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

(3.653)

Demuestre que la recta tangente al gráfico de $c$ en cualquier punto arbitrario $P=(x_{0},y_{0})\in c$ es perpendicular a la recta $\overline{OP}$ , es decir la recta que pasa por el origen $O=(0,0)$ y por el punto $P .$

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Ejemplo 3.10.1.

Observación 3.10.1.(Derivadas de potencias racionales de $x$ )

Ejemplo 3.10.2.

3.10.1 Ejercicios resueltos

ER 3.10.1.

Resolución.

ER 3.10.2.

Resolución.

3.10.2 Ejercicios

E. 3.10.1.

E. 3.10.2.

E. 3.10.3.

E. 3.10.4.

E. 3.10.5.

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	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\pm\sqrt{1-x^{2}}\right)$		(3.606)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pm\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.607)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mp\frac{x}{y}$		(3.608)

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