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2 Bases e Coordenadas 2 Bases e Coordenadas 2.2 Dependência Linear

2.1 Combinação Linear

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Dados vetores $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ e números reais $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dotsc$ , $c_{n}$ , com $n$ inteiro positivo, chamamos de

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}=c_{1}% \vec{u}_{1}+c_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+c_{n}\vec{u}_{n}}

(2.1)

uma combinação linear de $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ . Neste caso, também dizemos que $\vec{u}$ é gerado pelos vetores $\vec{u}_{1}$ , $\vec{u}_{2}$ , $\dotsc$ , $\vec{u}_{n}$ ou, equivalentemente, que estes vetores geram o vetor $\vec{u}$ .

Exemplo 2.1.1.

Sejam dados os vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ e $\vec{z}$ . Então, temos:

a)

$\vec{u}_{1}=\frac{1}{2}\vec{v}+\sqrt{2}\vec{z}$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{v}$ e $\vec{z}$ .
b)

$\vec{u_{2}}=\vec{u}-2\vec{z}$ é uma outra combinação linear dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{z}$ .
c)

$\vec{u_{3}}=2\vec{u}-\vec{w}+\pi\vec{z}$ é uma combinação linear dos vetores $\vec{u}$ , $\vec{w}$ e $\vec{z}$ .
d)

$\vec{u_{4}}=\frac{3}{2}\vec{z}$ é uma combinação linear do vetor $\vec{z}$ .

2.1.1 Interpretação Geométrica

Combinação Linear e Vetores Paralelos

Se $\vec{u}$ é combinação linear não nula de $\vec{v}$ apenas, então $\vec{u}$ é paralelo a $\vec{v}$ . De fato, se

\vec{u}=\alpha\vec{v},

(2.2)

com $\alpha\neq 0$ , então, por definição da multiplicação por escalar, $\vec{u}$ tem a mesma direção de $\vec{v}$ . Em outras palavras, temos a seguinte proposição. Consulte a Figura 2.1.

Refer to caption — Figura 2.1: Combinação linear de vetores paralelos.

Proposição 2.1.1.

(Combinação Linear entre Vetores Paralelos.) Se $\vec{u},\vec{v}$ são vetores não nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0},

(2.3)

com escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos, então $\vec{u}\parallel\vec{v}$ .

Demonstração.

Sem perda de generalidade, vamos assumir que $\alpha\neq 0$ . Logo, temos que

\vec{u}=-\frac{\beta}{\alpha}\vec{v},

(2.4)

o que mostra que $\vec{u}$ têm a mesma direção de $\vec{v}$ . ∎

Observação 2.1.1.

(Vetores Paralelos Têm Combinação Não Trivial.) A recíproca da Proposição 2.1.1 é válida, i.e., se $\vec{u}\parallel\vec{v}$ e não nulos, então existem escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.

(2.5)

Consulte o exercício E.2.1.8.

Combinação Linear e Vetores Coplanares

Se $\vec{w}$ é combinação linear não nula de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , então $\vec{w}$ é coplanar a estes vetores. De fato, temos

\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},

(2.6)

com escalares $\alpha,\beta$ . Se pelo menos um dos $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\alpha$ ou $\beta$ é nulo, então, é certo, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares. Caso sejam todos não nulos, $\alpha\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $\beta\vec{v}=\overrightarrow{OC}$ determinam um plano $\gamma$ e um paralelogramo $OABC\in\gamma$ . Segue que

$\displaystyle\vec{w}$	$\displaystyle=\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}$	(2.7)
	$\displaystyle=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$	(2.8)
	$\displaystyle=\overrightarrow{OB}\in\gamma.$	(2.9)

Concluímos que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são coplanares.

Proposição 2.1.2.

(Combinação Linear entre Vetores Coplanares.) Vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ não nulos têm combinação linear não trivial se, e somente se, são coplanares.

Demonstração.

Consulte o E.2.1.9. ∎

2.1.2 Exercícios Resolvidos

ER 2.1.1.

Com base na Figura 2.3, escreva o vetor $\vec{u}$ como combinação linear dos vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ .

Solução.

Para escrevermos o vetor $\vec{u}$ como combinação linear dos vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ , devemos determinar números $c_{1}$ e $c_{2}$ tais que

\vec{u}=c_{1}\vec{i}+c_{2}\vec{j}.

(2.10)

Com base na Figura 2.3, podemos tomar $c_{1}=3$ e $c_{2}=2$ , i.e. temos

\vec{u}=3\vec{i}+2\vec{j}.

(2.11)

ER 2.1.2.

Sabendo que $\vec{u}=2\vec{v}$ , forneça três maneiras de escrever o vetor nulo $\vec{0}$ como combinação linear dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Solução.

Dado que

\vec{u}=2\vec{v}

(2.12)

podemos escrever $\vec{0}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ das seguintes formas:

a)

subtraindo $\vec{u}$ .

$\displaystyle\vec{u}-\vec{u}$ $\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$ (2.13)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$ (2.14)
b)

subtraindo $2\vec{v}$ .

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$ $\displaystyle=2\vec{v}-2\vec{v}$ (2.15)

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$ $\displaystyle=\vec{0}$ (2.16)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=\vec{u}-2\vec{v}$ (2.17)
c)

multiplicando por $1/2$ e subtraindo $-(1/2)\vec{u}$ .

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}$ $\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot 2\vec{v}$ (2.18)

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}$ $\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$ (2.19)

$\displaystyle\vec{0}$ $\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$ (2.20)

2.1.3 Exercícios

E. 2.1.1.

Com base na figura abaixo, escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear de $\vec{i}$ e $\vec{j}$ .

a)

$\vec{u}$ .
b)

$\vec{v}$ .
c)

$\vec{w}$ .
d)

$\vec{x}$ .

Resposta.

a) $\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}$ . b) $\vec{v}=-2\vec{i}+2\vec{j}$ . c) $\vec{w}=-2\vec{i}-\vec{j}$ . d) $\vec{x}=3\vec{i}-\vec{j}$ .

E. 2.1.2.

Com base na figura abaixo, escreva os seguintes vetores como combinação linear de $\vec{x}$ e $\vec{y}$ .

a)

$\vec{u}$ .
b)

$\vec{v}$ .
c)

$\vec{w}$ .
d)

$\vec{z}$ .

Resposta.

a) $\vec{u}=-2\vec{x}+\frac{3}{2}\vec{y}$ . b) $\vec{v}=2\vec{x}+\vec{y}$ . c) $\vec{w}=2\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}$ . d) $\vec{z}=-3\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}$ .

E. 2.1.3.

Sabendo que $\vec{u}=3\vec{w}+\vec{v}$ , escreva $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Resposta.

$\vec{w}=\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}$

E. 2.1.4.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores de mesma direção e $\vec{w}$ um vetor não paralelo a $\vec{u}$ , todos não nulos. Pode-se escrever $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ? Justifique sua resposta.

Resposta.

Não.

E. 2.1.5.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ambos não nulos e de mesma direção. Pode-se afirmar que $\vec{u}$ gera $\vec{v}$ ? Justifique sua resposta.

Resposta.

Sim.

E. 2.1.6.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ vetores não paralelos entre si e $\vec{w}$ um vetor não coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , todos não nulos. É possível gerar $\vec{w}$ com $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ?

Resposta.

Não.

E. 2.1.7.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não nulos, coplanares e com direções distintas. Se $\vec{w}$ é um vetor também coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ geram $\vec{w}$ ? Justifique sua resposta.

Resposta.

Sim.

E. 2.1.8.

Mostre que se $\vec{u},\vec{v}$ são vetores não nulos e paralelos entre si, então existem escalares $\alpha,\beta$ não simultaneamente nulos tais que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}.

(2.21)

Resposta.

Sem perda de generalidade, existe $\gamma\neq 0$ tal que $\vec{u}=\gamma\vec{v}$ . Logo, escolhendo $\alpha=1$ e $\beta=-\gamma$ , temos que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0}$ .

E. 2.1.9.

Faça a demonstração da Proposição 2.1.2.

Resposta.

Implicação. Sem perda de generalidade, assumimos que $\gamma\neq 0$ , logo

\vec{w}=-\frac{\alpha}{\gamma}\vec{u}-\frac{\beta}{\gamma}\vec{v},

(2.22)

o que mostra que $\vec{w}$ é coplanar aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Recíproca. Se dois dos vetores forem paralelos entre si, o resultado segue da Proposição 2.1.1. Caso contrário, sejam $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ e $r$ a reta paralela a $\vec{v}$ que passa por $A$ . Seja, então, $P$ a interseção entre $r$ e a reta suporte de $\vec{w}$ que passa por $O$ . Logo, existem $\gamma,\beta$ tal que $\gamma\vec{w}=\overrightarrow{OP}$ e $\beta\vec{v}=\overrightarrow{AP}$ . Segue que $\vec{u}+\beta\vec{v}=\gamma\vec{w}$ .

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	$\displaystyle\vec{u}-\vec{u}$	$\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$		(2.13)
	$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=2\vec{v}-\vec{u}$		(2.14)

$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$	$\displaystyle=2\vec{v}-2\vec{v}$	(2.15)
$\displaystyle\vec{u}-2\vec{v}$	$\displaystyle=\vec{0}$	(2.16)
$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=\vec{u}-2\vec{v}$	(2.17)

$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot 2\vec{v}$	(2.18)
$\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}$	$\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$	(2.19)
$\displaystyle\vec{0}$	$\displaystyle=\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}$	(2.20)