Vetores

3 Produtos 3.4 Produto vetorial 3.6 Produto misto

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

3.5 Propriedades do produto vetorial

Nesta seção, discutiremos algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ , $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ , $\vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3})$ e o número real $\gamma$ .

Da definição do produto vetorial, temos $\vec{u}\perp(\vec{u}\times\vec{v})$ e $\vec{v}\perp(\vec{u}\times\vec{v})$ , logo

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0

(3.202)

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.

(3.203)

Exemplo 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=(4,6,1)$		(3.205)

Segue que

	$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(1,-1,2)\cdot(4,6,1)$		(3.206)
	$\displaystyle\text{}\quad=4-6+2=0.$		(3.207)

Em relação à multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\gamma(\vec{u}\times\vec{v}% )}={\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}(\gamma\vec{u})\times\vec{v}}$		(3.208)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0.640625,0.10546875}\vec{u}\times(\gamma\vec{v})}.$		(3.209)

De fato,

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0.4921875,0}(\gamma\vec{u})\times\vec{v}}={\color[rgb]{1,0.4921875,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}\begin{vmatrix}\vec{i}&% \vec{j}&\vec{k}\\ \gamma u_{1}&\gamma u_{2}&\gamma u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$		(3.210)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\gamma% \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\gamma(% \vec{u}\times\vec{v})}$		(3.211)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0.640625,0.10546875}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{% j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ \gamma v_{1}&\gamma v_{2}&\gamma v_{3}\end{vmatrix}}={\color[rgb]{% 0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}\vec{u}\times(\gamma\vec{v})}.$		(3.212)

Exemplo 3.5.2.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}2(\vec{u}\times\vec{v})}=2% \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(4,6,1)$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=(8,12,2)$		(3.215)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0.4921875,0}(2\vec{u})\times\vec{v}}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&% \vec{k}\\ 2&-2&4\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=(8,12,2)$		(3.217)

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0.640625,0.10546875}\vec{u}\times(2\vec{v})}=\begin{% vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 4&-2&-4\end{vmatrix}$		(3.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=(8,12,2)$		(3.219)

Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}.

(3.220)

De fato, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&% \vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}+w_{1}&v_{2}+w_{2}&v_{3}+w_{3}\end{vmatrix}$		(3.221)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}.$		(3.223)

Exemplo 3.5.3.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(2,-1,-2)$ e $\vec{w}=(0,-1,-1)$ . Temos

	$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\left[(2,-1,-2)+(0,-1% ,-1)\right]$		(3.224)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1,-1,2)\times(2,-2,-3)$		(3.225)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-2&-3\end{vmatrix}$		(3.226)
	$\displaystyle\text{}\quad=(7,7,0)$		(3.227)

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{u}\times\vec{w})$
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 0&-1&-1\end{vmatrix}$		(3.228)
	$\displaystyle\text{}\quad=(4,6,1)+(3,1,-1)$		(3.229)
	$\displaystyle\text{}\quad=(7,7,0)$		(3.230)

Observamos que o produto vetorial não é comutativo. Entretanto,

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}.

(3.231)

De fato, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.232)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{vmatrix}$		(3.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\vec{v}\times\vec{u}.$		(3.234)

Exemplo 3.5.4.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=(4,6,1)$		(3.236)

	$\displaystyle\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-1&-2\\ 1&-1&2\end{vmatrix}$		(3.237)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-4,-6,-1)$		(3.238)

Também, o produto vetorial não é associativo: em geral, $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ é diferente de $\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})$ . Com efeito, temos

	$\displaystyle(\vec{i}\times\vec{i})\times\vec{j}=\vec{0},$		(3.239)
	$\displaystyle\vec{i}\times(\vec{i}\times\vec{j})=\vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}.$		(3.240)

Por outro lado, suponhamos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.i. e seja $\pi$ um plano determinado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Então, $\vec{u}\times\vec{v}$ é ortogonal a $\pi$ . Como $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u}\times\vec{v}$ e a $\vec{w}$ , temos que $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ também pertence a $\pi$ . Logo, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ são l.d. e existem $\alpha$ e $\beta$ tais que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u}% \times\vec{v})\times\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}}.

(3.241)

Vamos determinar $\alpha$ e $\beta$ . Para tanto, consideremos uma base ortonormal $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ tal que $\vec{i}\parallel\vec{u}$ e $\vec{j}\in\pi$ . Nesta base, temos

	$\displaystyle\vec{u}=(u_{1},0,0)$		(3.242)
	$\displaystyle\vec{v}=(v_{1},v_{2},0)$		(3.243)
	$\displaystyle\vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3}).$		(3.244)

Também, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&0&0\\ v_{1}&v_{2}&0\end{vmatrix}$		(3.245)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0,0,u_{1}v_{2})$		(3.246)

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j% }&\vec{k}\\ 0&0&u_{1}v_{2}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-u_{1}v_{2}w_{2},u_{1}v_{2}w_{1},0).$		(3.248)

Daí, temos

\underbrace{(-u_{1}v_{2}w_{2},u_{1}v_{2}w_{1},0)}_{(\vec{u}\times\vec{v})% \times\vec{w}}=\underbrace{\alpha(u_{1},0,0)+\beta(v_{1},v_{2},0)}_{\alpha\vec% {u}+\beta\vec{v}},

(3.249)

donde

	$\displaystyle\alpha u_{1}+\beta v_{1}=-u_{1}v_{2}w_{2},$		(3.250)
	$\displaystyle\beta v_{2}=u_{1}w_{1}v_{2}.$		(3.251)

Resolvendo para $\alpha$ e $\beta$ , obtemos

	$\displaystyle\alpha=-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}=-\vec{v}\cdot\vec{w}$		(3.252)
	$\displaystyle\beta=\vec{u}\cdot\vec{w}.$		(3.253)

Portanto, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u}% \times\vec{v})\times\vec{w}=-(\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}+(\vec{u}\cdot\vec{w}% )\vec{v}}.

(3.254)

Usando as identidades acima, obtemos

		$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=-(\vec{v}\times\vec{w})\times% \vec{u}$		(3.255)
		$\displaystyle\text{}\quad=(\vec{w}\cdot\vec{u})\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{u})% \vec{w}$		(3.256)
		$\displaystyle\text{}\quad=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})% \vec{w}$		(3.257)

ou seja,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\vec{u}% \times(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v}% )\vec{w}}.

(3.258)

3.5.1 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(-3,-2,-1)$ , $\vec{v}=(0,1,2)$ e $\vec{w}=(-1,0,1)$ . Calcule

(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}.

(3.259)

Resolução.

Seguindo a identidade (3.254), segue

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}=-(\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}% +(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}$		(3.260)
	$\displaystyle\text{}\quad=-(0+0+2)\vec{u}+(3+0-1)\vec{v}$		(3.261)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2(-3,-2,-1)+2(0,1,2)$		(3.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=(6,4,2)+(0,2,4)$		(3.263)
	$\displaystyle\text{}\quad=(6,6,6)$		(3.264)

ER 3.5.2.

Sejam $\vec{u}=(2,x,1)$ , $\vec{v}=(-2,3,1)$ e $\vec{w}=(-3,-1,1)$ . Calcule $x$ tal que

\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w})=-16.

(3.265)

Resolução.

Por cálculo direto, temos

	$\displaystyle\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w})=-16$		(3.266)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&x&1\\ -3&-1&1\end{vmatrix}=-16$		(3.267)
	$\displaystyle(-2,3,1)\cdot(x+1,-5,3x-2)=-16$		(3.268)
	$\displaystyle x-19=-16$		(3.269)
	$\displaystyle x=3.$		(3.270)

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(2,-3,1)$ e $\vec{v}=(3,-2,1)$ . Calcule $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})$ . Se $\vec{w}$ é um vetor qualquer, forneça o valor de $\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})$ . Justifique sua resposta.

$\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0$ ; $\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=0$

E. 3.5.2.

Sabendo que $\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,1)$ , calcule $\vec{u}\times(2\vec{v})$ .

$(2,2,2)$

E. 3.5.3.

Sabendo que $\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,1)$ e $\vec{u}\times\vec{w}=(-1,-1,-1)$ , calcule $\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})$ .

$(0,0,0)$

E. 3.5.4.

Sendo $\vec{a}=(3,-1,2)$ , $\vec{b}=(2,-1,-1)$ , calcule $(\vec{a}\cdot\vec{k})(\vec{i}\times\vec{b})$ .

$(0,2,-2)$

E. 3.5.5.

Calcule $\vec{w}\times(\vec{u}\times\vec{v})$ , sendo $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(0,-1,1)$ e $\vec{w}=(1,0,-1)$ .

$(-1,0,-1)$

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Vetores

3.5 Propriedades do produto vetorial

Exemplo 3.5.1.

Exemplo 3.5.2.

Exemplo 3.5.3.

Exemplo 3.5.4.

3.5.1 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Resolução.

ER 3.5.2.

Resolução.

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

E. 3.5.2.

E. 3.5.3.

E. 3.5.4.

E. 3.5.5.

Envie seu comentário