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3 Produtos 3.4 Produto Vetorial 3.6 Produto Misto

3.5 Propriedades do Produto Vetorial

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Em revisão

Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ , $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ , $\vec{w}=(w_{1},w_{2},w_{3})$ e o número real $\gamma$ .

Da definição do produto vetorial, temos $\vec{u}\perp(\vec{u}\times\vec{v})$ e $\vec{v}\perp(\vec{u}\times\vec{v})$ , logo

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\cdot(% \vec{u}\times\vec{v})=0}

(3.220)

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{v}\cdot(% \vec{u}\times\vec{v})=0}.

(3.221)

Exemplo 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.225)
		$\displaystyle=(4,6,1)$		(3.226)

Segue, que

$\displaystyle\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$	$\displaystyle=(1,-1,2)\cdot(4,6,1)$	(3.227)
	$\displaystyle=4-6+2$	(3.228)
	$\displaystyle=0.$	(3.229)

Em relação à multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\gamma(\vec{u% }\times\vec{v})}$	$\displaystyle={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(\gamma% \vec{u})\times\vec{v}}$		(3.230)
		$\displaystyle={\color[rgb]{0,1,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,1,1}\pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}{0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}% \vec{u}\times(\gamma\vec{v})}.$		(3.231)

De fato,

$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(\gamma\vec{u% })\times\vec{v}}$	$\displaystyle={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\begin{% vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \gamma u_{1}&\gamma u_{2}&\gamma u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$	(3.235)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\gamma% \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\gamma(\vec{u}\times\vec{v})}$	(3.239)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,1,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,1,1}\pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}{0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}% \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ \gamma v_{1}&\gamma v_{2}&\gamma v_{3}\end{vmatrix}}={\color[rgb]{0,1,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,1}\pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}% {0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}\vec{u}\times(\gamma\vec{v})}$	(3.243)

Exemplo 3.5.2.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2(\vec{u}% \times\vec{v})}$	$\displaystyle=2\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$	(3.247)
	$\displaystyle=2(4,6,1)$	(3.248)
	$\displaystyle=(8,12,2)$	(3.249)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(2\vec{u})% \times\vec{v}}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-2&4\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$		(3.253)
		$\displaystyle=(8,12,2)$		(3.254)

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,1,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,1% }\pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}{0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}\vec{% u}\times(2\vec{v})}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 4&-2&-4\end{vmatrix}$		(3.258)
		$\displaystyle=(8,12,2)$		(3.259)

Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\times(% \vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}}.

(3.260)

De fato, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})$		(3.261)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}+w_{1}&v_{2}+w_{2}&u_{3}+w_{3}\end{vmatrix}$		(3.265)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.272)
	$\displaystyle=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}.$		(3.273)

Exemplo 3.5.3.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(2,-1,-2)$ e $\vec{w}=(0,-1,-1)$ . Temos

	$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})$		(3.274)
	$\displaystyle=\vec{u}\times\left[(2,-1,-2)+(0,-1,-1)\right]=(1,-1,2)\times(2,-% 2,-3)$		(3.275)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-2&-3\end{vmatrix}$		(3.279)
	$\displaystyle=(7,7,0)$		(3.280)

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{u}\times\vec{w})$		(3.281)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 0&-1&-1\end{vmatrix}$		(3.288)
	$\displaystyle=(4,6,1)+(3,1,-1)$		(3.289)
	$\displaystyle=(7,7,0)$		(3.290)

Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\times% \vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}}.

(3.291)

De fato, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}$		(3.292)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.296)
	$\displaystyle=-\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{vmatrix}$		(3.300)
	$\displaystyle=-\vec{v}\times\vec{u}.$		(3.301)

Exemplo 3.5.4.

Sejam $\vec{u}=(1,-1,2)$ e $\vec{v}=(2,-1,-2)$ . Temos

$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}$		(3.302)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&-2\end{vmatrix}$	(3.306)
	$\displaystyle=(4,6,1)$	(3.307)

$\displaystyle\vec{v}\times\vec{u}$		(3.308)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-1&-2\\ 1&-1&2\end{vmatrix}$	(3.312)
	$\displaystyle=(-4,-6,-1)$	(3.313)

Também, o produto vetorial não é associativo sendo $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ , em geral, é diferente de $\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})$ . Com efeito, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\vec{i}% \times\vec{i})\times\vec{j}}$	$\displaystyle=\vec{0},$		(3.314)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{i}\times% (\vec{i}\times\vec{j})}$	$\displaystyle=\vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}.$		(3.315)

Por outro lado, suponhamos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.i. e seja $\pi$ um plano determinado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Então, $\vec{u}\times\vec{v}$ é ortogonal a $\pi$ . Como $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u}\times\vec{v}$ e a $\vec{w}$ , temos que $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ também pertence a $\pi$ . Logo, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$ são l.d. e existem $\alpha$ e $\beta$ tais que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\vec{u}\times% \vec{v})\times\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}}.

(3.316)

Vamos determinar $\alpha$ e $\beta$ . Para tanto, consideremos uma base ortonormal $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ tal que $\vec{i}\parallel\vec{u}$ e $\vec{j}\in\pi$ . Nesta base, temos

$\displaystyle\vec{u}$	$\displaystyle=(u_{1},0,0)$	(3.317)
$\displaystyle\vec{v}$	$\displaystyle=(v_{1},v_{2},0)$	(3.318)
$\displaystyle\vec{w}$	$\displaystyle=(w_{1},w_{2},w_{3}).$	(3.319)

Também, temos

	$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&0&0\\ v_{1}&v_{2}&0\end{vmatrix}$		(3.323)
		$\displaystyle=(0,0,u_{1}v_{2})$		(3.324)

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&0&u_{1}v_{2}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.328)
		$\displaystyle=(-u_{1}v_{2}w_{2},u_{1}v_{2}w_{1},0).$		(3.329)

Daí, temos

\underbrace{(-u_{1}v_{2}w_{2},u_{1}v_{2}w_{1},0)}_{(\vec{u}\times\vec{v})% \times\vec{w}}=\underbrace{\alpha(u_{1},0,0)+\beta(v_{1},v_{2},0)}_{\alpha\vec% {u}+\beta\vec{v}},

(3.330)

donde

	$\displaystyle\alpha u_{1}+\beta v_{1}$	$\displaystyle=-u_{1}v_{2}w_{2},$		(3.331)
	$\displaystyle\beta v_{2}$	$\displaystyle=u_{1}w_{1}v_{2}.$		(3.332)

Resolvendo para $\alpha$ e $\beta$ , obtemos

	$\displaystyle\alpha$	$\displaystyle=-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}=-\vec{v}\cdot\vec{w}$		(3.333)
	$\displaystyle\beta$	$\displaystyle=\vec{u}\vec{w}.$		(3.334)

Portanto, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(\vec{u}\times% \vec{v})\times\vec{w}=-(\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}+(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{% v}}.

(3.335)

Usando as identidades acima, obtemos

$\displaystyle\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})$	$\displaystyle=-(\vec{v}\times\vec{w})\times\vec{u}$	(3.336)
	$\displaystyle=(\vec{w}\cdot\vec{u})\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{u})\vec{w}$	(3.337)
	$\displaystyle=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}$	(3.338)

ou seja,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}\times(% \vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w% }}.

(3.339)

3.5.1 Exercícios Resolvidos

ER 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(-3,-2,-1)$ , $\vec{v}=(0,1,2)$ e $\vec{w}=(-1,0,1)$ . Calcule

(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}.

(3.340)

Solução.

Seguindo a identidade (3.336), segue

	$\displaystyle(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$		(3.341)
	$\displaystyle=-(\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}+(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}$		(3.342)
	$\displaystyle=-(0+0+2)\vec{u}+(3+0-1)\vec{v}$		(3.343)
	$\displaystyle=-2(-3,-2,-1)+2(0,1,2)$		(3.344)
	$\displaystyle=(6,4,2)+(0,2,4)$		(3.345)
	$\displaystyle=(6,6,6)$		(3.346)

ER 3.5.2.

Sejam $\vec{u}=(2,x,1)$ , $\vec{v}=(-2,3,1)$ e $\vec{w}=(-3,-1,1)$ . Calcule $x$ tal que

\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w})=-16.

(3.347)

Solução.

Por cálculo direto, temos

	$\displaystyle\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w})=-16$		(3.348)
	$\displaystyle\vec{v}\cdot\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&x&1\\ -3&-1&1\end{vmatrix}=-16$		(3.352)
	$\displaystyle(-2,3,1)\cdot(x+1,-5,3x-2)=-16$		(3.353)
	$\displaystyle x-19=-16$		(3.354)
	$\displaystyle x=3.$		(3.355)

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Sejam $\vec{u}=(2,-3,1)$ e $\vec{v}=(3,-2,1)$ . Calcule $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})$ . Se $\vec{w}$ é um vetor qualquer, forneça o valor de $\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})$ . Justifique sua resposta.

Resposta.

$\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0$ ; $\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=0$

E. 3.5.2.

Sabendo que $\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,1)$ , calcule $\vec{u}\times(2\vec{v})$ .

Resposta.

$(2,2,2)$

E. 3.5.3.

Sabendo que $\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,1)$ e $\vec{u}\times\vec{w}=(-1,-1,-1)$ , calcule $\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})$ .

Resposta.

$(0,0,0)$

E. 3.5.4.

Sendo $\vec{a}=(3,-1,2)$ , $\vec{b}=(2,-1,-1)$ , calcule $(\vec{a}\cdot\vec{k})(\vec{i}\times\vec{b})$ .

Resposta.

$(0,2,-2)$

E. 3.5.5.

Calcule $\vec{w}\times(\vec{u}\times\vec{v})$ , sendo $\vec{u}=(1,-1,2)$ , $\vec{v}=(0,-1,1)$ e $\vec{w}=(1,0,-1)$ .

Resposta.

$(-1,0,-1)$

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