Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.3 Teorema del valor medio 4.5 Concavidad y la prueba de la segunda derivada

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4.4 Prueba de la primera derivada

Recordemos que los extremos de una función ocurren en los extremos de su dominio o en un punto crítico. Combinado con esto, el Corolario4.3.3 nos proporciona condiciones suficientes para clasificar los puntos críticos como extremos locales.

Más precisamente, sea $c$ un punto crítico de una función continua $f$ y derivable en todos los puntos de un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene $c$ , excepto posiblemente en el punto $c$ . Moviéndose en la dirección positiva en $x$ :

si $f^{\prime}(x)$ cambia de negativa a positiva en $c$ , entonces $f$ posee un mínimo local en $c$ ;
si $f^{\prime}(x)$ cambia de positiva a negativa en $c$ , entonces $f$ posee un máximo local en $c$ ;
si $f^{\prime}$ no cambia de signo en $c$ , entonces $c$ no es un extremo local de $f$ .

Vea la Figura4.14.

Figura 4.14: Prueba de la primera derivada: $c$ punto de máximo local; $d$ punto de mínimo local.

Ejemplo 4.4.1.

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x+3$ . Como $f$ es diferenciable en toda parte, sus puntos críticos son aquellos tales que

f^{\prime}(x)=0

(4.104)

Tenemos $f^{\prime}(x)=x^{2}-4x+3$ . Se sigue que los puntos críticos son

	$\displaystyle x^{2}-4x+3=0$		(4.105)
	$\displaystyle x=\frac{4\pm\cancelto{2}{\sqrt{16-12}}}{2}$		(4.106)
	$\displaystyle x_{1}=1\text{ o }x_{2}=3$		(4.107)

Con esto, tenemos

Intervalo	$x<1$	$1<x<3$	$3<x$
$f^{\prime}$	+	-	+
$f$	creciente	decreciente	creciente

Entonces, de la prueba de la primera derivada, concluimos que $x_{1}=1$ es punto de máximo local y que $x_{2}=3$ es punto de mínimo local.

Código 76: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,lambdify,diff,solve,reduce_inequalities

2x=Symbol('x')

3fl=lambdify(x,diff(x**3/3-2*x**2+3*x+3,x))

4xc=solve(fl(x),x)

5print("x1=",xc[0])

6print("x2=",xc[1])

7fl_neg=reduce_inequalities(fl(x)<0,x)

8print("f'<0en:",fl_neg)

9fl_pos=reduce_inequalities(fl(x)>0,x)

10print("f'>0en:",fl_pos)

x1=1

x2=3

f'<0en:(1<x)&(x<3)

f'>0en:((-oo<x)&(x<1))|((3<x)&(x<oo))

4.4.1 Ejercicios resueltos

ER 4.4.1.

Determine y clasifique los extremos de la función

f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}

(4.108)

Resolución.

Como el dominio de $f$ es $(-\infty,\infty)$ y $f$ es diferenciable en toda parte, tenemos que sus extremos ocurren en puntos críticos tales que

f^{\prime}(x)=0

(4.109)

Resolviendo, obtenemos

	$\displaystyle 4x^{3}-12x^{2}+8x=0$		(4.110)
	$\displaystyle 4x(x^{2}-3x+2)=0$		(4.111)

Por lo tanto, $4x=0$ o $x^{2}-3x+2=0$ . Resolviendo cada una de las ecuaciones, tenemos $x_{1}=0$ o

	$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$		(4.112)
	$\displaystyle x=\frac{3\pm 1}{2}$		(4.113)
	$\displaystyle x_{2}=1\text{ o }x_{3}=2$		(4.114)

Por lo tanto, los puntos críticos son $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ y $x_{3}=2$ . Haciendo el estudio de signo de $f^{\prime}$ , tenemos

	$x<0$	$0<x<1$	$1<x<2$	$2<x$
$4x$	-	+	+	+
$x^{2}-3x+2$	+	+	-	+
$f^{\prime}(x)$	-	+	-	+
$f$	decreciente	creciente	decreciente	creciente

Entonces, de la prueba de la primera derivada, concluimos que $x_{1}=0$ es punto de mínimo local, $x_{2}=1$ es punto de máximo local y $x_{3}=2$ es punto de mínimo local.

Código 77: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,Lambda,exp,diff

2x=Symbol('x')

3f=Lambda(x,x**4-4*x**3+4*x**2)

4print('f(x)=',f(x))

5fl=Lambda(x,diff(f(x),x))

6print("f'(x)=",fl(x))

f(x)=x**4-4*x**3+4*x**2

f'(x)=4*x**3-12*x**2+8*x

⬇

1#puntoscríticosdef

2fromsympyimportsolve

3pc=solve(fl(x),x)

4print('puntoscríticos:',pc)

puntoscríticos:[0,1,2]

⬇

1#estudiodesignodef'

2fromsympyimportreduce_inequalities

3#intervalodondef'espositiva

4intervalos_pos=reduce_inequalities([fl(x)>0],x)

5print('f\’>0en',intervalos_pos)

6#intervalodondef'esnegativa

7intervalos_neg=reduce_inequalities([fl(x)<0],x)

8print('f\’<0en',intervalos_neg)

f'>0en((0<x)&(x<1))|((2<x)&(x<oo))

f'<0en((-oo<x)&(x<0))|((1<x)&(x<2))

ER 4.4.2.

Encuentre el valor máximo global de $f(x)=(x-1)e^{-x}$ .

Resolución.

Como $f$ es diferenciable en toda parte, tenemos que su máximo ocurre en punto crítico tal que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.115)
	$\displaystyle(2-x)e^{-x}=0$		(4.116)
	$\displaystyle 2-x=0$		(4.117)
	$\displaystyle x=2$		(4.118)

Haciendo el estudio de signo de la derivada, obtenemos

	$x<0$	$0<x$
$f^{\prime}$	+	-
$f$	creciente	decreciente

Por lo tanto, de la prueba de la primera derivada, podemos concluir que $x=2$ es punto de máximo local. El valor de la función en este punto es $f(2)=e^{-2}$ . Además, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}(x-1)e^{-% x}=-\infty,$		(4.119)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}(x-1)e^{-x% }=0$		(4.120)

Por todo esto, concluimos que el valor máximo global de $f$ es $f(2)=e^{-2}$ .

ER 4.4.3.(Aplicación en la geometría)

Muestre que el rectángulo de mayor área circunscrito en una circunferencia es un cuadrado.

Figura 4.15: Rectángulo circunscrito en una circunferencia.

Resolución.

En la Figura4.15, sea $d$ el diámetro de la circunferencia y $a$ y $b$ las medidas de los lados del rectángulo circunscrito. Queremos mostrar que $a=b$ . El área del rectángulo se da por

A=ab

(4.121)

Note que, por el Teorema de Pitágoras, tenemos

d^{2}=a^{2}+b^{2}

(4.122)

Por lo tanto, podemos escribir $b$ en función de $a$ como

b=\sqrt{d^{2}-a^{2}}

(4.123)

Así, el área del rectángulo puede escribirse como función de $a$

A(a)=a\sqrt{d^{2}-a^{2}}

(4.124)

Para encontrar el valor máximo del área, calculamos la derivada de $A$ con respecto a $a$

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}a}=\sqrt{d^{2}-a^{2}}-a\frac{2a}{2% \sqrt{d^{2}-a^{2}}}$		(4.125)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{d^{2}-2a^{2}}{\sqrt{d^{2}-a^{2}}}$		(4.126)

Los puntos críticos ocurren cuando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}a}=0$		(4.127)
	$\displaystyle d^{2}-2a^{2}=0$		(4.128)
	$\displaystyle a=\pm\frac{d}{\sqrt{2}}$		(4.129)

El punto crítico relevante es $\displaystyle a=d/\sqrt{2}$ , pues los lados son positivos. Haciendo el estudio de signo de la derivada (¡verifique!), concluimos que $\displaystyle a=d/\sqrt{2}$ es punto de máximo local. Volviendo a (4.123), tenemos

	$\displaystyle b=\sqrt{d^{2}-\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^{2}}$		(4.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{d}{\sqrt{2}}$		(4.131)

Por lo tanto, $a=b$ y el rectángulo de mayor área circunscrito en una circunferencia es un cuadrado.

4.4.2 Ejercicios

E. 4.4.1.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $f(x)=x^{2}-2x$ .

$x=1$ punto de mínimo global

E. 4.4.2.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

$x_{1}=-1$ punto de máximo local; $x_{2}=1$ punto de mínimo local;

E. 4.4.3.

Use la prueba de la primera derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=x^{2/3}(x-1)$ .

$x_{1}=0$ punto de máximo local; $x_{2}=2/5$ punto de mínimo local;

E. 4.4.4.

¿Cuáles son las dimensiones (ancho $w$ y altura $h$ ) del rectángulo de mayor área que puede construirse teniendo perímetro $300$ m?

$w=75\text{m}$ , $h=75\text{m}$

E. 4.4.5.

Una caja abierta se hace a partir de una hoja rectangular de cartón de largo $l=45$ cm y ancho $w=30$ cm, cortando cuadrados iguales de lado $x$ cm en cada esquina y doblando las solapas formadas (consulte la figura a continuación). Encuentre el valor de $x$ que resulte en la caja de mayor volumen posible.

$\displaystyle x=\frac{25-5\sqrt{7}}{2}\approx 589$ cm

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4.4 Prueba de la primera derivada

Ejemplo 4.4.1.

4.4.1 Ejercicios resueltos

ER 4.4.1.

Resolución.

ER 4.4.2.

Resolución.

ER 4.4.3.(Aplicación en la geometría)

Resolución.

4.4.2 Ejercicios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

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