Vetores

1 Fundamentos 1.2 Definição de vetor 2 Bases e coordenadas

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1.3 Operações elementares com vetores

Vamos introduzir operações vetoriais elementares de adição e multiplicação por escalar.

1.3.1 Adição de vetores

Sejam dados dois vetores ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}}$ e ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}\vec{v}}$ . Sejam, ainda, suas representações ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}=\overrightarrow{AB}}$ e ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}\vec{v}=\overrightarrow{BC}}$ (consultemos a Figura 1.18). Então, definimos o vetor soma ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{u}+\vec{v}}$ como o vetor que admite a representação ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}}$ .

Refer to caption — Figura 1.18: Vetor soma resultante da adição entre dois vetores.

Propriedades

A operação de adição possui as seguintes propriedades notáveis.

•

Elemento neutro da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+\vec{% 0}=\vec{u}.$ (1.12)

De fato, tomando as representações $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{0}=\overrightarrow{BB}$ , temos

$\displaystyle\vec{u}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}$ (1.13)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AB}=\vec{u}.$ (1.14)
•

Associatividade da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u}+\vec% {v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).$ (1.15)

De fato, tomando as representações $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$ e $\vec{w}=\overrightarrow{CD}$ , temos

$\displaystyle\left(\vec{u}+\vec{v}\right)+\vec{w}=\left(\overrightarrow{AB}+% \overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}$ (1.16)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$ (1.17)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AD}.$ (1.18)

Do mesmo modo, temos

$\displaystyle\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(% \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$ (1.19)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ (1.20)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AD}.$ (1.21)
•

Comutatividade da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+\vec{% v}=\vec{v}+\vec{u}.$ (1.22)

Para vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ de mesma direção, a comutatividade da adição é imediata. Noutro caso, podemos usar a regra do paralelogramo, que será introduzida a seguir. Consulte, também, o ER.1.3.2.

1.3.2 Vetor oposto

Definimos o vetor oposto a ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}}$ como o vetor ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}-\vec{u}}$ que tem o mesmo comprimento, a mesma direção e sentido oposto ao de ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\vec{u}}$ . Consultemos a Figura 1.19.

Observação 1.3.1.

(Oposto do Vetor Nulo.) Por completude, definimos $-\vec{0}=\vec{0}$ .

Propriedade

•

Elemento oposto da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+(-% \vec{u})=\vec{0}.$ (1.23)

De fato, tomando a representação $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , temos, por definição, $-\vec{u}=\overrightarrow{BA}$ . Segue, então,

$\displaystyle\vec{u}+(-\vec{u})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$ (1.24)

$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$ (1.25)

1.3.3 Subtração de vetores

A subtração do vetor $\vec{u}$ pelo vetor $\vec{v}$ é denotada por $\vec{u}-\vec{v}$ e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}-\vec{% v}:=\vec{u}+(-\vec{v}).

(1.26)

Consultemos a Figura 1.20.

Regra do paralelogramo

Sejam $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{OC}$ vetores não nulos e de direções diferentes. Seja, então, o paralelogramo $O A B C$ determinado por eles⁵⁵5No ER.1.2.2 mostramos que dois vetores não nulos e de direções diferentes determinam um paralelogramo.. Por observação direta, temos que $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ e $\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{CA}$ . Consultemos a Figura 1.21.

1.3.4 Multiplicação de vetor por escalar

A multiplicação de um número real $\alpha>0$ (escalar) por um vetor $\vec{u}$ é denotada por $\alpha\vec{u}$ e definida como o vetor de mesma direção e mesmo sentido de $\vec{u}$ , com norma $\alpha\|\vec{u}\|$ . Quando $\alpha=0$ , definimos $\alpha\vec{u}=\vec{0}$ . Consultemos a Figura 1.22.

Observação 1.3.2.( $\alpha<0$ )

Quando $\alpha<0$ , definimos

\alpha\vec{u}=-(-\alpha\vec{u}).

(1.27)

Proposição 1.3.1.

Para quaisquer número real $\alpha$ e vetor $\vec{u}$ , temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|\alpha\vec{% u}\|=|\alpha|\|\vec{u}\|.

(1.28)

Demonstração.

	$\displaystyle\\|\alpha\vec{u}\\|=\\|-\alpha\vec{u}\\|$		(1.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\alpha\\|\vec{u}\\|=\|\alpha\|\\|\vec{u}\\|.$		(1.30)

∎

Propriedades

•

Elemento neutro da multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}1\vec{u}=\vec% {u}.$ (1.31)

De fato, como $1>0$ , temos que $1\vec{u}$ e $\vec{u}$ têm a mesma direção e o mesmo sentido. Além disso, têm a mesma norma, pois

$\displaystyle\left\|1\vec{u}\right\|=|1|\left\|\vec{u}\right\|=\left\|\vec{u}% \right\|.$ (1.32)
•

Compatibilidade da multiplicação

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\alpha(\beta% \vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}$ (1.33)

De fato, dados $\alpha,\beta$ números reais e $\vec{u}$ vetor, é direto que $\alpha(\beta\vec{u})$ e $(\alpha\beta)\vec{u}$ têm a mesma direção e o mesmo sentido. Além disso, têm a mesma norma, pois

$\displaystyle\left\|\alpha(\beta\vec{u})\right\|=\left|\alpha\right|\left\|% \beta\vec{u}\right\|$ (1.34)

$\displaystyle\text{}\quad=\left|\alpha\right|\left|\beta\right|\left\|\vec{u}\right\|$ (1.35)

$\displaystyle\text{}\quad=\left|\alpha\beta\right|\left\|\vec{u}\right\|$ (1.36)

$\displaystyle\text{}\quad=\left\|(\alpha\beta)\vec{u}\right\|.$ (1.37)
•

Distributividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% (\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$ (1.38)

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \alpha\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$ (1.39)

A primeira segue diretamente da noção de comprimento de segmentos orientados. A segunda, da semelhança de triângulos. Consultemos a Figura 1.23.

Figura 1.23: Distributividade da multiplicação vetor por escalar.

1.3.5 Resumo das propriedades

Para quaisquer vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ e quaisquer escalares $\alpha$ e $\beta$ , valem as seguintes propriedades:

•

Associatividade da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+(\vec% {v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$ (1.40)
•

Comutatividade da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+\vec{% v}=\vec{v}+\vec{u}$ (1.41)
•

Elemento neutro da adição

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}+\vec{% 0}=\vec{u}$ (1.42)
•

Compatibilidade da multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\alpha(\beta% \vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}$ (1.43)
•

Elemento neutro da multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}1\vec{u}=\vec% {u}$ (1.44)
•

Distributividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% (\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$ (1.45)

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$ (1.46)

1.3.6 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Com base na Figura 1.24, forneça o vetor $\vec{w}$ como resultado de operações básicas envolvendo os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Resolução.

Vamos construir dois vetores auxiliares $\overrightarrow{HB}$ e $\overrightarrow{HI}$ a partir de operações envolvendo os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Notamos que $\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{HB}$ .

Começamos buscando formar o vetor $\overrightarrow{HI}$ . Para tanto, observamos que $\vec{u}=\overrightarrow{NG}$ e, portanto, $\vec{v}+\vec{u}=\overrightarrow{JG}$ . Com isso, obtemos que

	$\displaystyle\overrightarrow{HI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{JG}$		(1.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{u}).$		(1.48)

Agora, vamos formar o vetor $\overrightarrow{HB}$ . Isso pode ser feito da seguinte forma

	$\displaystyle\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{WQ}$		(1.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}+\overrightarrow{PQ}$		(1.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}+\overrightarrow{HI}$		(1.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}-\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{u})$		(1.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}.$		(1.53)

Por tudo isso, concluímos que

	$\displaystyle\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{HB}$		(1.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{u})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}$		(1.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}.$		(1.56)

ER 1.3.2.

Mostre que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ .

Resolução.

Seja $A B C D$ o paralelogramo com $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . Logo, pela regra do paralelogramo temos

	$\displaystyle\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$		(1.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AC}$		(1.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$		(1.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{v}+\vec{u}.$		(1.60)

1.3.7 Exercícios

E. 1.3.1.

Complete as lacunas.

a)

Se $\vec{u}=\overrightarrow{FE}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{EG}$ , então $\vec{u}+\vec{v}=$ $\overrightarrow{FG}$ .
b)

$2\vec{0}+\vec{u}=$ $\overrightarrow{\vec{u}}$ .
c)

Pela associatividade da adição de vetores, temos $(\vec{w}+\vec{v})+\vec{u}$ $=\vec{w}+(\vec{v}+\vec{u})$ .
d)

Pela comutatividade da adição, temos $\vec{w}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{w}$ .

a) $\overrightarrow{FG}$ . b) $\vec{u}$ . c) $(\vec{w}+\vec{v})+\vec{u}$ . d) comutatividade da adição.

E. 1.3.2.

Complete as lacunas.

a)

O vetor oposto de $\vec{u}=\overrightarrow{HA}$ é $-\vec{u}=$ $\overrightarrow{AH}$ .
b)

$-\vec{w}$ $+\vec{w}=\vec{0}$ .
c)

Pela definição de vetor oposto, $\left\|-\vec{v}\right\|=$ $\left\|\vec{v}\right\|$ .
d)

Se $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ , então $\vec{u}-\vec{v}=$ $\overrightarrow{CB}$ .

a) $\overrightarrow{AH}$ . b) $-\vec{w}$ . c) $\left\|\vec{v}\right\|$ . d) $\overrightarrow{CB}$ .

E. 1.3.3.

Complete as lacunas.

a)

O vetor $3\vec{w}$ tem o mesmo sentido oposto do vetor $\vec{w}$ .
b)

O vetor $-\pi\vec{v}$ tem o mesmo sentido oposto do vetor $\vec{v}$ .
c)

$\left\|-2\vec{w}\right\|=$ $2\left\|\vec{w}\right\|$ .
d)

Pela compatibilidade da multiplicação por escalar, temos $\beta(\alpha\vec{v})=(\beta\alpha)\vec{v}$ para quaisquer escalares $\alpha,\beta$ e vetor $\vec{v}$ .
e)

Pela distributividade, temos $\beta(\vec{v}+\vec{u})$ $=\beta\vec{v}+\beta\vec{u}$ para quaisquer escalar $\beta$ e vetores $\vec{u},\vec{v}$ .
f)

Outra forma de distributividade, fornece $(\beta+\alpha)\vec{w}=\beta\vec{w}+\alpha\vec{w}$ para quaisquer escalares $\alpha,\beta$ e vetor $\vec{w}$ .

a) mesmo; -x-. b) -x-; oposto. c) $2\left\|\vec{w}\right\|$ . d) compatibilidade da multiplicação. e) $\beta(\vec{v}+\vec{u})$ . f) distributividade.

E. 1.3.4.

Com base na figura abaixo, forneça uma representação de cada um dos seguintes vetores:

a)

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ .
b)

$3\vec{u}$ .
c)

$-\vec{v}$ .
d)

$\vec{u}-\vec{v}$ .
e)

$\vec{v}-\vec{u}$ .
f)

$\vec{v}+2\vec{u}$ .

a) $\overrightarrow{JG}$ . b) $\overrightarrow{WB}$ . c) $\overrightarrow{JF}$ . d) $\overrightarrow{NC}$ . e) $\overrightarrow{CN}$ . f) $\overrightarrow{KA}$ .

E. 1.3.5.

Com base na figura abaixo, forneça uma representação do vetor $\vec{w}+\vec{v}+\vec{u}$ .

$\overrightarrow{MJ}$ .

E. 1.3.6.

Com base na figura abaixo, escreva os seguintes vetores como resultado de operações envolvendo $\vec{u}$ ou $\vec{v}$ .

a)

$\overrightarrow{QK}$
b)

$\overrightarrow{KI}$
c)

$\overrightarrow{TO}$
d)

$\overrightarrow{PE}$
e)

$\overrightarrow{FT}$

a) $\frac{1}{2}\vec{v}$ ; b) $-\frac{2}{3}\vec{u}$ ; c) $\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{3}\vec{u}$ ; d) $\vec{v}+\frac{1}{3}\vec{u}$ ; e) $-\frac{4}{3}\vec{u}-\frac{3}{2}\vec{v}$

E. 1.3.7.

Seja dado um vetor $\vec{u}\neq 0$ . Calcule a norma do vetor⁷⁷7 $\vec{u}/\|\vec{u}\|$ é chamado de vetor $\vec{u}$ normalizado, ou a normalização do vetor $\vec{u}$ . $\vec{v}=\vec{u}/\|\vec{u}\|$ .

$\|\vec{v}\|=1$ .

E. 1.3.8.

Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

1.

$\vec{u}+\vec{u}=2\vec{u}$
2.

$\vec{u}=-\vec{u}\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}$ .

a) verdadeira; b) verdadeira.

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1.3 Operações elementares com vetores

1.3.1 Adição de vetores

Propriedades

1.3.2 Vetor oposto

Observação 1.3.1.

Propriedade

1.3.3 Subtração de vetores

Regra do paralelogramo

1.3.4 Multiplicação de vetor por escalar

Observação 1.3.2.( $\alpha<0$ )

Proposição 1.3.1.

Demonstração.

Propriedades

1.3.5 Resumo das propriedades

1.3.6 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Resolução.

ER 1.3.2.

Resolução.

1.3.7 Exercícios

E. 1.3.1.

E. 1.3.2.

E. 1.3.3.

E. 1.3.4.

E. 1.3.5.

E. 1.3.6.

E. 1.3.7.

E. 1.3.8.

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	$\displaystyle\vec{u}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}$		(1.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AB}=\vec{u}.$		(1.14)

	$\displaystyle\left(\vec{u}+\vec{v}\right)+\vec{w}=\left(\overrightarrow{AB}+% \overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}$		(1.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$		(1.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AD}.$		(1.18)

	$\displaystyle\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(% \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$		(1.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$		(1.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AD}.$		(1.21)

	$\displaystyle\vec{u}+(-\vec{u})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$		(1.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$		(1.25)

	$\displaystyle\left\\|\alpha(\beta\vec{u})\right\\|=\left\|\alpha\right\|\left\\|% \beta\vec{u}\right\\|$		(1.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\alpha\right\|\left\|\beta\right\|\left\\|\vec{u}\right\\|$		(1.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\alpha\beta\right\|\left\\|\vec{u}\right\\|$		(1.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\\|(\alpha\beta)\vec{u}\right\\|.$		(1.37)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% (\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$		(1.38)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \alpha\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$		(1.39)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% (\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$		(1.45)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$		(1.46)

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1.3.1 Adição de vetores

Propriedades

1.3.2 Vetor oposto

Observação 1.3.1.

Propriedade

1.3.3 Subtração de vetores

Regra do paralelogramo

1.3.4 Multiplicação de vetor por escalar

Observação 1.3.2.(α<0)

Proposição 1.3.1.

Demonstração.

Propriedades

1.3.5 Resumo das propriedades

1.3.6 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Resolução.

ER 1.3.2.

Resolução.

1.3.7 Exercícios

E. 1.3.1.

E. 1.3.2.

E. 1.3.3.

E. 1.3.4.

E. 1.3.5.

E. 1.3.6.

E. 1.3.7.

E. 1.3.8.

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Observação 1.3.2.( $\alpha<0$ )