Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.4 Prueba de la primera derivada 4.6 Tasas relacionadas

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4.5 Concavidad y la prueba de la segunda derivada

El gráfico de una función diferenciable $f$ es

a)

cóncavo hacia arriba en un intervalo abierto $I$ , si $f^{\prime}$ es creciente en $I$ ;
b)

cóncavo hacia abajo en un intervalo abierto $I$ , si $f^{\prime}$ es decreciente en $I$ .

Asumiendo que $f$ es dos veces diferenciable, tenemos que la monotonicidad de $f^{\prime}$ está relacionada con el signo de $f^{\prime\prime}$ (la segunda derivada de $f$ ). Por lo tanto, el gráfico de $f$ es

a)

cóncavo hacia arriba en un intervalo abierto $I$ , si $f^{\prime\prime}>0$ en $I$ ;
b)

cóncavo hacia abajo en un intervalo abierto $I$ , si $f^{\prime\prime}<0$ en $I$ .

Ejemplo 4.5.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

el gráfico de $f(x)=x^{2}$ es una parábola cóncava hacia arriba en toda parte (Figura4.16).

Figura 4.16: Gráfico de $f(x)=x^{2}$ y sus derivadas de orden 1 y 2.

De hecho, tenemos

$f^{\prime}(x)=2x,$ (4.132)

una función creciente en toda parte. También, tenemos

$f^{\prime\prime}(x)=2>0,$ (4.133)

en toda parte.
b)

el gráfico de $g(x)=-x^{2}$ es una parábola cóncava hacia abajo en toda parte. De hecho, tenemos

$g^{\prime}(x)=-2x,$ (4.134)

una función decreciente en toda parte. También, tenemos

$g^{\prime\prime}(x)=-2<0,$ (4.135)

en toda parte. Haga los gráficos de $g$ , $g^{\prime}$ y $g^{\prime\prime}$ para entender mejor las relaciones entre la función y sus derivadas en este caso.
c)

el gráfico de la función $h(x)=x^{3}$ es cóncavo hacia abajo en $(-\infty,0)$ y cóncavo hacia arriba en $(0,\infty)$ . Consultemos la Figura4.17.

Figura 4.17: Gráfico de $h(x)=x^{3}$ y sus derivadas de orden 1 y 2.

De hecho, tenemos

$h^{\prime}(x)=x^{2},$ (4.136)

que es una función decreciente en $(-\infty,0]$ y creciente en $[0,\infty)$ . También, tenemos

$h^{\prime\prime}(x)=2x$ (4.137)

que asume valores negativos en $(-\infty,0)$ y valores positivos en $(0,\infty)$ .

Un punto en el que el gráfico de una función $f$ cambia de concavidad se llama punto de inflexión. En tales puntos tenemos

f^{\prime\prime}=0\quad\text{o}\quad\nexists f^{\prime\prime}

(4.138)

Ejemplo 4.5.2.

Veamos los siguientes casos:

a)

El gráfico de la función $f(x)=x^{3}$ tiene $x=0$ como único punto de inflexión (consultemos la Figura4.17). De hecho, tenemos

$f^{\prime}(x)=3x^{2}$ (4.139)

que es diferenciable en toda parte con

$f^{\prime\prime}(x)=6x$ (4.140)

Por lo tanto, los puntos de inflexión ocurren cuando

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$ (4.141)

$\displaystyle 6x=0$ (4.142)

$\displaystyle x=0$ (4.143)
b)

El gráfico de la función $g(x)=\sqrt[3]{x}$ tiene $x=0$ como único punto de inflexión (consultemos la Figura4.18).

Figura 4.18: Gráfico de $g(x)=\sqrt[3]{x}$ y su segunda derivada.

De hecho, tenemos

$g^{\prime}(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}},$ (4.144)

para $x\neq 0$ . Se sigue que

$g^{\prime\prime}(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}},$ (4.145)

para $x\neq 0$ , donde $g^{\prime\prime}>0$ en $(-\infty,0)$ y $g^{\prime\prime}<0$ en $(0,\infty)$ . Esto es, el gráfico de $g$ cambia de concavidad en $x=0$ , $\nexists g^{\prime\prime}(0)$ , siendo $g$ cóncava hacia arriba en $(-\infty,0)$ y cóncava hacia abajo en $(0,\infty)$ .

4.5.1 Prueba de la segunda derivada

Sea $x=x_{0}$ un punto crítico de una dada función $f$ dos veces diferenciable y $f^{\prime\prime}$ continua en un intervalo abierto que contiene $x=x_{0}$ . Tenemos

a)

si $f^{\prime}(x_{0})=0$ y $f^{\prime\prime}(x_{0})>0$ , entonces $x=x_{0}$ es un punto de mínimo local de $f$ (Figura4.19a));
b)

si $f^{\prime}(x_{0})=0$ y $f^{\prime\prime}(x_{0})<0$ , entonces $x=x_{0}$ es un punto de máximo local de $f$ (Figura4.19b)).

Figura 4.19: Prueba de la segunda derivada: a) punto de mínimo local; b) punto de máximo local.

Ejemplo 4.5.3.

La función $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-2$ tiene puntos críticos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=6x^{2}-18x+12=0$		(4.146)
	$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$		(4.147)
	$\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$		(4.148)
	$\displaystyle x_{1}=1\text{ o }x_{2}=2$		(4.149)

La segunda derivada de $f$ es

f^{\prime\prime}(x)=12x-18

(4.150)

Por lo tanto, como $f^{\prime\prime}(x_{1})=f^{\prime\prime}(1)=-6<0$ , tenemos que $x_{1}=1$ es punto de máximo local de $f$ . Y, como $f^{\prime\prime}(x_{2})=f^{\prime\prime}(2)=6>0$ , tenemos que $x_{2}=2$ es punto de mínimo local de $f$ . Verifiquemos en el gráfico de $f$ (Figura4.20).

Figura 4.20: Gráfico de $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-2$ .

Observación 4.5.1.

Si $f^{\prime}(x_{0})=0$ y $f^{\prime\prime}(x_{0})=0$ , entonces $x=x_{0}$ puede ser punto extremo local de $f$ o no. O sea, la prueba es inconclusa.

Ejemplo 4.5.4.

Veamos los siguientes casos:

a)

La función $f(x)=x^{3}$ tiene un punto crítico

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ (4.151)

$\displaystyle 3x^{2}=0$ (4.152)

$\displaystyle x=0$ (4.153)

En este punto, tenemos

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x$ (4.154)

$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$ (4.155)

En este caso, $x=0$ no es punto de extremo local y tenemos $f^{\prime}(0)=0$ y $f^{\prime\prime}(0)=0$ . ¡Haga el gráfico de $f(x)=x^{3}$ y verifique!
b)

La función $f(x)=x^{4}$ tiene un punto crítico

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ (4.156)

$\displaystyle 4x^{3}=0$ (4.157)

$\displaystyle x=0$ (4.158)

En este punto, tenemos

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}$ (4.159)

$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$ (4.160)

En este caso, $x=0$ es punto de mínimo local y tenemos $f^{\prime}(0)=0$ y $f^{\prime\prime}(0)=0$ . ¡Haga el gráfico de $f(x)=x^{4}$ y verifique!

4.5.2 Ejercicios resueltos

ER 4.5.1.

Encuentre el valor máximo global de $f(x)=(x-1)e^{-x}$ .

Resolución.

Como $f$ es diferenciable en toda parte, tenemos que su valor máximo (si existe) ocurre en punto crítico tal que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.161)
	$\displaystyle(2-x)e^{-x}=0$		(4.162)
	$\displaystyle 2-x=0$		(4.163)
	$\displaystyle x=2$		(4.164)

Ahora, usando la prueba de la segunda derivada, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x-3)e^{-x}$		(4.165)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(2)=-e^{-2}<0$		(4.166)

Por lo tanto, $x=2$ es punto de máximo local. El valor de la función en este punto es $f(2)=e^{-2}$ . Además, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}(x-1)e^{-% x}=-\infty,$		(4.167)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}(x-1)e^{-x% }=0$		(4.168)

Por todo esto, concluimos que el valor máximo global de $f$ es $f(2)=e^{-2}$ .

Código 78: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,lambdify,exp,diff,solve

2x=Symbol('x')

3f=(x-1)*exp(-x)

4fl=diff(f,x)

5xc=solve(fl,x)

6print("xc=",xc[0])

xc=2

⬇

1fll=diff(fl,x)

2print("f''(xc)=",fll.subs(x,xc[0]))

f''(xc)=-exp(-2)

⬇

1fromsympyimportlimit,oo

2print("lim_x->oof(x)=",limit(f,x,oo))

3print("lim_x->-oof(x)=",limit(f,x,-oo))

lim_x->oof(x)=0

lim_x->-oof(x)=-oo

ER 4.5.2.

Determine y clasifique los extremos de la función

f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}

(4.169)

restringida al intervalo de $[-1,3]$ .

Resolución.

Como $f$ es diferenciable en $(-1,3)$ , tenemos que sus extremos locales ocurren en los siguientes puntos críticos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.170)
	$\displaystyle 4x^{3}-12x^{2}+8x=0$		(4.171)
	$\displaystyle 4x(x^{2}-3x+2)=0$		(4.172)

por lo que los puntos críticos son $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ y $x_{3}=2$ . Calculando la segunda derivada de $f$ , tenemos

f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-24x+8

(4.173)

De la prueba de la segunda derivada, tenemos

f^{\prime\prime}(x_{1})=f^{\prime\prime}(0)=8>0

(4.174)

de donde tenemos que $x_{1}=0$ es punto de mínimo local. Similarmente, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_{2})=f^{\prime\prime}(1)=-4<0,$		(4.175)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_{3})=f^{\prime\prime}(2)=8>0,$		(4.176)

donde $x_{2}=1$ es punto de máximo local y $x_{3}=2$ es punto de mínimo local. Ahora, veamos los valores de $f$ en cada punto de interés.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$9$	$0$	$1$	$0$	$9$

Entonces, podemos concluir que $x=-1$ y $x=3$ son puntos de máximo global (el valor máximo global es $f(-1)=f(3)=9$ ), $x=1$ es punto de máximo local, $x=0$ y $x=2$ son puntos de mínimo global (el valor mínimo global es $f(0)=f(2)=0$ ).

ER 4.5.3.

Una cerca de $300$ m será usada para cercar los lados y la parte trasera de un terreno rectangular, dejando el frente abierto (conforme figura a continuación). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima?

Resolución.

Conforme indicado en la figura anterior, consideremos un terreno rectangular de largo $l$ y ancho $w$ . El área del terreno se da por

A=l\cdot w

(4.177)

Como la cerca será usada para cercar los lados y la parte trasera del terreno, tenemos la restricción

2w+l=300

(4.178)

Por lo tanto, podemos escribir $l$ en función de $w$ como

l=300-2w

(4.179)

Así, el área del terreno puede escribirse como función de $w$

A(w)=w(300-2w)=300w-2w^{2}

(4.180)

Para encontrar el valor máximo del área, calculamos la derivada de $A$ con respecto a $w$

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}w}=300-4w

(4.181)

El punto crítico ocurre cuando

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}w}=0$		(4.182)
	$\displaystyle 300-4w=0$		(4.183)
	$\displaystyle w=75$		(4.184)

Usando la prueba de la segunda derivada, tenemos

\frac{\mathrm{d}^{2}A}{\mathrm{d}w^{2}}=-4<0,

(4.185)

por lo que $w=75$ es punto de máximo local. Los casos extremos cuando $l=300$ o $w=150$ pueden descartarse, pues implican $A=0$ . Finalmente, calculamos el largo $l$

	$\displaystyle l=300-2(75)$		(4.186)
	$\displaystyle l=150$		(4.187)

Por lo tanto, las dimensiones del terreno para que el área sea máxima son: ancho $w=75$ m y largo $l=150$ m.

4.5.3 Ejercicios

E. 4.5.1.

Use la prueba de la segunda derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $f(x)=x^{2}-2x$ .

$x=1$ punto de mínimo global

E. 4.5.2.

Use la prueba de la segunda derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

$x_{1}=-1$ punto de máximo local; $x_{2}=1$ punto de mínimo local;

E. 4.5.3.

Use la prueba de la segunda derivada para encontrar y clasificar el (los) punto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=x^{2/3}(x-1)$ .

$x_{1}=0$ punto de máximo local; $x_{2}=2/5$ punto de mínimo local;

E. 4.5.4.

Sea $f(x)=-x^{4}$ . Muestre que $x=0$ es punto de máximo local de $f$ y que $f^{\prime}(0)=f^{\prime\prime}(0)=0$ .

$f^{\prime}(x)=-4x^{3}$ , $f^{\prime}(0)=0$ . Por la prueba de la 1. derivada, tenemos que $x=0$ es punto de máximo local. $f^{\prime\prime}(x)=-12x^{2}$ , $f^{\prime\prime}(0)=0$ .

E. 4.5.5.

¿Cuáles son las dimensiones (ancho $w$ y altura $h$ ) del rectángulo de mayor área que puede construirse teniendo perímetro $300$ m?

$w=75\text{m}$ , $h=75\text{m}$

E. 4.5.6.

Una caja abierta se hace a partir de una hoja rectangular de cartón de largo $l=45$ cm y ancho $w=30$ cm, cortando cuadrados iguales de lado $x$ cm en cada esquina y doblando las solapas formadas (consulte la figura a continuación). Encuentre el valor de $x$ que resulte en la caja de mayor volumen posible.

$\displaystyle x=\frac{25-5\sqrt{7}}{2}\approx 589$ cm

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4.5 Concavidad y la prueba de la segunda derivada

Ejemplo 4.5.1.

Ejemplo 4.5.2.

4.5.1 Prueba de la segunda derivada

Ejemplo 4.5.3.

Observación 4.5.1.

Ejemplo 4.5.4.

4.5.2 Ejercicios resueltos

ER 4.5.1.

Resolución.

ER 4.5.2.

Resolución.

ER 4.5.3.

Resolución.

4.5.3 Ejercicios

E. 4.5.1.

E. 4.5.2.

E. 4.5.3.

E. 4.5.4.

E. 4.5.5.

E. 4.5.6.

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	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$		(4.141)
	$\displaystyle 6x=0$		(4.142)
	$\displaystyle x=0$		(4.143)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.151)
	$\displaystyle 3x^{2}=0$		(4.152)
	$\displaystyle x=0$		(4.153)

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x$		(4.154)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$		(4.155)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.156)
	$\displaystyle 4x^{3}=0$		(4.157)
	$\displaystyle x=0$		(4.158)

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}$		(4.159)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$		(4.160)