Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4 Aplicaciones de la derivada 4.2 Extremos de funciones

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4.1 Regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital¹¹1Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hôpital, 1661 - 1704, matemático francés. Fuente: Wikipedia: Guillaume de l’Hôpital. es una técnica para calcular límites de indeterminaciones. Sean $f$ y $g$ funciones derivables en un intervalo abierto que contiene $x=a$ . Por las linealizaciones de $f$ y $g$ alrededor de $x=a$ (Sección 3.7), tenemos

	$\displaystyle f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{f}(x-a),$		(4.1)
	$\displaystyle g(x)=g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a),$		(4.2)

con $\varepsilon_{f},\varepsilon_{g}\to 0$ cuando $x\to a$ . De esta forma, podemos inferir que

\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{f}(x-a)% }{g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a)}.

(4.3)

Con esto, si $f(a)=g(a)=0$ y $g^{\prime}(a)\neq 0$ , entonces

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to a}\frac{f^{\prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{f}(x-a)}{g^{% \prime}(a)(x-a)+\varepsilon_{g}(x-a)}$		(4.4)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}\frac{f^{\prime}% (a)+\varepsilon_{f}}{g^{\prime}(a)+\varepsilon_{g}}$		(4.5)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}.$		(4.6)

4.1.1 Indeterminaciones del tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regla de L’Hôpital del tipo $0/0$ )

Suponga que $f$ y $g$ son funciones derivables en un intervalo abierto que contiene $x=a$ , excepto posiblemente en $x=a$ , y que

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(x)=0,$		(4.7)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}g(x)=0.$		(4.8)

Si, además, $\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)$ existe o es $\pm\infty$ , entonces

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathop{\operator@font lim}_{x% \to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}.

(4.9)

Además, la afirmación también es válida para los casos $x\to a^{-}$ , $x\to a^{+}$ , $x\to\infty$ y $x\to-\infty$ .

Ejemplo 4.1.1.

Vamos a calcular el límite

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{0}{0}~{}\text{% indeterminaci\'{o}n}.

(4.10)

a)

Por la regla de L’Hôpital

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1}\frac{(x-1)^{\prime}}{(x^{2}-1)^{\prime}}$ (4.11)

$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{1}{2x}$ (4.12)

$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$ (4.13)
b)

Por eliminación del factor común

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$ (4.14)

$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{1}{x+1}$ (4.15)

$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$ (4.16)

Ejemplo 4.1.2.

El límite

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}

(4.17)

es una indeterminación $0/0$ (¡verifique!). Aplicando la regla de L’Hôpital, obtenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 2}\frac{\cancelto{0}{2x-4}}{\cancelto{0}{3x^{2}-6x}},

(4.18)

que también es una indeterminación del tipo $0/0$ . Ahora, aplicando la regla de L’Hôpital nuevamente, obtenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{2x-4}{3x^{2}-6x}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 2}\frac{2}{6x-6}=\frac{1}{3}.

(4.19)

Por lo tanto, concluimos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{3}-3x^{2}+4}=\frac{1}% {3}.

(4.20)

4.1.2 Indeterminaciones del tipo $\infty/\infty$

La regla de L’Hôpital también puede usarse para indeterminaciones del tipo $\infty/\infty$ .

Teorema 4.1.2.(Regla de L’Hôpital del tipo $\infty/\infty$ )

Suponga que $f$ y $g$ son funciones derivables en un intervalo abierto que contiene $x=a$ , excepto posiblemente en $x=a$ , y que

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(x)=\infty,$		(4.21)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}g(x)=\infty.$		(4.22)

Si, además, $\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)$ existe o es $\pm\infty$ , entonces

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathop{\operator@font lim}_{x% \to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}.

(4.23)

Además, la afirmación también es válida para los casos $x\to a^{-}$ , $x\to a^{+}$ , $x\to\infty$ y $x\to-\infty$ .

Ejemplo 4.1.3.

Vamos a calcular

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x},

(4.24)

que es una indeterminación del tipo $\infty/\infty$ (¡verifique!). Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x}=\mathop{\operator@font lim% }_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{1}=\infty.

(4.25)

4.1.3 Crecimiento exponencial

El crecimiento de funciones exponenciales es más rápido que el crecimiento de funciones polinomiales. De hecho, de la regla de L’Hôpital, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{nx^{n-1}}$		(4.26)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}% {n(n-1)x^{n-2}}$		(4.27)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}% {n(n-1)(n-2)x^{n-3}}$		(4.28)
	$\displaystyle\quad\text{}=\ldots$		(4.29)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}% {n!}=\infty,$		(4.30)

para cualquier $n\in\mathbb{N}$ . O sea, $e^{x}$ crece más rápido que $x^{n}$ cuando $x\to\infty$ .

Ejemplo 4.1.4.

Tenemos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=\infty.

(4.31)

De hecho, aplicando la regla de L’Hôpital dos veces, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2x}$		(4.32)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{e^{x}}% {2}=\infty.$		(4.33)

4.1.4 Otras indeterminaciones

Otras indeterminaciones pueden transformarse en indeterminaciones del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$ .

Ejemplo 4.1.5.(Decrecimiento exponencial)

Tenemos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}

(4.34)

es una indeterminación del tipo $0\cdot\infty$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ (¡verifique!). Podemos reescribirla como una indeterminación del tipo $\infty/\infty$ :

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}=\mathop{\operator@font lim% }_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}.

(4.35)

Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital $n$ veces, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{n}e^{-x}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}$		(4.36)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{nx^{n-% 1}}{e^{x}}$		(4.37)
	$\displaystyle\quad\text{}=\ldots=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac% {n!}{e^{x}}=0.$		(4.38)

Ejemplo 4.1.6.(Indeterminación $\infty-\infty$ )

Vamos a calcular

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right),

(4.39)

que es una indeterminación del tipo $\infty-\infty$ (¡verifique!). Reescribiendo, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)=\mathop% {\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{1+x\ln x}{x}.

(4.40)

Podemos mostrar que (consultemos el E.4.1.4)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}x\ln x=0.

(4.41)

Con esto, concluimos que

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\ln x% \right)=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{\cancelto{1}{1+x\ln x}}{% \cancelto{0}{x}}$		(4.42)
	$\displaystyle\quad\text{}=\infty.$		(4.43)

4.1.5 Ejercicios resueltos

ER 4.1.1.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-1}{x^{2}}.

(4.44)

Resolución.

Observamos que se trata de una indeterminación del tipo $0/0$ , es decir,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{\cancelto{0}{e^{x}-1}}{\cancelto% {0}{x^{2}}}.

(4.45)

Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital, tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-1}{x^{2}}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{\cancelto{1}{e^{x}}}{\cancelto{0^{-}}{2x% }}=-\infty.

(4.46)

ER 4.1.2.(Indeterminación del tipo $0\cdot\infty$ )

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{51}e^{-x}.

(4.47)

Resolución.

Observamos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\cancelto{\infty}{x^{51}}\cancelto{0}{% e^{-x}}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\cancelto{\infty}{x^{51}% }}{\cancelto{\infty}{e^{x}}}.

(4.48)

Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital sucesivamente, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{51}e^{-x}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{x^{51}}{e^{x}}$		(4.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{51% \cdot x^{50}}{e^{x}}$		(4.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{51% \cdot 50\cdot x^{49}}{e^{x}}$		(4.51)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(4.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{51!}{% \cancelto{\infty}{e^{x}}}=0.$		(4.53)

ER 4.1.3.(Indeterminación del tipo $\infty-\infty$ )

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}% \right).

(4.54)

Resolución.

Se trata de una indeterminación del tipo $\infty-\infty$ , pues

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\cancelto{\infty}{\frac{1}{x}}-% \cancelto{\infty}{\frac{1}{e^{x}-1}}\right).

(4.55)

En este caso, calculando la resta, obtenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}% \right)=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1+x}{xe^{x}-x},

(4.56)

la cual es una indeterminación del tipo $0/0$ . Aplicando la regla de L’Hôpital, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-x}{xe^{x}-x% }=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{\cancelto{0}{e^{x}-1}}{% \cancelto{0}{(x+1)e^{x}-1}}$		(4.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}% {(x+2)e^{x}}$		(4.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x+2% }=\frac{1}{2}.$		(4.59)

ER 4.1.4.(Indeterminación del tipo $1^{\infty}$ )

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}.

(4.60)

Resolución.

Se trata de una indeterminación del tipo $1^{\infty}$ . En tales casos, la siguiente estrategia puede ser útil. En los puntos de continuidad de la función logaritmo natural, tenemos

	$\displaystyle\ln\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}% \right)=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\ln\left((1+x)^{1/x}\right)$		(4.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{% \cancelto{0}{\ln(1+x)}}{\cancelto{0}{x}}$		(4.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{% 1}{x+1}}{1}=1.$		(4.63)

O sea,

	$\displaystyle\ln\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}% \right)=1$		(4.64)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}(1+x)^{1/x}=e.$		(4.65)

4.1.6 Ejercicios

E. 4.1.1.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x+1}{x^{2}+3x+2}.

(4.66)

$1$

E. 4.1.2.

Use la regla de L’Hôpital para calcular

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\mathop{\operator@font sen% }\nolimits 3x}{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pi}\frac{1+\cos x}{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}$

a) $3$ ; b) 0; c) $\frac{1}{2}$

E. 4.1.3.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{-51}e^{x}.

(4.67)

$\infty$

E. 4.1.4.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(x\ln x\right).

(4.68)

$0$

E. 4.1.5.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{2x}}.

(4.69)

$e$

E. 4.1.6.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\mathop{\operator@font sen% }\nolimits x}-\frac{1}{x}\right)

(4.70)

$0$

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Cálculo I

4.1 Regla de L’Hôpital

4.1.1 Indeterminaciones del tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regla de L’Hôpital del tipo $0/0$ )

Ejemplo 4.1.1.

Ejemplo 4.1.2.

4.1.2 Indeterminaciones del tipo $\infty/\infty$

Teorema 4.1.2.(Regla de L’Hôpital del tipo $\infty/\infty$ )

Ejemplo 4.1.3.

4.1.3 Crecimiento exponencial

Ejemplo 4.1.4.

4.1.4 Otras indeterminaciones

Ejemplo 4.1.5.(Decrecimiento exponencial)

Ejemplo 4.1.6.(Indeterminación $\infty-\infty$ )

4.1.5 Ejercicios resueltos

ER 4.1.1.

Resolución.

ER 4.1.2.(Indeterminación del tipo $0\cdot\infty$ )

Resolución.

ER 4.1.3.(Indeterminación del tipo $\infty-\infty$ )

Resolución.

ER 4.1.4.(Indeterminación del tipo $1^{\infty}$ )

Resolución.

4.1.6 Ejercicios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1}\frac{(x-1)^{\prime}}{(x^{2}-1)^{\prime}}$		(4.11)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{1}{2x}$		(4.12)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$		(4.13)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$		(4.14)
	$\displaystyle\quad\text{}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{1}{x+1}$		(4.15)
	$\displaystyle\quad\text{}=\frac{1}{2}.$		(4.16)

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Cálculo I

4.1 Regla de L’Hôpital

4.1.1 Indeterminaciones del tipo 0/0

Teorema 4.1.1.(Regla de L’Hôpital del tipo 0/0)

Ejemplo 4.1.1.

Ejemplo 4.1.2.

4.1.2 Indeterminaciones del tipo ∞/∞

Teorema 4.1.2.(Regla de L’Hôpital del tipo ∞/∞)

Ejemplo 4.1.3.

4.1.3 Crecimiento exponencial

Ejemplo 4.1.4.

4.1.4 Otras indeterminaciones

Ejemplo 4.1.5.(Decrecimiento exponencial)

Ejemplo 4.1.6.(Indeterminación ∞−∞)

4.1.5 Ejercicios resueltos

ER 4.1.1.

Resolución.

ER 4.1.2.(Indeterminación del tipo 0⋅∞)

Resolución.

ER 4.1.3.(Indeterminación del tipo ∞−∞)

Resolución.

ER 4.1.4.(Indeterminación del tipo 1∞)

Resolución.

4.1.6 Ejercicios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

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4.1.1 Indeterminaciones del tipo $0/0$

Teorema 4.1.1.(Regla de L’Hôpital del tipo $0/0$ )

4.1.2 Indeterminaciones del tipo $\infty/\infty$

Teorema 4.1.2.(Regla de L’Hôpital del tipo $\infty/\infty$ )

Ejemplo 4.1.6.(Indeterminación $\infty-\infty$ )

ER 4.1.2.(Indeterminación del tipo $0\cdot\infty$ )

ER 4.1.3.(Indeterminación del tipo $\infty-\infty$ )

ER 4.1.4.(Indeterminación del tipo $1^{\infty}$ )