Cálculo I

3 Derivadas 3.3 Derivada de funciones constante, identidad y potencia 3.5 Reglas básicas de derivación

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

3.4 Derivada de función exponencial y logarítmica

En esta sección vamos a estudiar la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. Comenzamos con la definición del número de Euler²²2Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suizo. Fuente: Wikipédia. mediante límites.

3.4.1 Número de Euler

El número de Euler³³3Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático y físico suizo. Fuente: Wikipedia: Ronald Fisher. $e\approx 2,7183\ldots$ puede definirse por el siguiente límite

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}}

(3.184)

Ejemplo 3.4.1.

Consideremos los siguientes límites.

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}{h}}\right]^{2}$ (3.185)

$\displaystyle\text{}\quad=\left[\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\cancelto{% e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]^{2}$ (3.186)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.187)

Código 44: Python

⬇

1from sympy import symbols, limit

2h = symbols('h')

3limit((1 + h)**(2/h), h, 0)

⬇

exp(2)
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$

Para calcular este límite, podemos hacer la siguiente cambio de variable

$u=2h$ (3.188)

donde, $u\to 0$ cuando $h\to 0$ . Entonces, sigue que

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h% }}=\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{2}{u}}$ (3.189)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.190)

3.4.2 Derivada de función exponencial

Vamos a calcular la derivada de la función exponencial

f(x)=a^{x}

(3.191)

con $a>0$ . Partiendo de la definición de derivada, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^% {x}}{h}$		(3.193)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{a^{x}\left% (a^{h}-1\right)}{h}$		(3.194)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{a^{h}% -1}{h}$		(3.195)

Ahora, hacemos el siguiente cambio de variable

u=a^{h}-1

(3.196)

donde $u\to 0$ cuando $h\to 0$ y

h=\log_{a}(1+u).

(3.197)

Con esto, volviendo a (3.195) se sigue que

	$\displaystyle\left(a^{x}\right)=a^{x}\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\frac% {u}{\log_{a}(1+u)}$		(3.198)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\frac{1}{% \frac{1}{u}\log_{a}(1+u)}$		(3.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\frac{1}{% \log_{a}\cancelto{e}{(1+u)^{\frac{1}{u}}}}$		(3.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\frac{1}{\log_{a}e}$		(3.201)

Recordando que

\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}

(3.202)

concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(a^{x}% \right)^{\prime}=a^{x}\ln a}

(3.203)

En el caso particular de la función exponencial natural, tenemos

\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\ln e

(3.204)

es decir,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(e^{x}% \right)^{\prime}=e^{x}}

(3.205)

Ejemplo 3.4.2.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x}\ln 2$ (3.206)

Código 45: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff(2**x)

⬇

2**x*log(2)
b)

$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{\prime}=\left(\frac{3}{2}\right)^{x% }\ln\frac{3}{2}$ (3.207)

Código 46: Python

⬇

1from sympy import diff, S

2from sympy.abc import x

3diff((S(3)/2)**x)

⬇

(3/2)**x*log(3/2)
c)

$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$ (3.208)

$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$ (3.209)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ (3.210)

Código 47: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3diff(exp(x/2))

⬇

exp(x/2)/2

3.4.3 Derivada de función logarítmica

Vamos a calcular la derivada de la función logarítmica

f(x)=\log_{a}x

(3.211)

con $a>0$ y $a\neq 1$ . Partimos de la definición de derivada

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\log_{a}(x% +h)-\log_{a}x}{h}$		(3.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_% {a}\frac{x+h}{x}$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_% {a}\left(1+\frac{h}{x}\right)$		(3.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\log_{a}\left(1+% \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$		(3.216)

Teniendo en cuenta que⁴⁴4Consultemos el E.3.4.6

e^{\frac{1}{x}}=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)% ^{\frac{1}{h}}

(3.217)

obtenemos

	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\log_{a}e^{\frac{1}{x}}$		(3.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\log_{a}e$		(3.219)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln a}$		(3.220)

y concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\log_{a}x)^% {\prime}=\frac{1}{x\ln a}}

(3.221)

Observamos que en el caso particular de la función logaritmo natural, se tiene que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\ln x)^{% \prime}=\frac{1}{x}}

(3.222)

Ejemplo 3.4.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$(\log_{2}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$ (3.223)
b)

$\left(\log_{\frac{3}{2}}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln\frac{3}{2}}$ (3.224)
c)

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ (3.225)

3.4.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.226)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.227)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.228)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.229)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.230)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.231)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.232)

3.4.5 Ejercicios resueltos

ER 3.4.1.

Muestre que

e=\mathop{\operator@font lim}_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}

(3.233)

Resolución.

Teniendo en cuenta la definición dada en (3.184), hacemos el siguiente cambio de variable

u=\frac{1}{h}

(3.234)

donde $u\to 0$ cuando $h\to\infty$ . Entonces, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right% )^{h}=\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}$		(3.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=e.$		(3.236)

ER 3.4.2.

Determine la ecuación de la recta tangente al gráfico de $y=\ln x$ en el punto $x=1$ .

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $y=f(x)$ en el punto $x=x_{0}$ es

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.237)

En este ejercicio, tenemos $x_{0}=1$ y $f(x)=\ln x$ . Entonces, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}$		(3.238)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}$		(3.239)

En el punto $x_{0}=1$ , tenemos $f^{\prime}(x_{0})=1/x_{0}=1$ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=1\cdot(x-1)+f(1)$	$\displaystyle y=x-1+0$		(3.240)
	$\displaystyle y=x-1$			(3.241)

3.4.6 Ejercicios

E. 3.4.1.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(3^{x}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\right]^{\prime}$

a) $3^{x}\ln 3$ ; b) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$

E. 3.4.2.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(\frac{2^{x}}{5^{x}}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left(e^{2x}\right)^{\prime}$

a) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$ ; b) $2e^{2x}$

E. 3.4.3.

Calcule:

1.

$\displaystyle\left(\log_{3}x\right)^{\prime}$
2.

$\displaystyle\left(\log_{\frac{2}{5}}x\right)^{\prime}$
3.

$\displaystyle(\ln x)^{\prime}$

a) $\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}$ b) $\displaystyle\frac{1}{x\ln\frac{2}{5}}$ ; c) $\frac{1}{x}$

E. 3.4.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\ln x$ en el punto $x=1$ .

$y=x-1$

E. 3.4.5.

Demuestre que

e^{x}=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+xh\right)^{\frac{1}{h}}

(3.242)

¡Pista! Consulte el Ejemplo 3.4.1 b).

E. 3.4.6.

Demuestre que

e^{\frac{1}{x}}=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)% ^{\frac{1}{h}}

(3.243)

¡Pista! Consulte el E.3.4.5.

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

3.4 Derivada de función exponencial y logarítmica

3.4.1 Número de Euler

Ejemplo 3.4.1.

3.4.2 Derivada de función exponencial

Ejemplo 3.4.2.

3.4.3 Derivada de función logarítmica

Ejemplo 3.4.3.

3.4.4 Lista de derivadas

3.4.5 Ejercicios resueltos

ER 3.4.1.

Resolución.

ER 3.4.2.

Resolución.

3.4.6 Ejercicios

E. 3.4.1.

E. 3.4.2.

E. 3.4.3.

E. 3.4.4.

E. 3.4.5.

E. 3.4.6.

Envía tu comentario

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}{h}}\right]^{2}$		(3.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\cancelto{% e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]^{2}$		(3.186)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.187)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h% }}=\mathop{\operator@font lim}_{u\to 0}\left(1+u\right)^{\frac{2}{u}}$		(3.189)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.190)

	$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$		(3.209)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$		(3.210)