Vetores

3 Produtos 3.2 Ângulo entre vetores 3.4 Produto vetorial

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3.3 Projeção ortogonal

Sejam dados os vetores $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{OB}\neq\vec{0}$ . Seja, ainda, $P$ a interseção da reta perpendicular a $O B$ que passa pelo ponto $A$ . Observemos a Figura 3.3. Com isso, definimos a projeção ortogonal de $\vec{u}$ na direção de $\vec{v}$ por $\overrightarrow{OP}$ . Denotamos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \overrightarrow{OP}=\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}}.

(3.115)

Refer to caption — Figura 3.3: Projeção ortogonal.

Da definição, temos que⁴⁴4 $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ é um múltiplo escalar de $\vec{v}$ .

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\beta\cdot\vec{v}}

(3.116)

para algum número real $\beta$ . Além disso, temos

\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{u}+\overrightarrow{AP}.

(3.117)

Portanto

\beta\vec{v}=\vec{u}+\overrightarrow{AP}.

(3.118)

Tomando o produto escalar com $\vec{v}$ em ambos os lados desta equação, obtemos

	$\displaystyle\beta\vec{v}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v}+\overrightarrow{AP}% \cdot\vec{v}$		(3.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{u}\cdot\vec{v},$		(3.120)

pois $\overrightarrow{AP}\perp\vec{v}$ . Daí, lembrando que $\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^{2}$ , temos

\beta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}

(3.121)

e concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2% }}\vec{v}}.

(3.122)

Exemplo 3.3.1.

Sejam $\vec{u}=(-1,1,-1)$ e $\vec{v}=(2,1,-2)$ . Usando a equação (3.122), obtemos

	$\displaystyle\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{(-1,1,-1)\cdot(2,1,-2)% }{\\|(2,1,-2)\\|^{2}}(2,1,-2)$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2+1+2}{4+1+4}(2,1,-2)$		(3.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{2}{9},\frac{1}{9},\frac{-2}{9}\right).$		(3.125)

3.3.1 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Determine $x$ tal que a projeção de $\vec{u}=(1,x,x)$ em $\vec{v}=(1,1,0)$ tenha o dobro da norma de $\vec{v}$ .

Resolução.

De (3.122), a projeção de $\vec{u}$ em $\vec{v}$ é

	$\displaystyle\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{% \\|\vec{v}\\|^{2}}\vec{v},$		(3.126)
	$\displaystyle\\|\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\\|=\left\|\frac{\vec{u}\cdot% \vec{v}}{\\|\vec{v}\\|^{2}}\right\|\\|\vec{v}\\|$		(3.127)
	$\displaystyle\\|\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\\|=\left\|\frac{\vec{u}\cdot% \vec{v}}{\\|\vec{v}\\|}\right\|$		(3.128)
	$\displaystyle\\|\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\\|=\frac{\|1+x\|}{\\|\vec{v}\\|}$		(3.129)

Queremos que

\displaystyle\|\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\|=2\|\vec{v}\|.

(3.130)

Segue que

	$\displaystyle\frac{\|1+x\|}{\\|\vec{v}\\|}=2\\|\vec{v}\\|$		(3.131)
	$\displaystyle\|1+x\|=2\\|\vec{v}\\|^{2}$		(3.132)
	$\displaystyle\|1+x\|=2\cdot 2$		(3.133)
	$\displaystyle 1+x=-4\quad\text{ou}\quad 1+x=4$		(3.134)
	$\displaystyle x=-5\quad\text{ou}\quad x=3.$		(3.135)

ER 3.3.2.

Verifique que se $\vec{u}\perp\vec{v}$ , então $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{0}$ . Justifique sua resposta.

Resolução.

Temos que

\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2% }}\vec{v}.

(3.136)

Tendo em vista que $\vec{u}\perp\vec{v}$ , temos $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ . Logo,

	$\displaystyle\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=0\cdot\vec{v}$		(3.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\vec{0}.$		(3.138)

3.3.2 Exercícios

E. 3.3.1.

Sejam $\vec{u}=(-1,1,2)$ e $\vec{v}=(1,-2,0)$ . Calcule $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ .

$(-3/5,6/5,0)$

E. 3.3.2.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores unitários e seja $\alpha=\pi/6$ o ângulo entre eles. Calcule a norma da projeção ortogonal de $\vec{u}$ na direção de $\vec{v}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

E. 3.3.3.

Determine $x$ tal que $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=(1/6,-1/3,1/6)$ , sendo $\vec{u}=(x,1,2)$ e $\vec{v}=(1,-2,1)$ .

$1$

E. 3.3.4.

Verifique se a $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ tem o mesmo sentido de $\vec{v}$ para quaisquer vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dados. Justifique sua resposta.

Falso

E. 3.3.5.

Determine as coordenadas de todos os vetores $\vec{u}$ tais que $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{v}$ , sendo que $\vec{v}=(1,0,0)$ .

$(1,u_{2},u_{3}),\leavevmode\nobreak\ u_{2},u_{3}\in\mathbb{R}$

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3.3 Projeção ortogonal

Exemplo 3.3.1.

3.3.1 Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Resolução.

ER 3.3.2.

Resolução.

3.3.2 Exercícios

E. 3.3.1.

E. 3.3.2.

E. 3.3.3.

E. 3.3.4.

E. 3.3.5.

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