Cálculo I

4 Aplicações da derivada 4.2 Extremos de funções 4.4 Teste da primeira derivada

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4.3 Teorema do valor médio

O teorema do valor médio é uma aplicação do teorema de Rolle.

4.3.1 Teorema de Rolle

O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que uma dada função diferenciável tenha derivada nula em pelo menos um ponto.

Refer to caption — Figura 4.8: Teorema de Rolle.

Teorema 4.3.1.(Teorema de Rolle)

Seja $f$ uma função contínua no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ . Se

f(a)=f(b),

(4.81)

então existe pelo menos um ponto crítico $c\in(a,b)$ tal que

f^{\prime}(c)=0.

(4.82)

Demonstração.

A ideia da demonstração é uma consequência dos Teorema 4.2.1 e Teorema 4.2.2. O primeiro, que existem pontos de mínimo e máximos globais $m,M\in[a,b]$ , i.e.

f(m)\leq f(x)\leq f(M).

(4.83)

Se $m=M$ , então $f$ é uma função contínua, donde segue que $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x\in(a,b)$ . Agora, se $m\neq M$ , então $m$ ou $M$ é um extremo local. Sem perda de generalidade, supomos que $c=m$ seja o mínimo local. Neste caso, o Teorema 4.2.2 nos garante que $f^{\prime}(c)=0$ . ∎

Exemplo 4.3.1.

O polinômio $p(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+1$ tem pelo menos um ponto crítico no intervalo $(0,1)$ e no intervalo $(1,3)$ . De fato,temos $p(0)=p(1)=1$ e, pelo teorema de Rolle, segue que existe pelo menos um ponto $c\in(0,1)$ tal que $f^{\prime}(c)=0$ . Analogamente, como também $p(1)=p(3)=1$ , segue do teorema que existe pelo menos um ponto crítico no intervalo $(1,3)$ . Na Figura 4.9 temos o gráfico de $p$ .

De fato, como todo polinômio é derivável em toda parte, podemos calcular os pontos críticos como segue.

	$\displaystyle p^{\prime}(x)=0$		(4.84)
	$\displaystyle 3x^{2}-8x+3=0$		(4.85)
	$\displaystyle x=\frac{8\pm\cancelto{2\sqrt{7}}{\sqrt{64-36}}}{6}$		(4.86)
	$\displaystyle\text{}\quad x_{1}=\frac{4-\sqrt{7}}{3}\approx 0.45,$		(4.87)
	$\displaystyle\text{}\quad x_{2}=\frac{4+\sqrt{7}}{3}\approx 2.22.$		(4.88)

Exemplo 4.3.2.

Vejamos os seguintes casos em que o Teorema de Rolle não se aplica:

a)

A função

$f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,0\leq x<1,\\ 0&,x=1.\end{array}\right.$ (4.89)

é tal que $f(0)=f(1)=0$ , entretanto sua derivada $f^{\prime}(x)=1$ no intervalo $(0,1)$ . Ou seja, a condição da $f$ ser contínua no intervalo fechado associado é necessária no teorema de Rolle. Veja a Figura 4.10 para o esboço do gráfico desta função.

Figura 4.10: Gráfico da função Exemplo 4.3.2 a).
b)

Não existe ponto tal que a derivada da $g(x)=-|x-1|+1$ seja nula. Entretanto, notemos que $g(0)=g(2)=0$ e $g$ contínua no intervalo fechado $[0,2]$ . O teorema de Rolle não se aplica neste caso, pois $g$ não é derivável no intervalo $(0,2)$ , mais especificamente, no ponto $x=1$ . Veja a Figura 4.11.

Figura 4.11: Gráfico da função referente ao Exemplo 4.3.2 b).

4.3.2 Teorema do valor médio

O teorema do valor médio⁴⁴4O teorema do valor médio também é conhecido como teorema de Lagrange é uma generalização do teorema de Rolle.

Teorema 4.3.2.(Teorema do valor médio)

Seja $f$ uma função contínua no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ . Então, existe pelo menos um ponto $c\in(a,b)$ tal que

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c).

(4.90)

Demonstração.

O resultado segue da aplicação do teorema de Rolle (Teorema 4.3.1) a seguinte função

F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

(4.91)

De fato, $F$ é contínua em $[a,b]$ , diferenciável em $(a,b)$ e $F(a)=F(b)$ . Logo, existe $c\in(a,b)$ tal que

	$\displaystyle F^{\prime}(c)=0$		(4.92)
	$\displaystyle f^{\prime}(c)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$		(4.93)
	$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$		(4.94)

∎

Observação 4.3.1.

Em um contexto de aplicação, o Teorema do valor médio relaciona a taxa de variação média da função em um intervalo $[a,b]$ com a taxa de variação instantânea da função em um ponto interior deste intervalo.

Exemplo 4.3.3.

A função $f(x)=x^{2}$ é contínua no intervalo $[0,2]$ e diferenciável no intervalo $(0,2)$ . Logo, segue do teorema do valor médio que existe pelo menos um ponto $c\in(0,2)$ tal que

f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=2.

(4.95)

De fato, $f^{\prime}(x)=2x$ e, portanto, tomando $c=1$ , temos $f^{\prime}(c)=2$ .

Corolário 4.3.1.(Funções com derivadas nulas são constantes)

Se $f^{\prime}(x)=0$ para todos os pontos em um intervalo $(a,b)$ , então $f$ é constante neste intervalo.

Demonstração.

De fato, sejam $x_{1},x_{2}\in(a,b)$ e, sem perda de generalidade, $x_{1}<x_{2}$ . Então, temos $f$ é contínua no intervalo $[x_{1},x_{2}]$ e diferenciável em $(x_{1},x_{2})$ . Segue do teorema do valor médio que existe $c\in(x_{1},x_{2})$ tal que

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(c).

(4.96)

Como $f^{\prime}(c)=0$ , temos $f(x_{2})=f(x_{1})$ . Ou seja, a função vale sempre o mesmo valor para quaisquer dois pontos no intervalo $(a,b)$ , logo é constante neste intervalo. ∎

Corolário 4.3.2.(Função com a mesma derivada diferem por uma constante)

Se $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ para todos os pontos em um intervalo aberto $(a,b)$ , então $f(x)=g(x)+C$ , $C$ constante, para todo $x\in(a,b)$ .

Demonstração.

Segue, imediatamente, da aplicação do corolário anterior à função $h(x)=f(x)-g(x)$ . ∎

Corolário 4.3.3.(Monotonicidade e o sinal da derivada)

Suponha que $f$ seja contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ .

a)

Se $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ , então $f$ é crescente⁵⁵5 $f$ é função crescente em um intervalo $I$ , quando $x_{1}>x_{2}$ em $I$ implica $f(x_{1})>f(x_{2})$ . em $[a,b]$ .
b)

Se $f^{\prime}(x)<0$ para todo $x\in(a,b)$ , então $f$ é decrescente⁶⁶6 $f$ é função decrescente em um intervalo $I$ , quando $x_{1}>x_{2}$ em $I$ implica $f(x_{1})<f(x_{2})$ . em $[a,b]$ .

Demonstração.

Vamos demonstrar o item a), i.e. se $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ , então $f$ é crescente em $[a,b]$ . Sejam $x_{1}<x_{2}$ com $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ . Observamos que $f$ é contínua em $[x_{1},x_{2}]$ e diferenciável em $(x_{1},x_{2})$ . Logo, pelo Teorema do valor médio (Teorema 4.3.2), temos que existe $c\in(x_{1},x_{2})$ tal que

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(c)

(4.97)

ou, equivalentemente,

f(x_{2})-f(x_{1})=f^{\prime}(c)\cdot(x_{2}-x_{1}).

(4.98)

Como $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ e $x_{2}-x_{1}>0$ , concluímos que $f(x_{2})-f(x_{1})>0$ , i.e.

f(x_{1})<f(x_{2}).

(4.99)

Com isso, mostramos que se $x_{1}<x_{2}$ com $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ , então $f(x_{1})<f(x_{2})$ , i.e. $f$ é crescente em $[a,b]$ .

A demonstração do item b) é análoga, consulte o E.4.3.6. ∎

Exemplo 4.3.4.

Vamos estudar a monotonicidade da função polinomial $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+1$ . Na Figura 4.13, temos o esboço de seu gráfico.

Podemos usar o Corolário 4.3.3 para estudarmos a monotonicidade (i.e. intervalos de crescimento ou decrescimento). Isto é, fazemos o estudo de sinal da derivada de $f$ . Calculamos

f^{\prime}(x)=3x^{2}-8x+3.

(4.100)

Logo, temos

Ou seja, $f^{\prime}(x)<0$ no conjunto $\displaystyle\left(-\infty,\frac{4-\sqrt{7}}{3}\right)\cup\left(\frac{4+\sqrt{% 7}}{3},\infty\right)$ e $f^{\prime}(x)<0$ no conjunto $\displaystyle\left(\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3}\right)$ . Concluímos que $f$ é crescente nos intervalos $\displaystyle\left(\left.-\infty,\frac{4-\sqrt{7}}{3}\right.\right]$ e $\displaystyle\left[\left.\frac{4+\sqrt{7}}{3},\infty\right)\right.$ , enquanto que $f$ é decrescente no intervalo $\displaystyle\left[\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3}\right]$ .

Exemplo 4.3.5.

A função exponencial $f(x)=e^{x}$ é crescente em toda parte. De fato, temos

f^{\prime}(x)=e^{x}>0,

(4.101)

para todo $x\in\mathbb{R}$ .

4.3.3 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Um carro percorreu 150 km em 1h30min. Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que 80 km/h.

Resolução.

Seja $s=s(t)$ a função distância percorrida pelo carro e $t$ o tempo, em horas, contado do início do percurso. Do teorema do valor médio, exite tempo $t_{1}\in(0,\leavevmode\nobreak\ 1,5)$ tal que

f^{\prime}(t_{1})=\frac{s(1,5)-s(0)}{1,5-0}=\frac{150}{1,5}=100\leavevmode% \nobreak\ \text{km/h}.

(4.102)

Ou seja, em algum momento o carro atingiu a velocidade de 100 km/h.

ER 4.3.2.

Estude a monotonicidade da função gaussiana $f(x)=e^{-x^{2}}$ .

Resolução.

Para estudarmos a monotonicidade de uma função, podemos fazer o estudo de sinal de sua derivada. Neste caso, temos

f^{\prime}(x)=-2xe^{-x^{2}}.

(4.103)

Assim, vemos que

Concluímos que $f$ é crescente no intervalo $(-\infty,0)$ e decrescente no intervalo $(0,\infty)$ .

4.3.4 Exercícios

E. 4.3.1.

Estude a monotonicidade de $f(x)=x^{2}-2x$ .

Decrescente: $(-\infty,1]$ ; Crescente: $[1,\infty)$

E. 4.3.2.

Estude a monotonicidade de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

Decrescente: $[-1,1]$ ; Crescente: $(-\infty,-1]$ ; $[1,\infty)$

E. 4.3.3.

Estude a monotonicidade de $\displaystyle f(x)=\ln x$ .

Crescente: $(0,\infty)$

E. 4.3.4.

Estude a monotonicidade de $\displaystyle f(x)=xe^{-x}$ .

Crescente: $(-\infty,1)$ ; Decrescente de $(1,\infty)$

E. 4.3.5.

Demonstre que um polinômio cúbico pode ter no máximo $3$ raízes reais.

Dica: use o teorema de Rolle.

E. 4.3.6.

Seja $f$ contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ . Mostre que se $f^{\prime}(x)<0$ para todo $x\in(a,b)$ , então $f$ é decrescente em $[a,b]$ .

Dica: consulte a demonstração do item a) do Corolário 4.3.3.

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4.3 Teorema do valor médio

4.3.1 Teorema de Rolle

Teorema 4.3.1.(Teorema de Rolle)

Demonstração.

Exemplo 4.3.1.

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Teorema do valor médio

Teorema 4.3.2.(Teorema do valor médio)

Demonstração.

Observação 4.3.1.

Exemplo 4.3.3.

Corolário 4.3.1.(Funções com derivadas nulas são constantes)

Demonstração.

Corolário 4.3.2.(Função com a mesma derivada diferem por uma constante)

Demonstração.

Corolário 4.3.3.(Monotonicidade e o sinal da derivada)

Demonstração.

Exemplo 4.3.4.

Exemplo 4.3.5.

4.3.3 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Resolução.

ER 4.3.2.

Resolução.

4.3.4 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

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