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2.1 Combinação Linear

Dados vetores u→1, u→2, …, u→n e números reais c1, c2, …, cn, com n inteiro positivo, chamamos de

u→=c1⁢u→1+c2⁢u→2+⋯+cn⁢u→n (2.1)

uma combinação linear de u→1, u→2, …, u→n. Neste caso, também dizemos que u→ é gerado pelos vetores u→1, u→2, …, u→n ou, equivalentemente, que estes vetores geram o vetor u→.

Exemplo 2.1.1.

Sejam dados os vetores u→, v→, w→ e z→. Então, temos:

  1. a)

    u→1=12⁢v→+2⁢z→ é uma combinação linear dos vetores v→ e z→.

  2. b)

    u2→=u→−2⁢z→ é uma outra combinação linear dos vetores u→ e z→.

  3. c)

    u3→=2⁢u→−w→+π⁢z→ é uma combinação linear dos vetores u→, w→ e z→.

  4. d)

    u4→=32⁢z→ é uma combinação linear do vetor z→.

2.1.1 Interpretação Geométrica

Combinação Linear e Vetores Paralelos

Se u→ é combinação linear não nula de v→ apenas, então u→ é paralelo a v→. De fato, se

u→=α⁢v→, (2.2)

com α≠0, então, por definição da multiplicação por escalar, u→ tem a mesma direção de v→. Em outras palavras, temos a seguinte proposição. Consulte a Figura 2.1.

Refer to caption
Figura 2.1: Combinação linear de vetores paralelos.
Proposição 2.1.1.

(Combinação Linear entre Vetores Paralelos.) Se u→,v→ são vetores não nulos tais que

α⁢u→+β⁢v→=0→, (2.3)

com escalares α,β não simultaneamente nulos, então u→∥v→.

Demonstração.

Sem perda de generalidade, vamos assumir que α≠0. Logo, temos que

u→=−βα⁢v→, (2.4)

o que mostra que u→ têm a mesma direção de v→. ∎

Observação 2.1.1.

(Vetores Paralelos Têm Combinação Não Trivial.) A recíproca da Proposição 2.1.1 é válida, i.e., se u→∥v→ e não nulos, então existem escalares α,β não simultaneamente nulos tais que

α⁢u→+β⁢v→=0→. (2.5)

Consulte o exercício E.2.1.8.

Combinação Linear e Vetores Coplanares

Se w→ é combinação linear não nula de u→ e v→, então w→ é coplanar a estes vetores. De fato, temos

w→=α⁢u→+β⁢w→, (2.6)

com escalares α,β. Se pelo menos um dos u→, v→, α ou β é nulo, então, é certo, que u→, v→ e w→ são coplanares. Caso sejam todos não nulos, α⁢u→=O⁢A→ e β⁢v→=O⁢C→ determinam um plano γ e um paralelogramo O⁢A⁢B⁢C∈γ. Segue que

w→ =α⁢u→+β⁢w→ (2.7)
=O⁢A→+O⁢C→ (2.8)
=O⁢B→∈γ. (2.9)

Concluímos que u→, v→ e w→ são coplanares.

Refer to caption
Figura 2.2: Combinação linear de um vetor.
Proposição 2.1.2.

(Combinação Linear entre Vetores Coplanares.) Vetores u→, v→ e w→ não nulos têm combinação linear não trivial se, e somente se, são coplanares.

Demonstração.

Consulte o E.2.1.9. ∎

2.1.2 Exercícios Resolvidos

ER 2.1.1.

Com base na Figura 2.3, escreva o vetor u→ como combinação linear dos vetores i→ e j→.

Refer to caption
Figura 2.3: Vetor u→ como combinação linear de i→ e j→.
Solução.

Para escrevermos o vetor u→ como combinação linear dos vetores i→ e j→, devemos determinar números c1 e c2 tais que

u→=c1⁢i→+c2⁢j→. (2.10)

Com base na Figura 2.3, podemos tomar c1=3 e c2=2, i.e. temos

u→=3⁢i→+2⁢j→. (2.11)
ER 2.1.2.

Sabendo que u→=2⁢v→, forneça três maneiras de escrever o vetor nulo 0→ como combinação linear dos vetores u→ e v→.

Solução.

Dado que

u→=2⁢v→ (2.12)

podemos escrever 0→ como combinação linear de u→ e v→ das seguintes formas:

  1. a)

    subtraindo u→.

    u→−u→ =2⁢v→−u→ (2.13)
    0→ =2⁢v→−u→ (2.14)
  2. b)

    subtraindo 2⁢v→.

    u→−2⁢v→ =2⁢v→−2⁢v→ (2.15)
    u→−2⁢v→ =0→ (2.16)
    0→ =u→−2⁢v→ (2.17)
  3. c)

    multiplicando por 1/2 e subtraindo −(1/2)⁢u→.

    12⁢u→ =12⋅2⁢v→ (2.18)
    12⁢u→−12⁢u→ =v→−12⁢u→ (2.19)
    0→ =v→−12⁢u→ (2.20)

2.1.3 Exercícios

E. 2.1.1.

Com base na figura abaixo, escreva cada um dos seguintes vetores como combinação linear de i→ e j→.

[Uncaptioned image]
  1. a)

    u→.

  2. b)

    v→.

  3. c)

    w→.

  4. d)

    x→.

Resposta.

a) u→=2⁢i→+3⁢j→. b) v→=−2⁢i→+2⁢j→. c) w→=−2⁢i→−j→. d) x→=3⁢i→−j→.

E. 2.1.2.

Com base na figura abaixo, escreva os seguintes vetores como combinação linear de x→ e y→.

[Uncaptioned image]
  1. a)

    u→.

  2. b)

    v→.

  3. c)

    w→.

  4. d)

    z→.

Resposta.

a) u→=−2⁢x→+32⁢y→. b) v→=2⁢x→+y→. c) w→=2⁢x→−12⁢y→. d) z→=−3⁢x→−12⁢y→.

E. 2.1.3.

Sabendo que u→=3⁢w→+v→, escreva w→ como combinação linear de u→ e v→.

Resposta.

w→=13⁢u→−13⁢v→

E. 2.1.4.

Sejam u→ e v→ vetores de mesma direção e w→ um vetor não paralelo a u→, todos não nulos. Pode-se escrever w→ como combinação linear de u→ e v→? Justifique sua resposta.

Resposta.

Não.

E. 2.1.5.

Sejam u→ e v→ ambos não nulos e de mesma direção. Pode-se afirmar que u→ gera v→? Justifique sua resposta.

Resposta.

Sim.

E. 2.1.6.

Sejam u→ e v→ vetores não paralelos entre si e w→ um vetor não coplanar a u→ e v→, todos não nulos. É possível gerar w→ com u→ e v→?

Resposta.

Não.

E. 2.1.7.

Sejam u→ e v→ não nulos, coplanares e com direções distintas. Se w→ é um vetor também coplanar a u→ e v→, então u→ e v→ geram w→? Justifique sua resposta.

Resposta.

Sim.

E. 2.1.8.

Mostre que se u→,v→ são vetores não nulos e paralelos entre si, então existem escalares α,β não simultaneamente nulos tais que

α⁢u→+β⁢v→=0→. (2.21)
Resposta.

Sem perda de generalidade, existe γ≠0 tal que u→=γ⁢v→. Logo, escolhendo α=1 e β=−γ, temos que α⁢u→+β⁢v→=0→.

E. 2.1.9.

Faça a demonstração da Proposição 2.1.2.

Resposta.

Implicação. Sem perda de generalidade, assumimos que γ≠0, logo

w→=−αγ⁢u→−βγ⁢v→, (2.22)

o que mostra que w→ é coplanar aos vetores u→ e v→.

Recíproca. Se dois dos vetores forem paralelos entre si, o resultado segue da Proposição 2.1.1. Caso contrário, sejam u→=O⁢A→ e r a reta paralela a v→ que passa por A. Seja, então, P a interseção entre r e a reta suporte de w→ que passa por O. Logo, existem γ,β tal que γ⁢w→=O⁢P→ e β⁢v→=A⁢P→. Segue que u→+β⁢v→=γ⁢w→.

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