Cálculo I

5 Integração 5 Integração 5.2 Propriedades de integração

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5.1 Noção de integral

5.1.1 Soma de Riemann

Seja $f$ uma função contínua definida em um intervalo fechado $[a,b]$ . Seja, também, $P$ a seguinte partição de $[a,b]$

P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\},

(5.1)

onde $n+1$ é o número de pontos na partição. Definimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Delta x_{i}=% x_{i}-x_{i-1}

(5.2)

o tamanho de cada subintervalo $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}I_{i}=[x_{i-1% },x_{i}]$ da partição, com $i=1,2,\cdots,n$ . A norma da partição é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|P\|:=\max_{% i=1,\dotsc,n}\Delta x_{i},

(5.3)

i.e. o tamanho do maior subintervalo da partição. Com isso, chamamos de uma soma de Riemann²⁰²⁰endnote: ²⁰Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 1866, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Bernhard Riemann. toda a expressão da forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}S_{n}:=\sum_{% i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i},

(5.4)

onde $x_{i}^{*}\in[x_{i},x_{i-1}]$ (arbitrariamente escolhido). Consultemos a Figura 5.1.

Refer to caption — Figura 5.1: Soma de Riemann.

No caso de uma função não negativa, uma soma de Riemann é uma aproximação da área sob seu gráfico e o eixo das abscissas.

5.1.2 Integral

A integral (definida) de $a$ até $b$ de uma dada função $f$ em relação a $x$ é denotada e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx:=\lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}.

(5.5)

De forma genérica, a integral definida de $a$ até $b$ é o limite das somas de Riemann quando a norma das partições $P$ do intervalo $[a,b]$ tendem a zero. Quando o limite existe, dizemos que $f$ é integrável no intervalo $[a,b]$ .

Na notação de integral definida acima, chamamos $a$ de limite inferior e $b$ de limite superior de integração, $f$ é chamada de integrando e $x$ de variável de integração.

No caso de uma função não negativa,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx

(5.6)

é a área sob o gráfico de $f$ (consultemos a Figura 5.2). Para funções contínuas arbitrárias, a integral definida é a área líquida sob o gráfico de $f$ , i.e. a área acima do eixo das abscissas menos a área abaixo do eixo das abscissas²¹²¹endnote: ²¹Consulte o Exemplo 5.1.5 para uma interpretação geométrica da integral definida de funções contínuas em geral..

Funções contínuas são funções integráveis. Mais especificamente, vale o seguinte teorema.

Teorema 5.1.1.(Existência da integral de funções contínuas)

Se $f$ é função contínua em $[a,b]$ , então $f$ é integrável em $[a,b]$ .

Demonstração.

A demonstração deste teorema está além do escopo destas notas. Consulte, por exemplo, [2]. ∎

Exemplo 5.1.1.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}1\,dx.

(5.7)

Aqui, o integrando é a função constante $f(x)\equiv 1$ e o intervalo de integração é $[a,b]=[0,1]$ . Logo, trata-se da área do retângulo de altura $1$ e comprimento $1$ (consultemos a Figura 5.3). Logo,

\int_{0}^{1}1\,dx=1\cdot 1=1.

(5.8)

Código 41: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, (x, 0, 1))

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.9)

Resolução.

Esta integral corresponde à área sob o gráfico da função $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ restrita ao intervalo $[-1,1]$ . Observando que

	$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}$		(5.10)
	$\displaystyle y^{2}=1-x^{2}$		(5.11)
	$\displaystyle y^{2}+x^{2}=1,$		(5.12)

vemos que esta é a área do semicírculo de raio $1$ (consultemos a Figura 5.4). Logo,

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi\cdot 1^{2}}{2}$		(5.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{2}.$		(5.14)

Código 42: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3integrate(sym.sqrt(1-x**2), (x, -1, 1))

pi/2

ER 5.1.2.

Determine a função $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt,

(5.15)

para todo $x\geq 0$ . Então, mostre que $F^{\prime}(x)=x$ .

Resolução.

A integral definida

\int_{0}^{x}t\,dt

(5.16)

é a área sob o gráfico de $f(t)=t$ restrita no intervalo $[0,x]$ . Isto é, a área do triângulo retângulo de base $x$ e altura $x$ (consultemos a Figura 5.5). Logo,

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}.

(5.17)

Ou seja, temos $F(x)=x^{2}/2$ e, portanto,

F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x.

(5.18)

Código 43: Python

⬇

1from sympy.abc import x,t

2from simpy import integrate

3F = integrate(t, (t, 0, x))

4print('F(x) =', F)

F(x) = x**2/2

⬇

1sym.diff(F, x)

5.1.4 Exercícios

E. 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{2}2\,dx.

(5.19)

$6$

E. 5.1.2.

Calcule

\int_{-3}^{-1}1-x\,dx.

(5.20)

$6$

E. 5.1.3.

Determine $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t+1\,dt.

(5.21)

para $x\geq 0$ . Então, calcule $F^{\prime}(x)$ .

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x$ ; $F^{\prime}(x)=x+1$ .

E. 5.1.4.

Faça uma interpretação geométrica da uma soma de Riemann aplicada a uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Dica: a soma de Riemann é uma aproximação da área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.5.

Faça uma interpretação geométrica de

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.22)

quando $f$ é uma função contínua e não positiva. Estenda sua interpretação para funções contínuas arbitrárias.

Dica: $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ é a área líquida sob o gráfico da função.

E. 5.1.6.

Calcule

\int_{-1}^{2}-1\,dx.

(5.23)

$-3$

E. 5.1.7.

Calcule

\int_{-1}^{1}x\,dx.

(5.24)

$0$

E. 5.1.8.

Calcule

\int_{-1}^{1}-\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.25)

$-\frac{\pi}{2}$

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5.1 Noção de integral

5.1.1 Soma de Riemann

5.1.2 Integral

Teorema 5.1.1.(Existência da integral de funções contínuas)

Demonstração.

Exemplo 5.1.1.

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Resolução.

ER 5.1.2.

Resolução.

5.1.4 Exercícios

E. 5.1.1.

E. 5.1.2.

E. 5.1.3.

E. 5.1.4.

E. 5.1.5.

E. 5.1.6.

E. 5.1.7.

E. 5.1.8.

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