Cálculo I

4 Aplicações da derivada 4.1 Regra de L’Hôpital 4.3 Teorema do valor médio

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4.2 Extremos de funções

Seja $f$ uma função com domínio $D$ . Dizemos que $f$ tem o valor máximo global¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵O valor máximo global também é chamado de valor máximo absoluto. $f(a)$ no ponto $x=a$ quando

f(x)\leq f(a),

(4.71)

para todo $x\in D$ . Analogamente, dizemos que $f$ tem o valor mínimo global¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶O valor mínimo global também é chamado de valor mínimo absoluto. $f(b)$ no ponto $x=b$ quando

f(x)\geq f(b),

(4.72)

para todo $x\in D$ . Em tais pontos, dizemos que a função têm seus valores extremos globais (ou extremos absolutos).

Exemplo 4.2.1.(Extremos de funções protótipos)

Na sequencia das notas, vamos entender que as funções $y=x^{2}$ e $y=x^{3}$ são protótipos importantes no estudo dos extremos de funções. A função $f(x)=x^{2}$ tem valor mínimo global no ponto $x=0$ e não assume valor máximo global. A função $g(x)=-x^{2}$ tem valor máximo global no ponto $x=0$ e não assume valor mínimo global. A função $h(x)=x^{3}$ não assume valores mínimo e máximo globais. Consultemos a Figura 4.1.

Refer to caption — Figura 4.1: Funções protótipos no estudo de extremos de funções.

O teorema a seguir garante a existência de valores extremos globais para funções contínuas em intervalos fechados.

Teorema 4.2.1.(Teorema do valor extremo)

Se $f$ é uma função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ , então $f$ assume tanto um valor máximo como um valor mínimo global em $[a,b]$ .

Demonstração.

A demonstração foge dos objetivos deste texto. Caso tenha interesse, consulte [2]. ∎

Exemplo 4.2.2.

Estudemos os seguintes casos.

a)

$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}+1$ definida em $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ .

A função $f(x)=(x-1)^{2}+1$ é contínua no intervalo fechado $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ (consultemos seu gráfico na Figura 4.2). Ela assume valor mínimo global $1$ no ponto $x=1$ . Ainda, assume valor máximo global igual a $2$ no ponto $x=0$ .

Figura 4.2: Gráfico de $f(x)=(x-1)^{2}+1$ no intervalo $\displaystyle\left[0,\frac{3}{2}\right]$ .
b)

$\displaystyle g(x)=\ln x$ definida em $(0,e]$ .

A função $g(x)=\ln x$ é contínua no intervalo $(0,e]$ (consultemos seu gráfico na Figura 4.3). Neste intervalo, assume valor máximo global no ponto $x=e$ , mas não assume valor mínimo global.

Figura 4.3: Gráfico de $g(x)=\ln x$ no intervalo $(0,e]$ .
c)

$\displaystyle h(x)=\begin{cases}x&,0\leq x<1,\\ 0&,x=1.\end{cases}$ definida em $[0,1]$ .

A função $h$ definida no intervalo $[0,1]$ é descontínua no ponto $x=1$ (consultemos seu gráfico na Figura 4.4). Neste intervalo, assume valor mínimo global no ponto $x=0$ , mas não assume valor máximo global.

Figura 4.4: Gráfico de $h(x)$ no intervalo $[0,1]$ .

Uma função $f$ tem um valor máximo local em um ponto interior $x=a$ de seu domínio, se $f(x)<f(a)$ para todo $x$ em um intervalo aberto em torno de $a$ , excluindo-se $x=a$ . Analogamente, $f$ tem um valor mínimo local em um ponto interior $x=b$ de seu domínio, se $f(x)>f(b)$ para todo $x$ em um intervalo aberto em torno de $b$ , excluindo-se $x=b$ . Em tais pontos, dizemos que a função têm valores extremos locais (ou relativos). Um tal ponto é chamado de ponto de máximo local ou de mínimo local, conforme o caso.

Exemplo 4.2.3.

Consideremos a função

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}-(x+1)^{2}-2&,-2\leq x<-\frac{1}{2},\\ |x|&,-\frac{1}{2}\leq x<1,\\ (x-2)^{3}+2&,1\leq x<3.\end{array}\right.

(4.73)

Na Figura 4.5 temos o gráfico da função $f$ . Por inferência, temos que $f$ tem valores máximos locais nos pontos $x=-1$ e $x=-1/2$ . No ponto $x=0$ tem um valor mínimo local. Observamos que $x=-2$ , $x=2$ e $x=3$ não são pontos de extremos locais desta função. No ponto $x=-2$ , $f$ tem seu valor mínimo global. Ainda, $f$ não tem valor máximo global.

Teorema 4.2.2.(Derivada em pontos extremos locais)

Se $f$ possui um valor extremo local em um ponto $x=a$ e $f$ é diferenciável neste ponto, então

f^{\prime}(a)=0.

(4.74)

Demonstração.

Vamos considerar o caso em que $f$ possui um máximo local em $x=a$ . Então, segue que

	$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq 0$		(4.75)
	$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\geq 0$		(4.76)

Logo, $f^{\prime}(a)=0$ . Para o caso em que $f$ possui um mínimo local em $x=a$ , consulte o E.4.2.6. ∎

Deste teorema, podemos concluir que uma função $f$ pode ter valores extremos em:

a)

pontos interiores de seu domínio onde $f^{\prime}=0$ ,
b)

pontos interiores de seu domínio onde $f^{\prime}$ não existe, ou
c)

pontos extremos de seu domínio.

Um ponto interior do domínio de uma função $f$ onde $f^{\prime}=0$ ou $f^{\prime}$ não existe, é chamado de ponto crítico da função.

Observação 4.2.1.(Pontos críticos ou extremos)

Uma função tem valores extremos em pontos críticos ou nos extremos de seu domínio.

Exemplo 4.2.4.

Seja a função $f$ estudada no Exemplo 4.2.3. No ponto $x=-1$ , $f^{\prime}(-1)=0$ e $f$ tem valor máximo local neste ponto. Entretanto, no ponto $x=2$ , também temos $f^{\prime}(2)=0$ , mas $f$ não tem valor extremo neste ponto.

No ponto $x=0$ , $f^{\prime}(0)$ não existe e $f$ tem valor mínimo local neste ponto. No ponto, $x=-1/2$ , $f^{\prime}(1/2)$ não existe e $f$ tem valor máximo local neste ponto.

Nos extremos do domínio, temos que $f$ tem valor mínimo global no ponto $x=-2$ , mas não tem extremo global no ponto $x=3$ .

4.2.1 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Determine os pontos extremos da função $f(x)=(x+1)^{2}-1$ no intervalo $[-2,1]$ .

Resolução.

Os valores extremos de um função podem ocorrer, somente, em seus pontos críticos ou nos extremos de seu domínio. Como $f(x)=(x+1)^{2}-1$ é diferenciável no intervalo $(-2,1)$ , seus pontos críticos são pontos tais que $f^{\prime}=0$ . Para identificá-los, calculamos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(4.77)
	$\displaystyle 2(x+1)=0$		(4.78)
	$\displaystyle x=-1.$		(4.79)

Desta forma, $f$ pode ter valores extremos nos ponto $x=-2$ , $x=-1$ e $x=1$ . Analisamos, então, o esboço do gráfico da função (Figura 4.6) e a seguinte tabela:

$x$	-2	-1	1
$f(x)$	0	-1	3

Daí, podemos concluir que $f$ tem o valor mínimo global (e local) de $f(-1)=-1$ no ponto $x=-1$ e tem valor máximo global de $f(1)=3$ no ponto $x=1$ .

Código 37: Python

⬇

1from sympy import Symbol, lambdify, diff, solve

2x = Symbol('x')

3f = lambdify(x, (x+1)**2-1)

4# f' == 0

5xc = solve(diff(f(x),x), x)

6print(f"Pto. crítico xc = {xc}")

7print(f"f(-2) = {f(-2)}")

8print(f"f({xc[0]}) = {f(xc[0])}")

9print(f"f(1) = {f(1)}")

Pto. crítico xc = [-1]

f(-2) = 0

f(-1) = -1

f(1) = 3

ER 4.2.2.

Determine os pontos extremos da função $f(x)=x^{3}$ no intervalo $[-1,1]$ .

Resolução.

Como $f$ é diferenciável no intervalo $(-1,1)$ , temos que seus pontos críticos são tais que $f^{\prime}(x)=0$ . Neste caso, temos

3x^{2}=0\Rightarrow x=0

(4.80)

é o único ponto crítico de $f$ . Entretanto, analisando o gráfico desta função (Figura 4.7) vemos que $f$ não tem valor extremo local neste ponto. Assim, seus pontos extremos só podem ocorrer nos extremos do domínio $[-1,1]$ . Concluímos que $f(-1)=-1$ é o valor mínimo global de $f$ e $f(1)=1$ é seu valor máximo global.

4.2.2 Exercícios

E. 4.2.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Determine e classifique os pontos extremos desta função.

$x=-1$ ponto de mínimo global; $x=1$ ponto de máximo local; $x=2$ ponto de mínimo local; $x=\frac{5}{2}$ ponto de máximo global.

E. 4.2.2.

Dada a função $f(x)=x^{2}-2x+3$ restrita ao intervalo $[-1,2]$ , determine:

a)

seu(s) ponto(s) crítico(s).
b)

seu(s) ponto(s) extremo(s) e o(s) classifique.
c)

seu(s) valor(es) extremo(s) e o(s) classifique.

a) $x=1$ ; b) $x=-1$ ponto de máximo global; $x=1$ ponto de mínimo local e global; c) $f(-1)=6$ valor máximo global; $f(1)=2$ valor mínimo local e global;

E. 4.2.3.

Dada a função $f(x)=-x^{2}+2x+1$ restrita ao intervalo $[0,3]$ , determine:

a)

seu(s) ponto(s) crítico(s).
b)

seu(s) ponto(s) extremo(s) e o(s) classifique.
c)

seu(s) valor(es) extremo(s) e o(s) classifique.

a) $x=1$ ; b) $x=1$ ponto de máximo local e global; $x=3$ ponto de mínimo global; c) $f(1)=2$ valor máximo local e global; $f(3)=-2$ valor mínimo global;

E. 4.2.4.

Dada a função $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x$ restrita ao intervalo $[0,\infty)$ , determine:

a)

seu(s) ponto(s) crítico(s).
b)

seu(s) ponto(s) extremo(s) e o(s) classifique.
c)

seu(s) valor(es) extremo(s) e o(s) classifique.

a) $x=1$ ; b) $x=0$ ponto de mínimo global;c) $f(0)=0$ valor mínimo global;

E. 4.2.5.

Dada a função $f(x)=x^{1/3}$ restrita ao intervalo $[-1,1]$ , determine:

a)

seu(s) ponto(s) crítico(s).
b)

seu(s) ponto(s) extremo(s) e o(s) classifique.
c)

seu(s) valor(es) extremo(s) e o(s) classifique.

a) $x=0$ ; b) $x=-1$ ponto de mínimo global; $x=1$ ponto de máximo global; c) $f(-1)=-1$ valor mínimo global; $f(1)=1$ valor máximo global;

E. 4.2.6.

Mostre que se $f$ tem um mínimo local em $x=a$ e é diferenciável neste ponto, então $f^{\prime}(a)=0$ .

Dica: consulte a demonstração do Teorema 4.2.2.

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4.2 Extremos de funções

Exemplo 4.2.1.(Extremos de funções protótipos)

Teorema 4.2.1.(Teorema do valor extremo)

Demonstração.

Exemplo 4.2.2.

Exemplo 4.2.3.

Teorema 4.2.2.(Derivada em pontos extremos locais)

Demonstração.

Observação 4.2.1.(Pontos críticos ou extremos)

Exemplo 4.2.4.

4.2.1 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Resolução.

ER 4.2.2.

Resolução.

4.2.2 Exercícios

E. 4.2.1.

E. 4.2.2.

E. 4.2.3.

E. 4.2.4.

E. 4.2.5.

E. 4.2.6.

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