Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.3 Teorema del valor medio 4.5 Concavidad y la prueba de la segunda derivada

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4.4 Prueba de la primera derivada

Recordemos que los extremos de una función ocurren en los extremos de su dominio o en un punto crítico. Combinado con esto, el Corolario 4.3.3 nos proporciona condiciones suficientes para clasificar los puntos críticos como extremos locales.

Más precisamente, sea $c$ un punto crítico de una función continua $f$ y derivable en todos los puntos de un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene $c$ , excepto posiblemente en el punto $c$ . Moviéndose en la dirección positiva en $x$ :

si $f^{\prime}(x)$ cambia de negativa a positiva en $c$ , entonces $f$ posee un mínimo local en $c$ ;
si $f^{\prime}(x)$ cambia de positiva a negativa en $c$ , entonces $f$ posee un máximo local en $c$ ;
si $f^{\prime}$ no cambia de signo en $c$ , entonces $c$ no es un extremo local de $f$ .

Vea la Figura 4.14.

Refer to caption — Figura 4.14: Prueba de la primera derivada: $c$ punto de máximo local; $d$ punto de mínimo local.

Ejemplo 4.4.1.

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x+3$ . Como $f$ es diferenciable en toda parte, sus puntos críticos son aquellos tales que

f^{\prime}(x)=0\mathchar 46\relax

(4.104)

Tenemos $f^{\prime}(x)=x^{2}-4x+3$ . Se sigue que los puntos críticos son

	$\displaystyle x^{2}-4x+3=0$		(4.105)
	$\displaystyle x=\frac{4\pm\cancelto{2}{\sqrt{16-12}}}{2}$		(4.106)
	$\displaystyle x_{1}=1\text{ o }x_{2}=3\mathchar 46\relax$		(4.107)

Con esto, tenemos

Intervalo	$x<1$	$1<x<3$	$3<x$
$f^{\prime}$	+	-	+
$f$	creciente	decreciente	creciente

Entonces, de la prueba de la primera derivada, concluimos que $x_{1}=1$ es punto de máximo local y que $x_{2}=3$ es punto de mínimo local.

Código 76: Python

⬇

1from sympy import Symbol, lambdify, diff, solve, reduce_inequalities

2x = Symbol('x')

3fl = lambdify(x, diff(x**3/3 - 2*x**2 + 3*x + 3, x))

4xc = solve(fl(x), x)

5print("x1 =", xc[0])

6print("x2 =", xc[1])

7fl_neg = reduce_inequalities(fl(x) < 0, x)

8print("f' < 0 en:", fl_neg)

9fl_pos = reduce_inequalities(fl(x) > 0, x)

10print("f' > 0 en:", fl_pos)

x1 = 1

x2 = 3

f' < 0 en: (1 < x) & (x < 3)

f' > 0 en: ((-oo < x) & (x < 1)) | ((3 < x) & (x < oo))

4.4.1 Ejercicios resueltos

ER 4.4.1.

Determine y clasifique los extremos de la función

f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\mathchar 46\relax

(4.108)

Resolución.

Como el dominio de $f$ es $(-\infty,\infty)$ y $f$ es diferenciable en toda parte, tenemos que sus extremos ocurren en puntos críticos tales que

f^{\prime}(x)=0\mathchar 46\relax

(4.109)

Resolviendo, obtenemos

	$\displaystyle 4x^{3}-12x^{2}+8x=0$		(4.110)
	$\displaystyle 4x(x^{2}-3x+2)=0$		(4.111)

Por lo tanto, $4x=0$ o $x^{2}-3x+2=0$ . Resolviendo cada una de las ecuaciones, tenemos $x_{1}=0$ o

	$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$		(4.112)
	$\displaystyle x=\frac{3\pm 1}{2}$		(4.113)
	$\displaystyle x_{2}=1\text{ o }x_{3}=2\mathchar 46\relax$		(4.114)

Por lo tanto, los puntos críticos son $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ y $x_{3}=2$ . Haciendo el estudio de signo de $f^{\prime}$ , tenemos

	$x<0$	$0<x<1$	$1<x<2$	$2<x$
$4x$	-	+	+	+
$x^{2}-3x+2$	+	+	-	+
$f^{\prime}(x)$	-	+	-	+
$f$	decreciente	creciente	decreciente	creciente

Entonces, de la prueba de la primera derivada, concluimos que $x_{1}=0$ es punto de mínimo local, $x_{2}=1$ es punto de máximo local y $x_{3}=2$ es punto de mínimo local.

Código 77: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda, exp, diff

2x = Symbol('x')

3f = Lambda(x, x**4 - 4*x**3 + 4*x**2)

4print('f(x) =', f(x))

5fl = Lambda(x, diff(f(x), x))

6print("f'(x) =", fl(x))

f(x) = x**4 - 4*x**3 + 4*x**2

f'(x) = 4*x**3 - 12*x**2 + 8*x

⬇

1# puntos críticos de f

2from sympy import solve

3pc = solve(fl(x), x)

4print('puntos críticos:', pc)

puntos críticos: [0, 1, 2]

⬇

1# estudio de signo de f'

2from sympy import reduce_inequalities

3# intervalo donde f' es positiva

4intervalos_pos = reduce_inequalities([fl(x) > 0], x)

5print('f\’ > 0 en', intervalos_pos)

6# intervalo donde f' es negativa

7intervalos_neg = reduce_inequalities([fl(x) < 0], x)

8print('f\’ < 0 en', intervalos_neg)

f' > 0 en ((0 < x) & (x < 1)) | ((2 < x) & (x < oo))

f' < 0 en ((-oo < x) & (x < 0)) | ((1 < x) & (x < 2))

ER 4.4.2.

Encuentre el valor máximo global de $f(x)=(x-1)e^{-x}$ .

Resolución.

Como $f$ es diferenciable en toda parte, tenemos que su máximo ocurre en punto crítico tal que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.115)
	$\displaystyle(2-x)e^{-x}=0$		(4.116)
	$\displaystyle 2-x=0$		(4.117)
	$\displaystyle x=2\mathchar 46\relax$		(4.118)

Haciendo el estudio de signo de la derivada, obtenemos

	$x<0$	$0<x$
$f^{\prime}$	+	-
$f$	creciente	decreciente

Por lo tanto, de la prueba de la primera derivada, podemos concluir que $x=2$ es punto de máximo local. El valor de la función en este punto es $f(2)=e^{-2}$ . Además, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}(x-1)e^{-% x}=-\infty,$		(4.119)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}(x-1)e^{-x% }=0\mathchar 46\relax$		(4.120)

Por todo esto, concluimos que el valor máximo global de $f$ es $f(2)=e^{-2}$ .

ER 4.4.3.(Aplicación en la geometría)

Muestre que el rectángulo de mayor área circunscrito en una circunferencia es un cuadrado.

Resolución.

En la Figura 4.15, sea $d$ el diámetro de la circunferencia y $a$ y $b$ las medidas de los lados del rectángulo circunscrito. Queremos mostrar que $a=b$ . El área del rectángulo se da por

A=ab\mathchar 46\relax

(4.121)

Note que, por el Teorema de Pitágoras, tenemos

d^{2}=a^{2}+b^{2}\mathchar 46\relax

(4.122)

Por lo tanto, podemos escribir $b$ en función de $a$ como

b=\sqrt{d^{2}-a^{2}}\mathchar 46\relax

(4.123)

Así, el área del rectángulo puede escribirse como función de $a$

A(a)=a\sqrt{d^{2}-a^{2}}\mathchar 46\relax

(4.124)

Para encontrar el valor máximo del área, calculamos la derivada de $A$ con respecto a $a$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}a}=\sqrt{d^{2}-a^{2}}-a\frac{2a}{2% \sqrt{d^{2}-a^{2}}}$		(4.125)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{d^{2}-2a^{2}}{\sqrt{d^{2}-a^{2}}}\mathchar 46\relax$		(4.126)

Los puntos críticos ocurren cuando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}a}=0$		(4.127)
	$\displaystyle d^{2}-2a^{2}=0$		(4.128)
	$\displaystyle a=\pm\frac{d}{\sqrt{2}}\mathchar 46\relax$		(4.129)

El punto crítico relevante es $\displaystyle a=d/\sqrt{2}$ , pues los lados son positivos. Haciendo el estudio de signo de la derivada (¡verifique!), concluimos que $\displaystyle a=d/\sqrt{2}$ es punto de máximo local. Volviendo a (4.123), tenemos

	$\displaystyle b=\sqrt{d^{2}-\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^{2}}$		(4.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{d}{\sqrt{2}}\mathchar 46\relax$		(4.131)

Por lo tanto, $a=b$ y el rectángulo de mayor área circunscrito en una circunferencia es un cuadrado.

4.4.2 Ejercicios

E. 4.4.1.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $f(x)=x^{2}-2x$ .

$x=1$ punto de mínimo global

E. 4.4.2.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

$x_{1}=-1$ punto de máximo local; $x_{2}=1$ punto de mínimo local;

E. 4.4.3.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=x^{2/3}(x-1)$ .

$x_{1}=0$ punto de máximo local; $x_{2}=2/5$ punto de mínimo local;

E. 4.4.4.

¿Cuáles son las dimensiones (ancho $w$ y altura $h$ ) del rectángulo de mayor área que puede construirse teniendo perímetro $300$ m?

$w=75\text{m}$ , $h=75\text{m}$

E. 4.4.5.

Una caja abierta se hace a partir de una hoja rectangular de cartón de largo $l=45$ cm y ancho $w=30$ cm, cortando cuadrados iguales de lado $x$ cm en cada esquina y doblando las solapas formadas (consulte la figura a continuación). Encuentre el valor de $x$ que resulte en la caja de mayor volumen posible.

$\displaystyle x=\frac{25-5\sqrt{7}}{2}\approx 5{,}89$ cm

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4.4 Prueba de la primera derivada

Ejemplo 4.4.1.

4.4.1 Ejercicios resueltos

ER 4.4.1.

Resolución.

ER 4.4.2.

Resolución.

ER 4.4.3.(Aplicación en la geometría)

Resolución.

4.4.2 Ejercicios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

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