Cálculo I

3 Derivadas 3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência 3.5 Regras básicas de derivação

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3.4 Derivada de função exponencial e logarítmica

Nesta seção vamos estudar a derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Começamos com a definição no número de Euler²²2Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suíço. Fonte: Wikipédia. por limites.

3.4.1 Número de Euler

O número de Euler³³3Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Ronald Fisher. $e\approx 2,7183...$ pode ser definido pelo seguinte limite

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e=\lim_{h\to 0% }(1+h)^{\frac{1}{h}}}

(3.183)

Exemplo 3.4.1.

Consideremos os seguintes limites.

a)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}$

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{% 1}{h}}\right]^{2}$ (3.184)

$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}% \quad\right]^{2}$ (3.185)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.186)

Código 44: Python

⬇

1from sympy import symbols, limit

2h = symbols('h')

3limit((1 + h)**(2/h), h, 0)

⬇

exp(2)
b)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}$

Para calcular este limite, podemos fazer a seguinte mudança de variável

$u=2h$ (3.187)

donde, temos que $u\to 0$ quando $h\to 0$ . Então, segue que

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}=\lim_{u\to 0}\left(1% +u\right)^{\frac{2}{u}}$ (3.188)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$ (3.189)

3.4.2 Derivada de função exponencial

Vamos calcular a derivada da função exponencial

f(x)=a^{x}

(3.190)

com $a>0$ . Partindo da definição de definição de derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$		(3.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}\left(a^{h}-1\right)}{h}$		(3.193)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$		(3.194)

Agora, fazemos a seguinte mudança de variável

u=a^{h}-1

(3.195)

donde, $u\to 0$ quando $h\to 0$ e

h=\log_{a}(1+u).

(3.196)

Com isso, voltando a (3.194) segue que

	$\displaystyle\left(a^{x}\right)=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{u}{\log_{a}(1+u)}$		(3.197)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(1+u)}$		(3.198)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{a}\cancelto{e}{(1+u% )^{\frac{1}{u}}}}$		(3.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{x}\frac{1}{\log_{a}e}$		(3.200)

Lembrando que

\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}

(3.201)

concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(a^{x}% \right)^{\prime}=a^{x}\ln a}

(3.202)

No caso particular da função exponencial natural, temos

\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\ln e

(3.203)

ou seja,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(e^{x}% \right)^{\prime}=e^{x}}

(3.204)

Exemplo 3.4.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x}\ln 2$ (3.205)

Código 45: Python

⬇

1from sympy import diff

2from sympy.abc import x

3diff(2**x)

⬇

2**x*log(2)
b)

$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{\prime}=\left(\frac{3}{2}\right)^{x% }\ln\frac{3}{2}$ (3.206)

Código 46: Python

⬇

1from sympy import diff, S

2from sympy.abc import x

3diff((S(3)/2)**x)

⬇

(3/2)**x*log(3/2)
c)

$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$ (3.207)

$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$ (3.208)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ (3.209)

Código 47: Python

⬇

1from sympy import diff, exp

2from sympy.abc import x

3diff(exp(x/2))

⬇

exp(x/2)/2

3.4.3 Derivada de função logarítmica

Vamos calcular a derivada da função logarítmica

f(x)=\log_{a}x

(3.210)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Partimos da definição de derivada

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.211)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x)}{h}$		(3.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\frac{x+h}{x}$		(3.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{% \frac{1}{h}}$		(3.215)

Tendo em vista que⁴⁴4Consultemos o E.3.4.6

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.216)

obtemos

	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\log_{a}e^{\frac{1}{x}}$		(3.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\log_{a}e$		(3.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\frac{\ln e}{\ln a}$		(3.219)

e concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\log_{a}x)^% {\prime}=\frac{1}{x\ln a}}

(3.220)

Observamos que no caso particular da função logaritmo natural, segue que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\ln x)^{% \prime}=\frac{1}{x}}

(3.221)

Exemplo 3.4.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(\log_{2}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$ (3.222)
b)

$\left(\log_{\frac{3}{2}}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln\frac{3}{2}}$ (3.223)
c)

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ (3.224)

3.4.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.225)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.226)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.227)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(3.228)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(3.229)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(3.230)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(3.231)

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Mostre que

e=\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}

(3.232)

Resolução.

Tendo em mente a definição dada na (3.183), fazemos a seguinte mudança de variável

u=\frac{1}{h}

(3.233)

donde, $u\to 0$ quando $h\to\infty$ . Logo, temos

	$\displaystyle\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^{h}=\lim_{u\to 0}% \left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}$		(3.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=e.$		(3.235)

ER 3.4.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $y=\ln x$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ no ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.236)

Neste exercício, temos $x_{0}=1$ e $f(x)=\ln x$ . Então, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}$		(3.237)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}$		(3.238)

No ponto $x_{0}=1$ , temos $f^{\prime}(x_{0})=1/x_{0}=1$ . Logo, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=1\cdot(x-1)+f(1)$	$\displaystyle y=x-1+0$		(3.239)
	$\displaystyle y=x-1$			(3.240)

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(3^{x}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\right]^{\prime}$

a) $3^{x}\ln 3$ ; b) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$

E. 3.4.2.

Calcule:

a)

$\displaystyle\left(\frac{2^{x}}{5^{x}}\right)^{\prime}$
b)

$\displaystyle\left(e^{2x}\right)^{\prime}$

a) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{x}\ln\frac{2}{5}$ ; b) $2e^{2x}$

E. 3.4.3.

Calcule:

1.

$\displaystyle\left(\log_{3}x\right)^{\prime}$
2.

$\displaystyle\left(\log_{\frac{2}{5}}x\right)^{\prime}$
3.

$\displaystyle(\ln x)^{\prime}$

a) $\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}$ b) $\displaystyle\frac{1}{x\ln\frac{2}{5}}$ ; c) $\frac{1}{x}$

E. 3.4.4.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln x$ no ponto $x=1$ .

$y=x-1$

E. 3.4.5.

Mostre que

e^{x}=\lim_{h\to 0}\left(1+xh\right)^{\frac{1}{h}}

(3.241)

Dica! Consulte o Exemplo 3.4.1 b).

E. 3.4.6.

Mostre que

e^{\frac{1}{x}}=\lim_{h\to 0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

(3.242)

Dica! Consulte o E.3.4.5.

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3.4 Derivada de função exponencial e logarítmica

3.4.1 Número de Euler

Exemplo 3.4.1.

3.4.2 Derivada de função exponencial

Exemplo 3.4.2.

3.4.3 Derivada de função logarítmica

Exemplo 3.4.3.

3.4.4 Lista de derivadas

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Resolução.

ER 3.4.2.

Resolução.

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

E. 3.4.2.

E. 3.4.3.

E. 3.4.4.

E. 3.4.5.

E. 3.4.6.

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	$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{2}{h}}=\lim_{h\to 0}\left[(1+h)^{\frac{% 1}{h}}\right]^{2}$		(3.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\lim_{h\to 0}\cancelto{e}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}% \quad\right]^{2}$		(3.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.186)

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(1+2h\right)^{\frac{1}{h}}=\lim_{u\to 0}\left(1% +u\right)^{\frac{2}{u}}$		(3.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}$		(3.189)

	$\displaystyle\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)^{\prime}=\left[(\sqrt{e})^{x}\right% ]^{\prime}$		(3.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\sqrt{e})^{x}\ln\sqrt{e}$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$		(3.209)