Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.1 Regla de L’Hôpital 4.3 Teorema del valor medio

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4.2 Extremos de funciones

Sea $f$ una función con dominio $D$ . Decimos que $f$ tiene el valor máximo global²²2El valor máximo global también se llama valor máximo absoluto. $f(a)$ en el punto $x=a$ cuando

f(x)\leq f(a),

(4.71)

para todo $x\in D$ . Análogamente, decimos que $f$ tiene el valor mínimo global³³3El valor mínimo global también se llama valor mínimo absoluto. $f(b)$ en el punto $x=b$ cuando

f(x)\geq f(b),

(4.72)

para todo $x\in D$ . En tales puntos, decimos que la función tiene sus valores extremos globales (o extremos absolutos).

Ejemplo 4.2.1.(Extremos de funciones prototipo)

En la secuencia de las notas, entenderemos que las funciones $y=x^{2}$ y $y=x^{3}$ son prototipos importantes en el estudio de los extremos de funciones. La función $f(x)=x^{2}$ tiene valor mínimo global en el punto $x=0$ y no asume valor máximo global. La función $g(x)=-x^{2}$ tiene valor máximo global en el punto $x=0$ y no asume valor mínimo global. La función $h(x)=x^{3}$ no asume valores mínimo y máximo globales. Consultemos la Figura 4.1.

Refer to caption — Figura 4.1: Funciones prototipo en el estudio de extremos de funciones.

El teorema a continuación garantiza la existencia de valores extremos globales para funciones continuas en intervalos cerrados.

Teorema 4.2.1.(Teorema del valor extremo)

Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces $f$ asume tanto un valor máximo como un valor mínimo global en $[a,b]$ .

Demostración.

La demostración está fuera de los objetivos de este texto. Si le interesa, consulte [2]. ∎

Ejemplo 4.2.2.

Estudiemos los siguientes casos.

a)

$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}+1$ definida en $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ .

La función $f(x)=(x-1)^{2}+1$ es continua en el intervalo cerrado $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ (consultemos su gráfico en la Figura 4.2). Asume valor mínimo global $1$ en el punto $x=1$ . Además, asume valor máximo global igual a $2$ en el punto $x=0$ .

Figura 4.2: Gráfico de $f(x)=(x-1)^{2}+1$ en el intervalo $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ .
b)

$\displaystyle g(x)=\ln x$ definida en $(0,e]$ .

La función $g(x)=\ln x$ es continua en el intervalo $(0,e]$ (consultemos su gráfico en la Figura 4.3). En este intervalo, asume valor máximo global en el punto $x=e$ , pero no asume valor mínimo global.

Figura 4.3: Gráfico de $g(x)=\ln x$ en el intervalo $(0,e]$ .
c)

$\displaystyle h(x)=\begin{cases}x&,0\leq x<1,\\ 0&,x=1.\end{cases}$ definida en $[0,1]$ .

La función $h$ definida en el intervalo $[0,1]$ es discontinua en el punto $x=1$ (consultemos su gráfico en la Figura 4.4). En este intervalo, asume valor mínimo global en el punto $x=0$ , pero no asume valor máximo global.

Figura 4.4: Gráfico de $h(x)$ en el intervalo $[0,1]$ .

Una función $f$ tiene un valor máximo local en un punto interior $x=a$ de su dominio, si $f(x)<f(a)$ para todo $x$ en un intervalo abierto en torno a $a$ , excluyendo $x=a$ . Análogamente, $f$ tiene un valor mínimo local en un punto interior $x=b$ de su dominio, si $f(x)>f(b)$ para todo $x$ en un intervalo abierto en torno a $b$ , excluyendo $x=b$ . En tales puntos, decimos que la función tiene valores extremos locales (o relativos). Un tal punto se llama punto de máximo local o de mínimo local, según sea el caso.

Ejemplo 4.2.3.

Consideremos la función

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}-(x+1)^{2}-2&,-2\leq x<-\frac{1}{2},\\ |x|&,-\frac{1}{2}\leq x<1,\\ (x-2)^{3}+2&,1\leq x<3.\end{array}\right.

(4.73)

En la Figura 4.5 tenemos el gráfico de la función $f$ . Por inferencia, tenemos que $f$ tiene valores máximos locales en los puntos $x=-1$ y $x=-1/2$ . En el punto $x=0$ tiene un valor mínimo local. Observamos que $x=-2$ , $x=2$ y $x=3$ no son puntos de extremos locales de esta función. En el punto $x=-2$ , $f$ tiene su valor mínimo global. Además, $f$ no tiene valor máximo global.

Teorema 4.2.2.(Derivada en puntos extremos locales)

Si $f$ posee un valor extremo local en un punto $x=a$ y $f$ es diferenciable en este punto, entonces

f^{\prime}(a)=0.

(4.74)

Demostración.

Vamos a considerar el caso en que $f$ posee un máximo local en $x=a$ . Entonces, se sigue que

	$\displaystyle f^{\prime}(a)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+% h)-f(x)}{h}\leq 0$		(4.75)
	$\displaystyle f^{\prime}(a)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{f(x+% h)-f(x)}{h}\geq 0$		(4.76)

Por lo tanto, $f^{\prime}(a)=0$ . Para el caso en que $f$ posee un mínimo local en $x=a$ , consulte el E.4.2.6. ∎

De este teorema, podemos concluir que una función $f$ puede tener valores extremos en:

a)

puntos interiores de su dominio donde $f^{\prime}=0$ ,
b)

puntos interiores de su dominio donde $f^{\prime}$ no existe, o
c)

puntos extremos de su dominio.

Un punto interior del dominio de una función $f$ donde $f^{\prime}=0$ o $f^{\prime}$ no existe, se llama punto crítico de la función.

Observación 4.2.1.(Puntos críticos o extremos)

Una función tiene valores extremos en puntos críticos o en los extremos de su dominio.

Ejemplo 4.2.4.

Sea la función $f$ estudiada en el Ejemplo 4.2.3. En el punto $x=-1$ , $f^{\prime}(-1)=0$ y $f$ tiene valor máximo local en este punto. Sin embargo, en el punto $x=2$ , también tenemos $f^{\prime}(2)=0$ , pero $f$ no tiene valor extremo en este punto.

En el punto $x=0$ , $f^{\prime}(0)$ no existe y $f$ tiene valor mínimo local en este punto. En el punto, $x=-1/2$ , $f^{\prime}(1/2)$ no existe y $f$ tiene valor máximo local en este punto.

En los extremos del dominio, tenemos que $f$ tiene valor mínimo global en el punto $x=-2$ , pero no tiene extremo global en el punto $x=3$ .

4.2.1 Ejercicios resueltos

ER 4.2.1.

Determine los puntos extremos de la función $f(x)=(x+1)^{2}-1$ en el intervalo $[-2,1]$ .

Resolución.

Los valores extremos de una función pueden ocurrir, solamente, en sus puntos críticos o en los extremos de su dominio. Como $f(x)=(x+1)^{2}-1$ es diferenciable en el intervalo $(-2,1)$ , sus puntos críticos son puntos tales que $f^{\prime}=0$ . Para identificarlos, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.77)
	$\displaystyle 2(x+1)=0$		(4.78)
	$\displaystyle x=-1.$		(4.79)

De esta forma, $f$ puede tener valores extremos en los puntos $x=-2$ , $x=-1$ y $x=1$ . Analizamos, entonces, el esbozo del gráfico de la función (Figura 4.6) y la siguiente tabla:

$x$	-2	-1	1
$f(x)$	0	-1	3

De ahí, podemos concluir que $f$ tiene el valor mínimo global (y local) de $f(-1)=-1$ en el punto $x=-1$ y tiene valor máximo global de $f(1)=3$ en el punto $x=1$ .

Código 75: Python

⬇

1from sympy import Symbol, lambdify, diff, solve

2x = Symbol('x')

3f = lambdify(x, (x+1)**2-1)

4# f' == 0

5xc = solve(diff(f(x),x), x)

6print(f"Pto. crítico xc = {xc}")

7print(f"f(-2) = {f(-2)}")

8print(f"f({xc[0]}) = {f(xc[0])}")

9print(f"f(1) = {f(1)}")

Pto. crítico xc = [-1]

f(-2) = 0

f(-1) = -1

f(1) = 3

ER 4.2.2.

Determine los puntos extremos de la función $f(x)=x^{3}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Resolución.

Como $f$ es diferenciable en el intervalo $(-1,1)$ , tenemos que sus puntos críticos son tales que $f^{\prime}(x)=0$ . En este caso, tenemos

3x^{2}=0\Rightarrow x=0

(4.80)

es el único punto crítico de $f$ . Sin embargo, analizando el gráfico de esta función (Figura 4.7) vemos que $f$ no tiene valor extremo local en este punto. Así, sus puntos extremos solo pueden ocurrir en los extremos del dominio $[-1,1]$ . Concluimos que $f(-1)=-1$ es el valor mínimo global de $f$ y $f(1)=1$ es su valor máximo global.

4.2.2 Ejercicios

E. 4.2.1.

Considere que una dada función $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Determine y clasifique los puntos extremos de esta función.

$x=-1$ punto de mínimo global; $x=1$ punto de máximo local; $x=2$ punto de mínimo local; $x=\frac{5}{2}$ punto de máximo global.

E. 4.2.2.

Dada la función $f(x)=x^{2}-2x+3$ restringida al intervalo $[-1,2]$ , determine:

a)

su(s) punto(s) crítico(s).
b)

su(s) punto(s) extremo(s) y clasifiquelo(s).
c)

su(s) valor(es) extremo(s) y clasifiquelo(s).

a) $x=1$ ; b) $x=-1$ punto de máximo global; $x=1$ punto de mínimo local y global; c) $f(-1)=6$ valor máximo global; $f(1)=2$ valor mínimo local y global;

E. 4.2.3.

Dada la función $f(x)=-x^{2}+2x+1$ restringida al intervalo $[0,3]$ , determine:

a)

su(s) punto(s) crítico(s).
b)

su(s) punto(s) extremo(s) y clasifiquelo(s).
c)

su(s) valor(es) extremo(s) y clasifiquelo(s).

a) $x=1$ ; b) $x=1$ punto de máximo local y global; $x=3$ punto de mínimo global; c) $f(1)=2$ valor máximo local y global; $f(3)=-2$ valor mínimo global;

E. 4.2.4.

Dada la función $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x$ restringida al intervalo $[0,\infty)$ , determine:

a)

su(s) punto(s) crítico(s).
b)

su(s) punto(s) extremo(s) y clasifiquelo(s).
c)

su(s) valor(es) extremo(s) y clasifiquelo(s).

a) $x=1$ ; b) $x=0$ punto de mínimo global;c) $f(0)=0$ valor mínimo global;

E. 4.2.5.

Dada la función $f(x)=x^{1/3}$ restringida al intervalo $[-1,1]$ , determine:

a)

su(s) punto(s) crítico(s).
b)

su(s) punto(s) extremo(s) y clasifiquelo(s).
c)

su(s) valor(es) extremo(s) y clasifiquelo(s).

a) $x=0$ ; b) $x=-1$ punto de mínimo global; $x=1$ punto de máximo global; c) $f(-1)=-1$ valor mínimo global; $f(1)=1$ valor máximo global;

E. 4.2.6.

Muestre que si $f$ tiene un mínimo local en $x=a$ y es diferenciable en este punto, entonces $f^{\prime}(a)=0$ .

Pista: consulte la demostración del Teorema 4.2.2.

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4.2 Extremos de funciones

Ejemplo 4.2.1.(Extremos de funciones prototipo)

Teorema 4.2.1.(Teorema del valor extremo)

Demostración.

Ejemplo 4.2.2.

Ejemplo 4.2.3.

Teorema 4.2.2.(Derivada en puntos extremos locales)

Demostración.

Observación 4.2.1.(Puntos críticos o extremos)

Ejemplo 4.2.4.

4.2.1 Ejercicios resueltos

ER 4.2.1.

Resolución.

ER 4.2.2.

Resolución.

4.2.2 Ejercicios

E. 4.2.1.

E. 4.2.2.

E. 4.2.3.

E. 4.2.4.

E. 4.2.5.

E. 4.2.6.

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