Vetores

3 Produtos 3.3 Projeção ortogonal 3.5 Propriedades do produto vetorial

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3.4 Produto vetorial

De agora em diante, vamos trabalhar com uma base ortonormal $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ dita com orientação positiva, i.e., os vetores $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$ , $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$ e $\vec{k}=\overrightarrow{OK}$ estão dispostos em sentido anti-horário. Consultemos a Figura 3.4.

Refer to caption — Figura 3.4: Base ortonormal com orientação positiva.

Dados vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , definimos o produto vetorial de $\vec{u}$ por $\vec{v}$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}\times% \vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\operatorname{sen}(\alpha)\vec{n},

(3.139)

onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , e $\vec{n}$ é o vetor unitário ortogonal ao plano determinado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , com sentido tal que $(\vec{u},\vec{v},\vec{n})$ tem orientação positiva.

Em outras palavras, temos que:

•

se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d., então $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ ;
•

se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i., então
- a)
  
  $\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\operatorname{sen}\alpha$ , onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ;
- b)
  
  $\vec{u}\times\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ; e
- c)
  
  $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{u}\times\vec{v}$ formam uma base positiva.

3.4.1 Interpretação geométrica

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores l.i.. Eles determinam um paralelogramo (consulte a Figura 3.5). Seja $h$ a altura desse paralelogramo, tendo $\vec{u}$ como base. Logo, a área do paralelogramo é o produto do comprimento da base pela altura; neste caso,

	$\displaystyle\\|\vec{u}\\|h=\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}(\alpha)$		(3.140)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|.$		(3.141)

Ou seja, o produto vetorial $\vec{u}\times\vec{v}$ tem norma igual à área do paralelogramo determinado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Ainda, por definição, $\vec{u}\times\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Isso nos dá a direção de $\vec{u}\times\vec{v}$ . O sentido é, então, determinado pela definição de que $(\vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v})$ tem orientação positiva.

3.4.2 Vetores canônicos

Vamos ver alguns resultados fundamentais envolvendo o produto vetorial de vetores da base canônica.

•

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{i}\times% \vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}$

Segue imediatamente da definição que é nulo o produto vetorial de vetores l.d..
•

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{i}\times% \vec{j}=\vec{k}$ , $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{j}\times% \vec{k}=\vec{i}$ , $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{k}\times% \vec{i}=\vec{j}$

No primeiro caso, temos

$\displaystyle\vec{i}\times\vec{j}:=\|\vec{i}\|\|\vec{j}\|\operatorname{sen}(% \alpha)\vec{n}$ (3.142)

$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 1\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}% \right)\vec{k}$ (3.143)

$\displaystyle\text{}\quad=\vec{k}.$ (3.144)

Análogo para os demais casos. Consulte o E.3.4.1.
•

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{j}\times% \vec{i}=-\vec{k}$ , $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{k}\times% \vec{j}=-\vec{i}$ , $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{i}\times% \vec{k}=-\vec{j}$

No primeiro caso, temos

$\displaystyle\vec{j}\times\vec{i}:=\|\vec{j}\|\|\vec{i}\|\operatorname{sen}(% \theta)\vec{n}$ (3.145)

$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 1\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}% \right)(-\vec{k})$ (3.146)

$\displaystyle\text{}\quad=-\vec{k}.$ (3.147)

Análogo para os demais casos. Consulte o E.3.4.3.

Distributividade

A propriedade de distributividade do produto vetorial com vetores da base canônica também pode ser mostrada. Por exemplo, é verdade que

\vec{i}\times(\vec{j}+\vec{k})=\vec{i}\times\vec{j}+\vec{i}\times\vec{k}.

(3.148)

De fato, supondo que $\vec{n}$ seja o vetor normal unitário aos vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}+\vec{k}$ , temos

	$\displaystyle\vec{i}\times(\vec{j}+\vec{k}):=\\|\vec{i}\\|\\|\vec{j}+\vec{k}\\|% \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\vec{n}$		(3.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot\sqrt{2}\cdot 1\vec{n}=\sqrt{2}\vec{n}.$		(3.150)

Por outro lado, temos

\displaystyle\vec{i}\times\vec{j}+\vec{i}\times\vec{k}=\vec{k}-\vec{j}

(3.151)

Seria, então,

\vec{n}\stackrel{{\scriptstyle?}}{{=}}\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{k}-\frac{\sqrt{2}% }{2}\vec{j}

(3.152)

De fato, enquanto a positividade de $(\vec{i},\vec{j}+\vec{k},\vec{n})$ e a norma unitária $\|\vec{n}\|=1$ são diretas, a ortogonalidade pode ser verificada por meio do produto interno

	$\displaystyle\vec{i}\cdot\vec{n}=\vec{i}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{k}-% \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\right)$		(3.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i}\cdot\vec{k}-\frac{\sqrt{2}% }{2}\vec{i}\cdot\vec{j}$		(3.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=0+0=0$		(3.155)

o que mostra que $\vec{i}\perp\vec{n}$ . Bem como, temos

	$\displaystyle\left(\vec{j}+\vec{k}\right)\cdot\vec{n}=\left(\vec{j}+\vec{k}% \right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{k}-\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\right)$		(3.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vec{j}\cdot\vec{k}-\vec{j}% \cdot\vec{j}+\vec{k}\cdot\vec{k}-\vec{k}\cdot\vec{j}\right)$		(3.157)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2}}{2}(0-1+1-0)=0,$		(3.158)

donde concluímos que $(\vec{j}+\vec{k})\perp\vec{n}$ . Isso mostra que

\vec{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{k}-\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}

(3.159)

e, portanto, de (3.150)

	$\displaystyle\vec{i}\times(\vec{j}+\vec{k})=\sqrt{2}\vec{n}$		(3.160)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{k}-\frac{\sqrt{% 2}}{2}\vec{j}\right)$		(3.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{k}-\vec{j}$		(3.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{i}\times\vec{j}+\vec{i}\times\vec{k}.$		(3.163)

Proposição 3.4.1.(Distributividade para vetores canônicos)

Se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são vetores da base canônica⁵⁵5 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ou $\vec{k}$ ., então vale a distributividade do produto vetorial

\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}.

(3.164)

Demonstração.

Consulte o E.3.4.5. ∎

3.4.3 Associatividade por escalar

Uma das propriedades fundamentais do produto vetorial é a associatividade com a multiplicação por escalar

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\alpha\vec{u% })\times\vec{v}=\alpha\vec{u}\times\vec{v}.

(3.165)

Para mostrarmos isso, vamos precisar do seguinte resultado.

Mudança do sentido

No produto de vetores $\vec{u}\times\vec{v}$ , ao mudarmos o sentido de apenas um dos vetores, obtemos a seguinte relação

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(-\vec{u})% \times\vec{v}=-(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times(-\vec{v}).

(3.166)

De fato, assumindo que o ângulo $\theta$ e o vetor unitário $\vec{n}$ são tais que

\vec{u}\times\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\operatorname{sen}(\theta)\vec{n},

(3.167)

temos

	$\displaystyle(-\vec{u})\times\vec{v}=\\|-\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}% (\theta)(-\vec{n})$		(3.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|-1\|\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}(\theta)% (-\vec{n})$		(3.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}(\theta)% \vec{n}.$		(3.170)

E, de forma análoga, segue que $\vec{u}\times(-\vec{v})=-\vec{u}\times\vec{v}$ (consulte o E.3.4.11).

Associatividade com multiplicação por escalar

Agora, temos tudo para mostrar a associatividade

(\alpha\vec{u})\times\vec{v}=\alpha(\vec{u}\times\vec{v}).

(3.171)

De fato, assumindo $\alpha>0$ , o ângulo $\theta$ e o vetor normal unitário $\vec{n}$ tais que

\vec{u}\times\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\operatorname{sen}(\theta)\vec{n},

(3.172)

temos que⁶⁶6Observamos que $\vec{u}$ também é vetor normal unitário aos vetores $\alpha\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

	$\displaystyle(\alpha\vec{u})\times\vec{v}=\\|\alpha\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|% \operatorname{sen}(\theta)\vec{n}$		(3.173)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|\alpha\|\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}(% \theta)\vec{n}$		(3.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha\\|\vec{u}\\|\\|\vec{v}\\|\operatorname{sen}(% \theta)\vec{n}$		(3.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha(\vec{u}\times\vec{v}).$		(3.176)

No caso em que $\alpha<0$ , o resultado da propriedade da mudança do sentido (3.166), i.e.

	$\displaystyle(\alpha\vec{u})\times\vec{v}=-(-\alpha\vec{u})\times\vec{v}$		(3.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=-(-\alpha)(\vec{u}\times\vec{v})$		(3.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=\alpha(\vec{u}\times\vec{v}).$		(3.179)

Por raciocínio análogo, segue também que

\vec{u}\times(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\times\vec{v})

(3.180)

para qualquer escalar $\alpha$ (consulte o E.3.4.12).

3.4.4 Produto vetorial por coordenadas

Usando as propriedades que estudamos até aqui, vamos mostrar que dados $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ em uma base ortonormal positiva, então

\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}

(3.181)

ou, mnemonicamente,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}\times% \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}.

(3.182)

De fato, usando as propriedades de distributividade e associatividade estudadas, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=(u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k})$
	$\displaystyle\text{}\qquad\times(v_{1}\vec{i}+v_{2}\vec{j}+v_{3}\vec{k})$		(3.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\vec{i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\vec{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\vec{k}$		(3.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}.$		(3.185)

Temos, portanto, mostrado (3.182).

Exemplo 3.4.1.

Dados os vetores $\vec{u}=(1,-2,1)$ e $\vec{v}=(0,2,-1)$ , temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.186)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-2&1\\ 0&2&-1\end{vmatrix}$		(3.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$		(3.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0,1,2).$		(3.189)

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Calcule $\vec{x}$ tal que $(0,2,-1)\times\vec{x}=(-3,-1,-2)$ .

Resolução.

Denotando $\vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ , temos

	$\displaystyle(0,2,-1)\times\vec{x}=(-3,-1,-2)$		(3.190)
	$\displaystyle\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&2&-1\\ x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}=(-3,-1,-2)$		(3.191)
	$\displaystyle(x_{2}+2x_{3})\vec{i}-x_{1}\vec{j}-2x_{1}\vec{k}$
	$\displaystyle\text{}\quad=-3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}$		(3.192)

Segue que

	$\displaystyle x_{2}+2x_{3}=-3$		(3.193)
	$\displaystyle-x_{1}=-1$		(3.194)
	$\displaystyle-2x_{1}=-2$		(3.195)

Logo, $x_{1}=1$ , $x_{2}=-3-2x_{3}$ e $x_{3}$ é arbitrário. Concluímos que $\vec{x}=(1,-3-2x_{3},x_{3})$ com $x_{3}\in\mathbb{R}$ .

ER 3.4.2.

Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\vec{u}=(-1,2,3)$ e $\vec{v}=(1,-2,1)$ .

Resolução.

Tomando representações $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OC}$ , temos que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ determinam um paralelogramo $O A B C$ , onde $B$ é tal que $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ ⁷⁷7Consulte a regra do paralelogramo na Subseção 1.3.3.. Da definição do produto vetorial, temos que

\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\operatorname{sen}\theta,

(3.196)

o que é igual a área do paralelogramo $O A B C$ , onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Logo, a área do paralelogramo é

	$\displaystyle\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|=\left\|\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&% \vec{k}\\ -1&2&3\\ 1&-2&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.197)
	$\displaystyle\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|=\\|(8,4,0)\\|$		(3.198)
	$\displaystyle\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|=4\sqrt{5}.$		(3.199)

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

A partir da definição do produto vetorial (3.139), calcule

a)

$\vec{i}\times\vec{j}$
b)

$\vec{j}\times\vec{k}$
c)

$\vec{k}\times\vec{i}$

a) $\vec{k}$ ; b) $\vec{i}$ ; c) $\vec{j}$

E. 3.4.2.

Repita o E.3.4.1, calculando cada item a partir do cálculo do produto vetorial por coordenadas (3.182).

a) $\vec{k}$ ; b) $\vec{i}$ ; c) $\vec{j}$

E. 3.4.3.

A partir da definição do produto vetorial (3.139), calcule

a)

$\vec{j}\times\vec{i}$
b)

$\vec{k}\times\vec{j}$
c)

$\vec{i}\times\vec{k}$

a) $-\vec{k}$ ; b) $-\vec{i}$ ; c) $-\vec{j}$

E. 3.4.4.

Repita o E.3.4.3, calculando cada item a partir do cálculo do produto vetorial por coordenadas (3.182).

a) $-\vec{k}$ ; b) $-\vec{i}$ ; c) $-\vec{j}$

E. 3.4.5.

A partir da definição do produto vetorial (3.139), mostre que

a)

$\vec{i}\times(\vec{i}+\vec{j})=\vec{k}$
b)

$\vec{j}\times(\vec{j}+\vec{k})=\vec{i}$
c)

$\vec{j}\times(\vec{i}+\vec{k})=-\vec{k}+\vec{i}$
d)

$\vec{k}\times(\vec{i}+\vec{j})=\vec{j}-\vec{i}$
e)

$\vec{k}\times(\vec{i}+\vec{k})=\vec{j}$
f)

$\vec{k}\times(\vec{j}+\vec{k})=-\vec{i}$

Dica: consulte a demonstração da (3.148).

E. 3.4.6.

Sejam $\vec{u}=(2,-3,1)$ e $\vec{v}=(1,-2,-1)$ . Calcule:

a)

$\vec{u}\times\vec{v}$ .
b)

$\vec{v}\times\vec{u}$ .
c)

$\vec{v}\times(2\vec{u})$ .

a) $(5,3,-1)$ ; b) $(-5,-3,1)$ ; c) $(-10,-6,2)$

E. 3.4.7.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ tais que $\vec{u}\times\vec{v}=(2,-1,0)$ . Forneça $\vec{v}\times\vec{u}$ . Justifique sua resposta.

$(-2,1,0)$

E. 3.4.8.

Seja $\vec{u}$ um vetor qualquer. Calcule $\vec{u}\times\vec{u}$ .

$0$

E. 3.4.9.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ tais que $(2\vec{u})\times\vec{v}=(2,-1,0)$ . Forneça $\vec{v}\times\vec{u}$ . Justifique sua resposta.

$(-1,1/2,0)$

E. 3.4.10.

Calcule $\vec{x}$ tal que $\vec{x}\times(2,-2,3)=(11,8,-2)$ .

$\left(\frac{2}{3}x_{3}-\frac{8}{3},-\frac{2}{3}x_{3}+\frac{11}{3},x_{3}\right)% ,x_{3}\in\mathbb{R}$

E. 3.4.11.

A partir da definição de produto vetorial (3.139), mostre que

\vec{u}\times(-\vec{v})=-\vec{u}\times\vec{v}.

(3.200)

Dica: estude a Subseção 3.4.3.

E. 3.4.12.

Mostre que vale a seguinte associatividade com multiplicação por escalar

\vec{u}\times(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\times\vec{v}),

(3.201)

para quaisquer vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e escalar $\alpha$ .

Dica: estude a Subseção 3.4.3.

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Política de uso de dados

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Vetores

3.4 Produto vetorial

3.4.1 Interpretação geométrica

3.4.2 Vetores canônicos

Distributividade

Proposição 3.4.1.(Distributividade para vetores canônicos)

Demonstração.

3.4.3 Associatividade por escalar

Mudança do sentido

Associatividade com multiplicação por escalar

3.4.4 Produto vetorial por coordenadas

Exemplo 3.4.1.

3.4.5 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Resolução.

ER 3.4.2.

Resolução.

3.4.6 Exercícios

E. 3.4.1.

E. 3.4.2.

E. 3.4.3.

E. 3.4.4.

E. 3.4.5.

E. 3.4.6.

E. 3.4.7.

E. 3.4.8.

E. 3.4.9.

E. 3.4.10.

E. 3.4.11.

E. 3.4.12.

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	$\displaystyle\vec{i}\times\vec{j}:=\\|\vec{i}\\|\\|\vec{j}\\|\operatorname{sen}(% \alpha)\vec{n}$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 1\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}% \right)\vec{k}$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{k}.$		(3.144)

	$\displaystyle\vec{j}\times\vec{i}:=\\|\vec{j}\\|\\|\vec{i}\\|\operatorname{sen}(% \theta)\vec{n}$		(3.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 1\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}% \right)(-\vec{k})$		(3.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\vec{k}.$		(3.147)