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Cálculo I

5 Integração 5 Integração 5.2 Propriedades de integração

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5.1 Noção de integral

5.1.1 Soma de Riemann

Seja $f$ uma função contínua definida em um intervalo fechado $[a,b]$ . Seja, também, $P$ a seguinte partição de $[a,b]$

P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\},

(5.1)

onde $n+1$ é o número de pontos na partição. Definimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Delta x_{i}=% x_{i}-x_{i-1}

(5.2)

o tamanho de cada subintervalo $I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]$ da partição, com $i=1,2,\cdots,n$ . A norma da partição é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|P\|:=\max_{% i=1,\dotsc,n}\Delta x_{i},

(5.3)

i.e. o tamanho do maior subintervalo da partição. Com isso, chama-se de uma soma de Riemann³⁶³⁶endnote: ³⁶Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 1866, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Bernhard Riemann. toda a expressão da forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}S_{n}:=\sum_{% i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i},

(5.4)

onde $x_{i}^{*}\in[x_{i},x_{i-1}]$ (arbitrariamente escolhido). Consulte a Figura 5.1.

Refer to caption — Figura 5.1: Ilustração da soma de Riemann.

No caso de uma função não negativa, uma soma de Riemann é uma aproximação da área sob seu gráfico e o eixo das abscissas³⁷³⁷endnote: ³⁷Consulte o Exercício 5.1.4 para uma interpretação geométrica no caso geral de funções contínuas..

5.1.2 Integral

A integral (definida) de $a$ até $b$ de uma dada função $f$ em relação a $x$ é denotada e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx:=\lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}.

(5.5)

De forma genérica, a integral definida de $a$ até $b$ é o limite das somas de Riemann quando a norma das partições $P$ do intervalo $[a,b]$ tendem a zero. Quando o limite existe, dizemos que $f$ é integrável no intervalo $[a,b]$ .

Na notação de integral definida acima, chamamos $a$ de limite inferior e $b$ de limite superior de integração, $f$ é chamada de integrando e $x$ de variável de integração.

Observação 5.1.1.

Funções contínuas são funções integráveis.

Observação 5.1.2.

(Área sob o gráfico) No caso de uma função não negativa,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx

(5.6)

é a área sob o gráfico de $f$ ³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte o Exercício 5.1.5 para uma interpretação geométrica no caso geral de funções contínuas.. Consulte a Figura 5.2.

Exemplo 5.1.1.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}1\,dx.

(5.7)

Aqui, o integrando é a função constante $f(x)\equiv 1$ e o intervalo de integração é $[a,b]$ . Da Observação 5.1.2, temos que esta integral é a área sob o gráfico de $f$ no intervalo $[0,1]$ . Esta área é um retângulo de altura $1$ e comprimento $1$ . Logo,

\int_{0}^{1}1\,dx=1\cdot 1=1.

(5.8)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1, (x, 0, 1))

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.9)

Solução 0.

Esta integral corresponde à área sob o gráfico da função $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ restrita ao intervalo $[-1,1]$ . Observando que

	$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}$	$\displaystyle\Rightarrow y^{2}=1-x^{2}$		(5.10)
		$\displaystyle\Rightarrow y^{2}+x^{2}=1,$		(5.11)

vemos que esta é a área do semicírculo de raio $1$ . Logo,

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi\cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}.

(5.12)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(sym.sqrt(1-x**2), (x, -1, 1))

pi/2

ER 5.1.2.

Determine a função $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt,

(5.13)

para todo $x\geq 0$ . Então, mostre que $F^{\prime}(x)=x$ .

Solução 0.

A integral definida

\int_{0}^{x}t\,dt

(5.14)

é a área sob o gráfico de $f(t)=t$ restrita no intervalo $[0,x]$ . Isto é, a área do triângulo retângulo de base $x$ e altura $x$ . Logo,

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}.

(5.15)

Ou seja, temos $F(x)=x^{2}/2$ e, portanto,

F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x.

(5.16)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3F = sym.integrate(t, (t, 0, x))

4print('F(x) =', F)

F(x) = x**2/2

⬇

1sym.diff(F, x)

5.1.4 Exercícios

E. 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{2}2\,dx.

(5.17)

Resposta 0.

$6$

E. 5.1.2.

Calcule

\int_{-3}^{-1}1-x\,dx.

(5.18)

Resposta 0.

$6$

E. 5.1.3.

Determine $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t+1\,dt.

(5.19)

para $x\geq 0$ . Então, calcule $F^{\prime}(x)$ .

Resposta 0.

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x$ ; $F^{\prime}(x)=x+1$ .

E. 5.1.4.

Faça uma interpretação geométrica da uma soma de Riemann aplicada a uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Resposta 0.

Dica: a soma de Riemann é uma aproximação da área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.5.

Faça uma interpretação geométrica de

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.20)

quando $f$ é uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Resposta 0.

Dica: $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ é a área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.6.

Calcule

\int_{-1}^{2}-1\,dx.

(5.21)

Resposta 0.

$-3$

E. 5.1.7.

Calcule

\int_{-1}^{1}x\,dx.

(5.22)

Resposta 0.

$0$

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Cálculo I

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5.1.1 Soma de Riemann

Seja $f$ uma função contínua definida em um intervalo fechado $[a,b]$ . Seja, também, $P$ a seguinte partição de $[a,b]$

P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\},

(5.1)

onde $n+1$ é o número de pontos na partição. Definimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Delta x_{i}=% x_{i}-x_{i-1}

(5.2)

o tamanho de cada subintervalo $I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]$ da partição, com $i=1,2,\cdots,n$ . A norma da partição é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|P\|:=\max_{% i=1,\dotsc,n}\Delta x_{i},

(5.3)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}S_{n}:=\sum_{% i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i},

(5.4)

onde $x_{i}^{*}\in[x_{i},x_{i-1}]$ (arbitrariamente escolhido). Consulte a Figura 5.1.

5.1.2 Integral

A integral (definida) de $a$ até $b$ de uma dada função $f$ em relação a $x$ é denotada e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx:=\lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}.

(5.5)

Na notação de integral definida acima, chamamos $a$ de limite inferior e $b$ de limite superior de integração, $f$ é chamada de integrando e $x$ de variável de integração.

Observação 5.1.1.

Funções contínuas são funções integráveis.

Observação 5.1.2.

(Área sob o gráfico) No caso de uma função não negativa,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx

(5.6)

é a área sob o gráfico de $f$ ³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte o Exercício 5.1.5 para uma interpretação geométrica no caso geral de funções contínuas.. Consulte a Figura 5.2.

Exemplo 5.1.1.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}1\,dx.

(5.7)

\int_{0}^{1}1\,dx=1\cdot 1=1.

(5.8)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1, (x, 0, 1))

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.9)

Solução 0.

Esta integral corresponde à área sob o gráfico da função $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ restrita ao intervalo $[-1,1]$ . Observando que

	$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}$	$\displaystyle\Rightarrow y^{2}=1-x^{2}$		(5.10)
		$\displaystyle\Rightarrow y^{2}+x^{2}=1,$		(5.11)

vemos que esta é a área do semicírculo de raio $1$ . Logo,

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi\cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}.

(5.12)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(sym.sqrt(1-x**2), (x, -1, 1))

pi/2

ER 5.1.2.

Determine a função $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt,

(5.13)

para todo $x\geq 0$ . Então, mostre que $F^{\prime}(x)=x$ .

Solução 0.

A integral definida

\int_{0}^{x}t\,dt

(5.14)

é a área sob o gráfico de $f(t)=t$ restrita no intervalo $[0,x]$ . Isto é, a área do triângulo retângulo de base $x$ e altura $x$ . Logo,

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}.

(5.15)

Ou seja, temos $F(x)=x^{2}/2$ e, portanto,

F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x.

(5.16)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3F = sym.integrate(t, (t, 0, x))

4print('F(x) =', F)

F(x) = x**2/2

⬇

1sym.diff(F, x)

5.1.4 Exercícios

E. 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{2}2\,dx.

(5.17)

Resposta 0.

$6$

E. 5.1.2.

Calcule

\int_{-3}^{-1}1-x\,dx.

(5.18)

Resposta 0.

$6$

E. 5.1.3.

Determine $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t+1\,dt.

(5.19)

para $x\geq 0$ . Então, calcule $F^{\prime}(x)$ .

Resposta 0.

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x$ ; $F^{\prime}(x)=x+1$ .

E. 5.1.4.

Faça uma interpretação geométrica da uma soma de Riemann aplicada a uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Resposta 0.

Dica: a soma de Riemann é uma aproximação da área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.5.

Faça uma interpretação geométrica de

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.20)

quando $f$ é uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Resposta 0.

Dica: $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ é a área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.6.

Calcule

\int_{-1}^{2}-1\,dx.

(5.21)

Resposta 0.

$-3$

E. 5.1.7.

Calcule

\int_{-1}^{1}x\,dx.

(5.22)

Resposta 0.

$0$

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Pedro H A Konzen

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