Cálculo I

3 Derivadas 3.3 Derivada de funciones constante, identidad y potencia 3.5 Reglas básicas de derivación

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3.4 Derivada de función exponencial y logarítmica

En esta sección vamos a estudiar la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. Comenzamos con la definición del número de Euler²²2Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suizo. Fuente: Wikipédia. mediante límites.

3.4.1 Número de Euler

El número de Euler³³3Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático y físico suizo. Fuente: Wikipedia: Ronald Fisher. $e\approx 2,7183\ldots$ puede definirse por el siguiente límite

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}}

(3.184)

Ejemplo 3.4.1.

Consideremos los siguientes límites.

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2% }{h}}$

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2% }{h}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}% {h}}\right]^{2}$ (3.185)

$\displaystyle\text{}\quad=\left[\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h% \to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]^{2}$ (3.186)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.187)

Código 44: Python

⬇

1from sympy import symbols, limit

2h = symbols('h')

3limit((1 + h)**(2/h), h, 0)

⬇

exp(2)
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+2h% \right)^{\frac{1}{h}}$

Para calcular este límite, podemos hacer la siguiente cambio de variable

$u=2h$ (3.188)

donde, $u\to 0$ cuando $h\to 0$ . Entonces, sigue que

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+2h% \right)^{\frac{1}{h}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{u\to 0}\left% (1+u\right)^{\frac{2}{u}}$ (3.189)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.190)

3.4.2 Derivada de función exponencial

Vamos a calcular la derivada de la función exponencial

f(x)=a^{x}

(3.191)

con $a>0$ . Partiendo de la definición de derivada, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0% }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$		(3.193)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{a^{x}\left(a^{h}-1\right)}{h}$		(3.194)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h% \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$		(3.195)

Ahora, hacemos el siguiente cambio de variable

u=a^{h}-1

(3.196)

donde $u\to 0$ cuando $h\to 0$ y

h=\log_{a}(1+u)\mathchar 46\relax

(3.197)

Con esto, volviendo a (3.195) se sigue que

	$\displaystyle\left(a^{x}\right)=a^{x}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m% }_{u\to 0}\frac{u}{\log_{a}(1+u)}$		(3.198)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{u% \to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(1+u)}$		(3.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{u% \to 0}\frac{1}{\log_{a}\cancelto{e}{(1+u)^{\frac{1}{u}}}}$		(3.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\frac{1}{\log_{a}e}$		(3.201)

Recordando que

\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}

(3.202)

concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(a^{x}% \right)^{\prime}=a^{x}\ln a}

(3.203)

En el caso particular de la función exponencial natural, tenemos

\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\ln e

(3.204)

es decir,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(e^{x}% \right)^{\prime}=e^{x}}

(3.205)

Ejemplo 3.4.2.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x}\ln 2$ (3.206)

Código 45: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff(2**x)

⬇

2**x*log(2)
b)

$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{\prime}=\left(\frac{3}{2}\right)^{x% }\ln\frac{3}{2}$ (3.207)

Código 46: Python

⬇

1from sympy import diff, S

2from sympy.abc import x

3diff((S(3)/2)**x)

⬇

(3/2)**x*log(3/2)
c)

$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$ (3.208)

$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$ (3.209)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ (3.210)

Código 47: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3diff(exp(x/2))

⬇

exp(x/2)/2

3.4.3 Derivada de función logarítmica

Vamos a calcular la derivada de la función logarítmica

f(x)=\log_{a}x

(3.211)

con $a>0$ y $a\neq 1$ . Partimos de la definición de derivada

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0% }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$		(3.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{1}{h}\log_{a}\frac{x+h}{x}$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)$		(3.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}% \log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$		(3.216)

Teniendo en cuenta que⁴⁴4Consultemos el E.3.4.6

e^{\frac{1}{x}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+% \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.217)

obtenemos

	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\log_{a}e^{\frac{1}{x}}$		(3.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\log_{a}e$		(3.219)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln a}$		(3.220)

y concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\log_{a}x)^% {\prime}=\frac{1}{x\ln a}}

(3.221)

Observamos que en el caso particular de la función logaritmo natural, se tiene que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\ln x)^{% \prime}=\frac{1}{x}}

(3.222)

Ejemplo 3.4.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$(\log_{2}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$ (3.223)
b)

$\left(\log_{\frac{3}{2}}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln\frac{3}{2}}$ (3.224)
c)

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ (3.225)

3.4.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.226)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.227)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.228)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.229)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.230)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.231)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.232)

3.4.5 Ejercicios resueltos

ER 3.4.1.

Muestre que

e=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}% \right)^{h}

(3.233)

Resolución.

Teniendo en cuenta la definición dada en (3.184), hacemos el siguiente cambio de variable

u=\frac{1}{h}

(3.234)

donde $u\to 0$ cuando $h\to\infty$ . Entonces, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to\infty}\left(1+% \frac{1}{h}\right)^{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{u\to 0}% \left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}$		(3.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\mathchar 46\relax$		(3.236)

ER 3.4.2.

Determine la ecuación de la recta tangente al gráfico de $y=\ln x$ en el punto $x=1$ .

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de una función $y=f(x)$ en el punto $x=x_{0}$ es

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\mathchar 46\relax

(3.237)

En este ejercicio, tenemos $x_{0}=1$ y $f(x)=\ln x$ . Entonces, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}$		(3.238)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}$		(3.239)

En el punto $x_{0}=1$ , tenemos $f^{\prime}(x_{0})=1/x_{0}=1$ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=1\cdot(x-1)+f(1)$	$\displaystyle y=x-1+0$		(3.240)
	$\displaystyle y=x-1$			(3.241)

3.4.6 Ejercicios

E. 3.4.1.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(3^{x}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\right]^{\prime}$

a) $3^{x}\ln 3$ ; b) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$

E. 3.4.2.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(\frac{2^{x}}{5^{x}}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left(e^{2x}\right)^{\prime}$

a) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$ ; b) $2e^{2x}$

E. 3.4.3.

Calcule:

1.

$\displaystyle\left(\log_{3}x\right)^{\prime}$
2.

$\displaystyle\left(\log_{\frac{2}{5}}x\right)^{\prime}$
3.

$\displaystyle(\ln x)^{\prime}$

a) $\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}$ b) $\displaystyle\frac{1}{x\ln\frac{2}{5}}$ ; c) $\frac{1}{x}$

E. 3.4.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\ln x$ en el punto $x=1$ .

$y=x-1$

E. 3.4.5.

Demuestre que

e^{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+xh\right)^{% \frac{1}{h}}

(3.242)

¡Pista! Consulte el Ejemplo 3.4.1 b).

E. 3.4.6.

Demuestre que

e^{\frac{1}{x}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+% \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.243)

¡Pista! Consulte el E.3.4.5.

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3.4 Derivada de función exponencial y logarítmica

3.4.1 Número de Euler

Ejemplo 3.4.1.

3.4.2 Derivada de función exponencial

Ejemplo 3.4.2.

3.4.3 Derivada de función logarítmica

Ejemplo 3.4.3.

3.4.4 Lista de derivadas

3.4.5 Ejercicios resueltos

ER 3.4.1.

Resolución.

ER 3.4.2.

Resolución.

3.4.6 Ejercicios

E. 3.4.1.

E. 3.4.2.

E. 3.4.3.

E. 3.4.4.

E. 3.4.5.

E. 3.4.6.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2% }{h}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{1}% {h}}\right]^{2}$		(3.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h% \to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\quad\right]^{2}$		(3.186)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.187)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{h\to 0}\left(1+2h% \right)^{\frac{1}{h}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{u\to 0}\left% (1+u\right)^{\frac{2}{u}}$		(3.189)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.190)

	$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$		(3.209)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$		(3.210)