Cálculo I

3 Derivadas 3.2 Função derivada 3.4 Derivada de funções exponenciais e logarítmicas

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3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência

Nesta seção, vamos estudar as derivadas de função constante, de função identidade e de função potência.

3.3.1 Derivada de função constante

A derivada de função constante $f(x)\equiv k$ , com $k$ constante, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(k)^{\prime}% =0}

(3.151)

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.152)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}$		(3.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}0=0.$		(3.154)

Exemplo 3.3.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$(2)^{\prime}=0$
b)

$(-3)^{\prime}=0$
c)

$(\pi)^{\prime}=0$
d)

$(a)^{\prime}=0$ para qualquer $a\in\mathbb{R}$

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : diff(2)

3 Out: 0

5 In : diff(-3)

6 Out: 0

8 In : diff(pi)

9 Out: 0

11 In : x = Symbol('x')

12 In : a = Symbol('a', const=True)

13 In : diff(a, x)

14 Out: 0

3.3.2 Derivada de função identidade

A derivada da função identidade $f(x)=x$ é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x)^{\prime}% =1}

(3.155)

De fato, da definição de derivada temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.157)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.158)

Exemplo 3.3.2.

Usando Python+sympy, podemos computar a derivada da função identidade com as seguintes instruções:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x)

4 Out: 1

3.3.3 Derivada de função potência

A derivada da função potência $f(x)=x^{n}$ , $n$ número inteiro positivo, é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(x^{n}% \right)^{\prime}=nx^{n-1}}

(3.160)

De fato, da definição de derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$		(3.162)

Usando binômio de Newton⁵⁵endnote: ⁵Isaac Newton, 1643 - 1727, matemático inglês. Fonte: Wikipédia., temos

(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k},

(3.163)

onde os coeficientes binomiais são

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

(3.164)

Assim, segue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2% }x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}-x^{n}}{h}$		(3.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+% \cdots+h^{n-1}$		(3.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=nx^{n-1}.$		(3.167)

Exemplo 3.3.3.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\left(x^{2}\right)^{\prime}=2x^{1-1}=2x$
b)

$\left(x^{5}\right)^{\prime}=5x^{5-1}=5x^{4}$
c)

$\left(x^{2001}\right)^{\prime}=2001x^{2000}$
d)

$\left(x^{m}\right)^{\prime}=mx^{m-1}$ para qualquer $m$ inteiro positivo.

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x**2)

4 Out: 2*x

6 In : diff(x**5)

7 Out: 5*x**4

9 In : diff(x**2001)

10 Out: 2001*x**2000

12 In : m = Symbol('m', integer=True, positive=True)

13 In : simplify(diff(x**m, x))

14 Out: m*x**(m - 1)

Observação 3.3.1.

Ao longo das notas de Cálculo, vamos estudar que a fórmula de derivação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x^{r})^{% \prime}=rx^{r-1}}

(3.168)

vale para qualquer $r$ número real não nulo, considerando-se o domínio natural das funções potência. Assim sendo, vamos assumir passar a aplicá-la para qualquer função potência a partir de agora.

Exemplo 3.3.4.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}$
b)

$\displaystyle\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1% }=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
c)

$\displaystyle\left(x^{e}\right)^{\prime}=ex^{e-1}$

Com Python+SymPy, podemos computar essas derivadas com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = Symbol('x')

3 In : diff(x**(-1))

4 Out: -1/x**2

6 In : diff(x**(S(1)/2))

7 Out: 1/(2*sqrt(x))

9 In : diff(x**E)

10 Out: E*x**E/x

3.3.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.169)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.170)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.171)

3.3.5 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Calcule o ângulo de declividade da reta tangente ao gráfico de cada uma das seguintes funções em qualquer ponto fixado $x=x_{0}$ .

a)

Função constante $f(x)\equiv k$
b)

Função identidade $f(x)=x$

Resolução.

O ângulo $\theta$ de declividade da reta tangente ao gráfico de uma dada função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

\theta=\operatorname{arctg}(f^{\prime}(x_{0})).

(3.172)

a)

Função constante $f(x)\equiv k$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(0)$ (3.173)

$\displaystyle\text{}\quad=0.$ (3.174)
b)

Função identidade $f(x)=x$

Nesse caso, $f^{\prime}(x)=1$ para todo $x$ , logo

$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(1)$ (3.175)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$ (3.176)

ER 3.3.2.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ no ponto $x=1$ .

Resolução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

(3.177)

Nesse caso,

y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)

(3.178)

Temos $f(1)=(1)^{2}=1$ . Agora, pela derivada de função potência, temos

f^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x

(3.179)

Logo,

f^{\prime}(1)=2\cdot 1=2

(3.180)

Concluímos que equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=2(x-1)+1$		(3.181)
	$\displaystyle y=2x-1.$		(3.182)

3.3.6 Exercícios

E. 3.3.1.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$(7)^{\prime}$
b)

$(-1,7)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{2}\right)^{\prime}$
d)

$\left(\sec(\pi)\right)^{\prime}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$

E. 3.3.2.

Calcule as seguintes derivadas:

a)

$\left(x\right)^{\prime}$
b)

$\left(x^{3}\right)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}$
d)

$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$
e)

$\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{\prime}$
f)

$\left(x^{\pi}\right)^{\prime}$

a) $1$ ; b) $3x^{2}$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; d) $\displaystyle-\frac{1}{x^{2}}$ ; e) $\displaystyle-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}}$ ; f) $\pi x^{\pi-1}$

E. 3.3.3.

Calcule as seguintes derivadas de ordem mais alta:

a)

$(2)^{\prime\prime}$
b)

$\left(2^{1001}\right)^{\prime\prime\prime}$
c)

$\left[(-3)^{4}\right]^{(4)}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.3.4.

Calcule o coeficiente angular da reta tangente $y=mx+b$ ao gráfico da função $f(x)=x^{3}$ no ponto $x=0$ . Faça o esboço do gráfico desta função.

$0$

E. 3.3.5.

Calcule o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico da função $f(x)=x^{2}$ nos pontos $x_{0}=-1$ e $x_{1}=1$ . Faça, em um mesmo esboço, os gráficos de $f$ e das retas tangentes calculadas.

$(0,-1)$

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Cálculo I

3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência

3.3.1 Derivada de função constante

Exemplo 3.3.1.

3.3.2 Derivada de função identidade

Exemplo 3.3.2.

3.3.3 Derivada de função potência

Exemplo 3.3.3.

Observação 3.3.1.

Exemplo 3.3.4.

3.3.4 Lista de derivadas

3.3.5 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Resolução.

ER 3.3.2.

Resolução.

3.3.6 Exercícios

E. 3.3.1.

E. 3.3.2.

E. 3.3.3.

E. 3.3.4.

E. 3.3.5.

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	$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(0)$		(3.173)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.174)

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arctg}(1)$		(3.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$		(3.176)