Cálculo I

3 Derivadas 3.8 Regra da cadeia 3.10 Derivação implícita

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3.9 Diferenciabilidade da função inversa

Seja $f$ uma função diferenciável e injetora em um intervalo aberto $I$ . Então, pode-se mostrar que sua inversa $f^{-1}$ é diferenciável em qualquer ponto da imagem da $f$ no qual $f^{\prime}(f^{-1}(x))\neq 0$ e sua derivada é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d}{dx}% [f^{-1}(x)]=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}}.

(3.517)

Exemplo 3.9.1.

Seja $f(x)=(2x-1)^{2}$ para $x>1/2$ . Para calcular sua inversa, fazemos

	$\displaystyle y=(2x-1)^{2}$		(3.518)
	$\displaystyle\sqrt{y}=2x-1$		(3.519)
	$\displaystyle x=\frac{\sqrt{y}+1}{2}$		(3.520)

Ou seja,

f^{-1}(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+1).

(3.521)

Calculando a derivada de $f^{-1}$ diretamente, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}% +1\right)^{\prime}$		(3.522)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$		(3.523)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}}$		(3.524)

Agora, usando (3.517) e observando que $f^{\prime}(x)=8x-4$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1% }(x))},$		(3.525)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{8\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+1\right)-4},$		(3.526)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}},$		(3.527)

como esperado.

Observação 3.9.1.(Derivada da função logarítmica)

•

Tomando $f(x)=e^{x}$ temos $f^{-1}(x)=\ln x$ e, daí por (3.517)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.$ (3.528)
•

Tomando $f(x)=a^{x}$ , $a>0$ e $a\neq 1$ , temos $f^{-1}(x)=\log_{a}x$ e, por (3.517),

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}x=\frac{1}{a^{\log_{a}x}\ln a}=\frac{1}{% x\ln a}.$ (3.529)

Exemplo 3.9.2.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=\ln\frac{1}{x}.

(3.530)

Aplicando a regra da cadeia na derivada da função logarítmica, temos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.531)

Portanto, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{\prime}$		(3.532)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x^{-1}}\cdot(-x^{-2})$		(3.533)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}.$		(3.534)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(log(1/x),x)

4 -1/x

3.9.1 Derivadas de funções trigonométricas inversas

Seja $f(x)=\operatorname{sen}x$ restrita a $-\pi/2\leq x\leq\pi/2$ . Sua inversa é a função arco seno, denotada por

y=\operatorname{arc}\operatorname{sen}x.

(3.535)

Refer to caption — Figura 3.11: Arco seno de um ângulo no triângulo retângulo.

Para calcular a derivada da função arco seno, vamos usar (3.517) com $f(x)=\operatorname{sen}x$ e $f^{\prime}(x)=\operatorname{arc}\operatorname{sen}x$ , donde

(\operatorname{arc}\operatorname{sen}x)^{\prime}=\frac{1}{\cos(\operatorname{% arc}\operatorname{sen}x)}.

(3.536)

Como $\cos(\operatorname{arc}\operatorname{sen}x)=\sqrt{1-x^{2}}$ (consultemos a Figura 3.11), concluímos

(\operatorname{arc}\operatorname{sen}x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

(3.537)

Exemplo 3.9.3.

A regra da cadeia aplicada à derivada da função arco seno é

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{sen}u=\frac{1}{% \sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.538)

Por exemplo, temos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{sen}x^{2}=\frac{% 2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

(3.539)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(asin(x**2),x)

4 2*x/sqrt(-x**4 + 1)

Com argumentos análogos aos usados no cálculo da derivada da função arco seno, podemos obter as seguintes derivadas:

	$\displaystyle(\operatorname{arc}\cos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.540)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\operatorname{tg}x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$		(3.541)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\operatorname{cotg}x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{% 2}}$		(3.542)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\sec x)^{\prime}=\frac{1}{\|x\|\sqrt{x^{2}-1}}$		(3.543)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\operatorname{cosec}x)^{\prime}=-\frac{1}{\|x\|% \sqrt{x^{2}-1}}$		(3.544)

Exemplo 3.9.4.

A regra da cadeia aplicada a função arco tangente é

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}u=\frac{1}{1+% u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.545)

Por exemplo, temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}% \sqrt{x}=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$		(3.546)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}.$		(3.547)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(atan(sqrt(x)))

4 1/(2*sqrt(x)*(x + 1))

3.9.2 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.548)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.549)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.550)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.551)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.552)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.553)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u^{r}=ru^{r-1}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.554)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{u}=a^{u}\ln a\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.555)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{u}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.556)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}u=\frac{1}{u\ln a}\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.557)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}% {\mathrm{d}x}$		(3.558)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sen}u=\cos(u)\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.559)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos u=-\operatorname{sen}(u)\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.560)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{tg}u=\sec^{2}(u)\frac% {\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.561)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cotg}u=-\operatorname% {cossec}^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.562)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec u=\sec(u)\operatorname{tg}(u)% \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.563)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cossec}u=-% \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.564)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{sen% }u=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.565)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\cos u=-\frac{1}{% \sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.566)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}% u=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.567)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{% cotg}u=-\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.568)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\sec u=\frac{1}{\|% u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.569)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{% cossec}u=-\frac{1}{\|u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.570)

3.9.3 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=\ln x$ no ponto $x=1$ . Faça, então, um esboço dos gráficos da função e da reta tangente.

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=\ln x$ no ponto $x_{0}=1$ é

	$\displaystyle y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.571)
	$\displaystyle y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1).$		(3.572)

Observando que

f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},

(3.573)

temos que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=\frac{1}{1}(x-1)+\ln 1$		(3.574)
	$\displaystyle y=x-1.$		(3.575)

Na Figura 3.12, temos os gráficos da função e de sua reta tangente no ponto $x=1$ .

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 rt = diff(log(x)).subs(x,1)*(x-1)+log(1)

4 print("y = %s" % rt)

5 y = x - 1

ER 3.9.2.

Resolva a equação

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}x=1.

(3.576)

Resolução.

Lembrando que

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}x=\frac{1}{1+% x^{2}},

(3.577)

temos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{tg}% x=1$		(3.578)
	$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=1$		(3.579)
	$\displaystyle 1+x^{2}=1$		(3.580)
	$\displaystyle x^{2}=0$		(3.581)
	$\displaystyle x=0.$		(3.582)

ER 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{x}.

(3.583)

Resolução.

Observamos que

	$\displaystyle y=x^{x}$		(3.584)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{x}$		(3.585)
	$\displaystyle\ln y=x\ln x.$		(3.586)

Agora, derivando em relação a $x$ ambos os lados desta equação, obtemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }\left(x\ln x\right)$		(3.587)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+\ln x$		(3.588)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1+\ln x)$		(3.589)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x^{x}}{\mathrm{d}x}=x^{x}(1+\ln x).$		(3.590)

3.9.4 Exercícios

E. 3.9.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$f(x)=\log_{2}x^{2}$
b)

$g(x)=\ln(xe^{x})$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{x\ln 2}$ ; b) $g^{\prime}(x)=\frac{1+x}{x}$

E. 3.9.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções:

a)

$f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}$
b)

$g(x)=(1+2x)^{e}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ ; b) $g^{\prime}(x)=2e(1+2x)^{e-1}$

E. 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1+x)^{x}.

(3.591)

$x(1+x)^{x-1}+(1+x)^{x}\ln(1+x)$

E. 3.9.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\operatorname{arc}\operatorname{tg}x$ no ponto $x=0$ .

$y=x$

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3.9 Diferenciabilidade da função inversa

Exemplo 3.9.1.

Observação 3.9.1.(Derivada da função logarítmica)

Exemplo 3.9.2.

3.9.1 Derivadas de funções trigonométricas inversas

Exemplo 3.9.3.

Exemplo 3.9.4.

3.9.2 Lista de derivadas

3.9.3 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Resolução.

ER 3.9.2.

Resolução.

ER 3.9.3.

Resolução.

3.9.4 Exercícios

E. 3.9.1.

E. 3.9.2.

E. 3.9.3.

E. 3.9.4.

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