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2 Bases e Coordenadas 2.1 Combinação Linear 2.3 Bases e Coordenadas

2.2 Dependência Linear

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Dois ou mais vetores dados são linearmente dependentes (l.d.) quando um deles for combinação linear dos demais. Mais precisamente, $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\ldots,\vec{u}_{n}\}$ é um conjunto de vetores l.d. quando

c_{1}\vec{u}_{1}+c_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+c_{n}\vec{u}_{n}=\vec{0},

(2.23)

para escalares $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ não todos nulos. Caso contrário, dizemos tratar-se de um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.).

Exemplo 2.2.1.

Estudamos cada caso:

a)

Sejam $\vec{u}_{1}$ e $\vec{u}_{2}=-2\vec{u}_{1}$ . Temos que $\vec{u}_{1}$ e $\vec{u}_{2}$ são linearmente dependentes, pois

$2\vec{u}_{1}+1\vec{u_{2}}=\vec{0}.$ (2.24)
b)

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}$ . Temos que $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ é um conjunto l.d., pois

$\vec{u}-\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}.$ (2.25)

Observação 2.2.1.

(Vetor Nulo.) Todo conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é um conjunto l.d.. De fato, para quaisquer $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , …, $\vec{u}_{n}$ , tem-se que

\vec{0}+0\vec{u}_{1}+0\vec{u}_{2}+\cdots+0\vec{u}_{n}=\vec{0}.

(2.26)

2.2.1 Dois Vetores no Espaço

Dois vetores de mesma direção são linearmente dependentes (l.d.).

Proposição 2.2.1.

Dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d. se, e somente se, qualquer uma das seguinte condições é satisfeita:

a)

um deles é combinação linear do outro, i.e.

$\vec{u}=\alpha\vec{v}$ (2.27)

ou

$\vec{v}=\beta\vec{u}.$ (2.28)
b)

eles têm a mesma direção;
c)

eles são paralelos.

Demonstração.

De fato, a afirmação a) é a definição de dependência linear. A afirmação b) é consequência imediata da a), bem como a c) é equivalente a b). Por fim, se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são vetores paralelos, então um é múltiplo por escalar do outro. Ou seja, c) implica a). ∎

Esta proposição também mostra que dois vetores não nulos são linearmente independentes (l.i.) se, e somente se, eles têm direções diferentes.

Exemplo 2.2.2.

Considere dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ de mesma direção. Então, no caso de terem sentidos opostos, segue que

\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}+\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}=\vec{0}.

(2.29)

noutro caso, temos que

\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}+\frac{-1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}=\vec{0}.

(2.30)

Consulte a Figura 2.2.

Refer to caption — Figura 2.4: Dois vetores linearmente dependentes.

2.2.2 Três Vetores no Espaço

Três vetores quaisquer $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d., quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Sem perda de generalidade, isto significa que existem constantes $\alpha$ e $\beta$ tais que

\vec{u}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}.

(2.31)

ou, equivalentemente,

\vec{u}+(-\alpha)\vec{v}+(-\beta)\vec{w}=\vec{0}.

(2.32)

Afirmamos que se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d., então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares. Do fato de que dois vetores quaisquer são sempre coplanares, temos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares caso qualquer um deles seja o vetor nulo. Suponhamos, agora, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são não nulos e seja $\pi$ o plano determinado pelos vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ . Se $\alpha=0$ , então $\vec{u}=\beta\vec{w}$ e teríamos uma representação de $\vec{u}$ no plano $\pi$ . Analogamente, se $\beta=0$ , então $\vec{u}=\alpha\vec{v}$ e teríamos uma representação de $\vec{u}$ no plano $\pi$ . Por fim, observamos que se $\alpha,\beta\neq 0$ , então $\alpha\vec{v}$ tem a mesma direção de $\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ tem a mesma direção de $\vec{w}$ . Isto é, $\alpha\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ admitem representações no plano $\pi$ . Sejam $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ representações dos vetores $\alpha\vec{v}$ e $\beta\vec{w}$ , respectivamente. Os pontos $A$ , $B$ e $C$ pertencem a $\pi$ , assim como o segmento $A C$ . Como $\overrightarrow{AC}=\vec{u}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}$ , concluímos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.

Reciprocamente, se $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares, então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Consulte a Figura 2.5.

De fato, se um deles for nulo, por exemplo, $\vec{u}=\vec{0}$ , então $\vec{u}$ pode ser escrito como a seguinte combinação linear dos vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$

\vec{u}=0\vec{v}+0\vec{w}.

(2.33)

Neste caso, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Também, se dois dos vetores forem paralelos, por exemplo, $\vec{u}\parallel\vec{v}$ , então temos a combinação linear

\vec{u}=\alpha\vec{v}+0\vec{w}.

(2.34)

E, então, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Agora, suponhamos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são não nulos e dois a dois concorrentes (i.e. todos com direções distintas). Sejam, então $\overrightarrow{PA}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{PB}=\vec{v}$ e $\overrightarrow{PC}=\vec{w}$ representações sobre um plano $\pi$ . Sejam $r$ e $s$ as retas determinadas por $P A$ e $P C$ , respectivamente. Seja, então, $D$ o ponto de interseção da reta $s$ com a reta paralela a $r$ que passa pelo ponto $B$ . Seja, também, $E$ o ponto de interseção da reta $r$ com a reta paralela a $s$ que passa pelo ponto $B$ . Sejam, então, $\alpha$ e $\beta$ tais que $\alpha\vec{u}=\overrightarrow{PE}$ e $\beta\vec{w}=\overrightarrow{PD}$ . Como $\vec{v}=\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PD}=\alpha\vec% {u}+\beta\vec{w}$ , temos que $\vec{v}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{w}$ , i.e. $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

2.2.3 Quatro ou Mais Vetores no Espaço

Quatro ou mais vetores são sempre l.d.⁷⁷endnote: ⁷No espaço euclidiano tridimensional.. De fato, sejam dados quatro vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ e $\vec{d}$ . Se dois ou três destes forem l.d.entre si, então, por definição, os quatro são l.d.. Assim sendo, suponhamos que três dos vetores sejam l.i. e provaremos que, então, o outro vetor é combinação linear desses três.

Sem perda de generalidade, suponhamos que $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i.. Logo, eles não são coplanares. Seja, ainda, $\pi$ o plano determinado pelos vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e as representações $\vec{a}=\overrightarrow{PA}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{PB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{PC}$ e $\vec{d}=\overrightarrow{PD}$ .

Tomamos a reta $r$ paralela a $\overrightarrow{PC}$ que passa pelo ponto $D$ . Então, seja $E$ o ponto de interseção de $r$ com o plano $\pi$ . Consultamos a Figura 2.6. Observamos que o vetor $\overrightarrow{PE}$ é coplanar aos vetores $\overrightarrow{PA}$ e $\overrightarrow{PB}$ e, portanto, exitem números reais $\alpha$ e $\beta$ tal que

\overrightarrow{PE}=\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}.

(2.35)

Além disso, como $\overrightarrow{ED}$ tem a mesma direção e sentido de $\overrightarrow{PC}=\vec{c}$ , temos que

\overrightarrow{ED}=\gamma\overrightarrow{PC}

(2.36)

para algum número real $\gamma$ . Por fim, observamos que

	$\displaystyle\overrightarrow{PD}$	$\displaystyle=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{ED}$
		$\displaystyle=\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}+\gamma% \overrightarrow{PC}$
		$\displaystyle=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}.$

2.2.4 Exercícios Resolvidos

ER 2.2.1.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i. e

	$\displaystyle\vec{a}$	$\displaystyle=2\vec{u}-3\vec{v},$		(2.37)
	$\displaystyle\vec{b}$	$\displaystyle=\vec{u}+2\vec{v},$		(2.38)

então $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.d.?

Solução.

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i. se, e somente se,

\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow\alpha=\beta=0.

(2.39)

Observemos que

$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$	(2.40)
	$\displaystyle=\alpha(2\vec{u}-3\vec{v})+\beta(\vec{u}+2\vec{v})$	(2.41)
	$\displaystyle=(2\alpha+\beta)\vec{u}+(-3\alpha+2\beta)\vec{v}$	(2.42)

implica

	$\displaystyle 2\alpha+\beta$	$\displaystyle=0$		(2.43)
	$\displaystyle-3\alpha+2\beta$	$\displaystyle=0$		(2.44)

Resolvendo este sistema, vemos que $\alpha=\beta=0$ . Logo, concluímos que $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i..

ER 2.2.2.

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores. Verifique a seguinte afirmação de que se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d., então $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d.. Justifique sua resposta.

Solução.

A afirmação é verdadeira. De fato, se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d., então existe um escalar $\alpha$ tal que

\vec{u}=\alpha\vec{v}.

(2.45)

Segue que

\vec{u}=\alpha\vec{v}+0\vec{w}.

(2.46)

Isto é, $\vec{u}$ é combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w}$ . Então, por definição, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

ER 2.2.3.

Sejam $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ . Mostre que $A$ , $B$ e $C$ são colineares se, e somente se, $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d..

Solução.

Primeiramente, vamos verificar a implicação. Se $A$ , $B$ e $C$ são colineares, então os segmentos $A B$ e $A C$ têm a mesma direção. Logo, são l.d. os vetores $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ .

Agora, verificamos a recíproca. Se $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ são l.d., então os segmentos $A B$ e $A C$ têm a mesma direção. Como eles são concorrentes, segue que $A$ , $B$ e $C$ são colineares.

2.2.5 Exercícios

E. 2.2.1.

Sendo $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ , mostre que $\overrightarrow{PA}$ , $\overrightarrow{PB}$ e $\overrightarrow{PC}$ são l.d. para qualquer ponto $P$ .

Resposta.

Dica: os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ são l.d..

E. 2.2.2.

Sejam dados três vetores quaisquer $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ . Mostre que os vetores $\vec{u}=2\vec{a}-\vec{b}$ , $\vec{v}=-\vec{a}-2\vec{c}$ e $\vec{w}=\vec{b}+4\vec{c}$ são l.d..

Resposta.

Dica: Escreva um dos vetores como combinação linear dos outros.

E. 2.2.3.

Sejam $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ e $\vec{w}=\overrightarrow{AD}$ . Mostre que $A$ , $B$ , $C$ e $D$ são coplanares se, e somente se, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são l.d..

Resposta.

Três vetores são l.d. se, e somente se, eles são coplanares.

E. 2.2.4.

Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i. e

	$\displaystyle\vec{a}=2\vec{u}-\vec{v},$		(2.47)
	$\displaystyle\vec{b}=2\vec{v}-4\vec{u},$		(2.48)

então $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são l.i.? Justifique sua resposta.

Resposta.

Não.

E. 2.2.5.

Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

a)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ l.d. $\Rightarrow$ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ l.d..
b)

$\vec{u}$ , $\vec{0}$ , $\vec{w}$ são l.d..
c)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ l.i. $\Rightarrow$ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ l.i..
d)

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ l.d. $\Rightarrow$ $-\vec{u}$ , $2\vec{v}$ , $-3\vec{w}$ l.d..

Resposta.

a) falsa; b) verdadeira; c) falsa; d) verdadeira.

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