Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.5 Concavidad y la prueba de la segunda derivada 5 Integración

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4.6 Tasas relacionadas

Las variables relacionadas por ecuaciones pueden tener sus tasas de variación relacionadas. Por ejemplo, si $y=f(x)$ , donde $f$ es diferenciable y $x=x(t)$ , entonces

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$		(4.188)
	$\displaystyle y^{\prime}(t)=f^{\prime}(x)\cdot x^{\prime}(t),$		(4.189)

que relaciona la tasa de variación de $y$ con la tasa de variación de $x$ , ambas con respecto a la variable $t$ .

Ejemplo 4.6.1.

El área $A$ de un círculo está dada por $A=\pi r^{2}$ , donde $r$ es el radio del círculo. Si el radio está aumentando a una tasa de $0,1$ cm/s, podemos calcular la tasa de variación del área cuando el radio es $10$ cm. De hecho, podemos relacionar las tasas de variación del área y del radio con respecto al tiempo $t$ . Tenemos

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}\mathchar 46\relax

(4.190)

Sabemos que $\displaystyle\frac{dr}{dt}=0,1$ cm/s y que

\frac{dA}{dr}=2\pi r\mathchar 46\relax

(4.191)

Por lo tanto, cuando $r=10$ cm, tenemos

\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(0,1)=2\pi~{}\text{cm}^{2}/\text{s}\mathchar 46\relax

(4.192)

4.6.1 Ejercicios resueltos

ER 4.6.1.

El área $A$ de un triángulo con lados $a$ y $b$ formando un ángulo $\theta$ es

A=\frac{1}{2}ab\mathop{\operator@font sen}\nolimits\theta

(4.193)

Sabiendo que $a=5$ m y $b=10$ m, ¿cuál es la tasa de variación de $A$ en el tiempo $t$ , sabiendo que $\theta$ varía $0{,}1\pi$ rad/s?

Resolución.

La tasa de variación de $A$ con respecto a $t$ es

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}ab\cos(\theta)\frac{\mathrm{d}% \theta}{\mathrm{d}t}\mathchar 46\relax

(4.194)

Por lo tanto, sustituyendo los valores de la pregunta, obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10\cos(% \theta)\cdot 0{,}1$		(4.195)
	$\displaystyle\quad\text{}=2{,}5\cos(\theta)\text{m}^{2}/\text{s}\mathchar 46\relax$		(4.196)

ER 4.6.2.

El radio $r$ y la altura $h$ de un cilindro circular recto están aumentando a una tasa de $0,2$ cm/s y $0,5$ cm/s, respectivamente. Encuentre la tasa de variación del volumen del cilindro cuando $r=10$ cm y $h=20$ cm.

Resolución.

El volumen $V$ de un cilindro circular recto está dado por

V=\pi r^{2}h\mathchar 46\relax

(4.197)

Derivando con respecto al tiempo $t$ , tenemos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\pi r^{2}h\right]$		(4.198)
	$\displaystyle\quad\text{}=\pi\left(2r\frac{dr}{dt}\cdot h+r^{2}\frac{dh}{dt}% \right)\mathchar 46\relax$		(4.199)

Por lo tanto, cuando $r=10$ cm y $h=20$ cm, tenemos

	$\displaystyle\frac{dV}{dt}=(2\pi(10)(20))(0,2)+(\pi(10)^{2})(0,5)$		(4.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=80\pi+50\pi=130\pi~{}\text{cm}^{3}/\text{s}\mathchar 46\relax$		(4.201)

4.6.2 Ejercicios

E. 4.6.1.

El área de la superficie de una esfera de radio $r$ es

S=4\pi r^{2}\mathchar 46\relax

(4.202)

Sabiendo que cuando $r=10$ cm el radio varía $0{,}5cm/s$ , ¿cuál es la tasa de variación de $S$ con respecto al tiempo?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=40\pi\text{cm}^{2}/\text{s}$

E. 4.6.2.

La distancia de dos puntos $A=(x,b)$ y $B=(a,y)$ es

d(A,B)=\sqrt{(a-x)^{2}+(y-b)^{2}}\mathchar 46\relax

(4.203)

En cada caso, escriba la relación entre las tasas de variaciones:

a)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ asumiendo constantes $a, b, y$ .
b)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ asumiendo constantes $a, b, x$ .
c)

$\mathrm{d}d/\mathrm{d}t$ relacionada a $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ y $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ asumiendo constantes $a, b$ .

a) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}x}{\mathrm{d}t}$ ; b) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{y-b}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}y}{\mathrm{d}t}$ ; c) $\displaystyle\frac{\mathrm{d}d/\mathrm{d}t}{=}\frac{x-a}{d(A,B)}\frac{\mathrm{% d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{y-b}{d(A,B)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$

E. 4.6.3.

El largo $a$ de un rectángulo aumenta a una tasa de $2$ m/h, mientras su ancho $b$ disminuye a una tasa de $0{,}5$ m/h. En el momento en que $a=5$ y $b=10$ , ¿cuál es la tasa de variación del área del rectángulo con respecto al tiempo?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=15\text{m}^{2}/\text{h}$

E. 4.6.4.

¿Cuál es la tasa de variación $\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$ del volumen de un paralelepípedo con respecto a las tasas de los largos de sus lados $x$ , $y$ y $z$ ?

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=yz\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}% +xz\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+xy\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$

E. 4.6.5.

¿A qué tasa el nivel de líquido disminuye en un tanque cilíndrico vertical si se retira el líquido a una tasa de $2000$ L/s? Asuma que el cilindro tiene radio $1$ m. Pista: el volumen de un cilindro es $V=\pi r^{2}h$ .

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\frac{20}{\pi}\text{dcm}^{3}/% \text{s}$

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Ejemplo 4.6.1.

4.6.1 Ejercicios resueltos

ER 4.6.1.

Resolución.

ER 4.6.2.

Resolución.

4.6.2 Ejercicios

E. 4.6.1.

E. 4.6.2.

E. 4.6.3.

E. 4.6.4.

E. 4.6.5.

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