Cálculo I

3 Derivadas 3.2 Função derivada 3.4 Derivada de função exponencial e logarítmica

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3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência

Nesta seção, vamos estudar as derivadas de função constante, de função identidade e de função potência.

3.3.1 Derivada de função constante

A derivada de função constante $f(x)\equiv k$ , com $k$ constante, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(k)^{\prime}% =0}

(3.152)

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}$		(3.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}0=0.$		(3.155)

Exemplo 3.3.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(2)^{\prime}=0$

Código 35: Python

⬇

1from sympy import diff

2diff(2)

⬇

0
b)

$(-3)^{\prime}=0$
c)

$(\pi)^{\prime}=0$

Código 36: Python

⬇

1from sympy import diff, pi

2diff(pi)

⬇

0
d)

$(a)^{\prime}=0$ para qualquer $a\in\mathbb{R}$

Código 37: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff

2x = symbols('x')

3a = symbols('a', const=True)

4diff(a, x)

⬇

0

3.3.2 Derivada de função identidade

A derivada da função identidade $f(x)=x$ é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x)^{\prime}% =1}

(3.156)

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.157)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.158)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.159)

Código 38: Python

⬇

1from sympy import diff, symbols

2x = symbols('x')

3diff(x)

3.3.3 Derivada de função potência

A derivada da função potência $f(x)=x^{n}$ , $n$ número inteiro positivo, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(x^{n}% \right)^{\prime}=nx^{n-1}}

(3.161)

De fato, da definição de derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$		(3.163)

Usando binômio de Newton¹¹1Isaac Newton, 1643 - 1727, matemático inglês. Fonte: Wikipédia., temos

(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k},

(3.164)

onde os coeficientes binomiais são

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

(3.165)

Assim, segue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2% }x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}-x^{n}}{h}$		(3.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+% \cdots+h^{n-1}$		(3.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=nx^{n-1}.$		(3.168)

Exemplo 3.3.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{2}\right)^{\prime}=2x^{1-1}=2x$

Código 39: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import diff

3diff(x**2)

⬇

2*x
b)

$\displaystyle\left(x^{5}\right)^{\prime}=5x^{5-1}=5x^{4}$
c)

$\displaystyle\left(x^{2001}\right)^{\prime}=2001x^{2000}$
d)

$\displaystyle\left(x^{m}\right)^{\prime}=mx^{m-1}$ para qualquer $m$ inteiro positivo.

Código 40: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, simplify

2x = symbols('x')

3m = symbols('m', integer=True, positive=True)

4simplify(diff(x**m, x))

⬇

m*x**(m - 1)

Observação 3.3.1.(Derivada de potência real)

Ao longo das notas de Cálculo, vamos estudar que a fórmula de derivação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x^{r})^{% \prime}=rx^{r-1}}

(3.169)

vale para qualquer $r$ número real não nulo, considerando-se o domínio natural das funções potência. Assim sendo, vamos passar a aplicá-la para qualquer função potência a partir de agora.

Exemplo 3.3.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}$

Código 41: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff

2x = symbols('x')

3diff(x**(-1))

⬇

-1/x**2
b)

$\displaystyle\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1% }=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Código 42: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, sqrt

2x = symbols('x')

3diff(sqrt(x))

⬇

1/(2*sqrt(x))
c)

$\displaystyle\left(x^{e}\right)^{\prime}=ex^{e-1}$

Código 43: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, E

2x = symbols('x')

3diff(x**E)

⬇

E*x**(E - 1)

3.3.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.170)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.171)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.172)

3.3.5 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Calcule o ângulo de declividade da reta tangente ao gráfico de cada uma das seguintes funções em qualquer ponto fixado $x=x_{0}$ .

a)

Função constante $f(x)\equiv k$
b)

Função identidade $f(x)=x$

Resolução.

O ângulo $\theta$ de declividade da reta tangente ao gráfico de uma dada função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

\theta=\operatorname{arctg}(f^{\prime}(x_{0})).

(3.173)

a)

Função constante $f(x)\equiv k$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(0)$ (3.174)

$\displaystyle\text{}\quad=0.$ (3.175)
b)

Função identidade $f(x)=x$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=1$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(1)$ (3.176)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$ (3.177)

ER 3.3.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

(3.178)

Nesse caso,

y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)

(3.179)

Temos $f(1)=(1)^{2}=1$ . Agora, pela derivada de função potência, temos

f^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x

(3.180)

Logo,

f^{\prime}(1)=2\cdot 1=2

(3.181)

Concluímos que equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=2(x-1)+1$		(3.182)
	$\displaystyle y=2x-1.$		(3.183)

3.3.6 Exercícios

E. 3.3.1.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$(7)^{\prime}$
b)

$(-1,7)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{2}\right)^{\prime}$
d)

$\left(\sec(\pi)\right)^{\prime}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$

E. 3.3.2.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$\left(x\right)^{\prime}$
b)

$\left(x^{3}\right)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}$
d)

$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$
e)

$\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{\prime}$
f)

$\left(x^{\pi}\right)^{\prime}$

a) $1$ ; b) $3x^{2}$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; d) $\displaystyle-\frac{1}{x^{2}}$ ; e) $\displaystyle-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}}$ ; f) $\pi x^{\pi-1}$

E. 3.3.3.

Calcule as seguintes derivadas de ordem mais alta:

a)

$(2)^{\prime\prime}$
b)

$\left(2^{1001}\right)^{\prime\prime\prime}$
c)

$\left[(-3)^{4}\right]^{(4)}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.3.4.

Calcule o coeficiente angular da reta tangente $y=mx+b$ ao gráfico da função $f(x)=x^{3}$ no ponto $x=0$ . Faça o esboço do gráfico desta função.

$0$

E. 3.3.5.

Calcule o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ nos pontos $x_{0}=-1$ e $x_{1}=1$ . Faça, em um mesmo esboço, os gráficos de $f$ e das retas tangentes calculadas.

$(0,-1)$

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Cálculo I

3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência

3.3.1 Derivada de função constante

Exemplo 3.3.1.

3.3.2 Derivada de função identidade

3.3.3 Derivada de função potência

Exemplo 3.3.2.

Observação 3.3.1.(Derivada de potência real)

Exemplo 3.3.3.

3.3.4 Lista de derivadas

3.3.5 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Resolução.

ER 3.3.2.

Resolução.

3.3.6 Exercícios

E. 3.3.1.

E. 3.3.2.

E. 3.3.3.

E. 3.3.4.

E. 3.3.5.

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	$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(0)$		(3.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.175)

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(1)$		(3.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$		(3.177)