Cálculo I

3 Derivadas 3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência 3.5 Regas básicas de derivação

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3.4 Derivada de funções exponenciais e logarítmicas

Nesta seção vamos estudar a derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Começamos com a definição no número de Euler⁶⁶endnote: ⁶Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suíço. Fonte: Wikipédia. por limites.

3.4.1 Número de Euler

O número de Euler⁷⁷endnote: ⁷Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Ronald Fisher. $e\approx 2,7183...$ pode ser definido pelo seguinte limite

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e=\lim_{h\to 0% }(1+h)^{\frac{1}{h}}}

(3.183)

Exemplo 3.4.1.

Consideremos os seguintes limites.

a)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$
b)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{% 1}{h}}\right]^{2}$ (3.184)

$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}% \quad\right]^{2}$ (3.185)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.186)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: h = Symbol('h')

3 ...: limit((1+h)**(2/h), h, 0)

4 Out: exp(2)
c)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$

Para calcular este limite, podemos fazer a seguinte mudança de variável

$u=2h$ (3.187)

donde, temos que $u\to 0$ quando $h\to 0$ . Então, segue que

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}=\lim_{u\to 0}\left(1% +u\right)^{\frac{2}{u}}$ (3.188)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.189)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: h = Symbol('h')

3 ...: limit((1+2*h)**(1/h), h, 0)

4 Out: exp(2)

3.4.2 Derivada de funções exponenciais

Vamos calcular a derivada da função exponencial

f(x)=a^{x}

(3.190)

com $a>0$ . Partindo da definição de definição de derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$		(3.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}\left(a^{h}-1\right)}{h}$		(3.193)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$		(3.194)

Agora, fazemos a seguinte mudança de variável

u=a^{h}-1

(3.195)

donde, $u\to 0$ quando $h\to 0$ e

h=\log_{a}(1+u).

(3.196)

Com isso, voltando a (3.194) segue que

	$\displaystyle\left(a^{x}\right)=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{u}{\log_{a}(1+u)}$		(3.197)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(1+u)}$		(3.198)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{a}\cancelto{e}{(1+u% )^{\frac{1}{u}}}}$		(3.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\frac{1}{\log_{a}e}$		(3.200)

Lembrando que

\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}

(3.201)

concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(a^{x}% \right)^{\prime}=a^{x}\ln a}

(3.202)

No caso particular da função exponencial natural, temos

\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\ln e

(3.203)

ou seja,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(e^{x}% \right)^{\prime}=e^{x}}

(3.204)

Exemplo 3.4.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x}\ln 2$ (3.205)
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{\prime}=\left(\frac{3}% {2}\right)^{x}\ln\frac{3}{2}$ (3.206)
c)

$\displaystyle\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{% e})^{x}\right]^{\prime}$ (3.207)

$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$ (3.208)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ (3.209)

Com o Python+SymPy, podemos computar essas derivadas como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(2**x)

4 Out: 2**x*log(2)

6 In : diff((S(3)/2)**x)

7 Out: (3/2)**x*log(3/2)

9 In : diff(exp(x/2))

10 Out: exp(x/2)/2

3.4.3 Derivada de funções logarítmicas

Vamos calcular a derivada da função logarítmica

f(x)=\log_{a}x

(3.210)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Partimos da definição de derivada

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.211)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x)}{h}$		(3.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\frac{x+h}{x}$		(3.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{% \frac{1}{h}}$		(3.215)

Tendo em vista que⁸⁸endnote: ⁸Consultemos o E.3.4.6

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.216)

obtemos

	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\log_{a}e^{\frac{1}{x}}$		(3.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\log_{a}e$		(3.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln a}$		(3.219)

e concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\log_{a}x)^% {\prime}=\frac{1}{x\ln a}}

(3.220)

Observamos que no caso particular da função logaritmo natural, segue que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\ln x)^{% \prime}=\frac{1}{x}}

(3.221)

Exemplo 3.4.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(\log_{2}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$ (3.222)
b)

$\left(\log_{\frac{3}{2}}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln\frac{3}{2}}$ (3.223)
c)

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ (3.224)

3.4.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.225)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.226)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.227)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.228)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.229)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.230)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.231)

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Mostre que

e=\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}

(3.232)

Resolução.

Tendo em mente a definição dada na (3.183), fazemos a seguinte mudança de variável

u=\frac{1}{h}

(3.233)

donde, $u\to 0$ quando $h\to\infty$ . Logo, temos

	$\displaystyle\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}=\lim_{u\to 0}% \left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}$		(3.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=e.$		(3.235)

ER 3.4.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $y=\ln x$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ no ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.236)

Neste exercício, temos $x_{0}=1$ e $f(x)=\ln x$ . Então, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}$		(3.237)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}$		(3.238)

No ponto $x_{0}=1$ , temos $f^{\prime}(x_{0})=1/x_{0}=1$ . Logo, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=1\cdot(x-1)+f(1)$	$\displaystyle y=x-1+0$		(3.239)
	$\displaystyle y=x-1$			(3.240)

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(3^{x}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\right]^{\prime}$

a) $3^{x}\ln 3$ ; b) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$

E. 3.4.2.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(\frac{2^{x}}{5^{x}}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left(e^{2x}\right)^{\prime}$

a) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$ ; b) $2e^{2x}$

E. 3.4.3.

Calcule:

1.

$\displaystyle\left(\log_{3}x\right)^{\prime}$
2.

$\displaystyle\left(\log_{\frac{2}{5}}x\right)^{\prime}$
3.

$\displaystyle(\ln x)^{\prime}$

a) $\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}$ b) $\displaystyle\frac{1}{x\ln\frac{2}{5}}$ ; c) $\frac{1}{x}$

E. 3.4.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln x$ no ponto $x=1$ .

$y=x-1$

E. 3.4.5.

Mostre que

e^{x}=\lim_{h\to 0}\left(1+xh\right)^{\frac{1}{h}}

(3.241)

Dica! Consulte o Exemplo LABEL:ex:nume_b.

E. 3.4.6.

Mostre que

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.242)

Dica! Consulte o E.3.4.5.

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3.4 Derivada de funções exponenciais e logarítmicas

3.4.1 Número de Euler

Exemplo 3.4.1.

3.4.2 Derivada de funções exponenciais

Exemplo 3.4.2.

3.4.3 Derivada de funções logarítmicas

Exemplo 3.4.3.

3.4.4 Lista de derivadas

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Resolução.

ER 3.4.2.

Resolução.

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

E. 3.4.2.

E. 3.4.3.

E. 3.4.4.

E. 3.4.5.

E. 3.4.6.

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	$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{% 1}{h}}\right]^{2}$		(3.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}% \quad\right]^{2}$		(3.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.186)

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}=\lim_{u\to 0}\left(1% +u\right)^{\frac{2}{u}}$		(3.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.189)

	$\displaystyle\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{% e})^{x}\right]^{\prime}$		(3.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$		(3.209)