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2 Bases e Coordenadas 2.2 Dependência Linear 2.4 Mudança de base

2.3 Bases e Coordenadas

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Seja $V$ o conjunto de todos os vetores no espaço tridimensional. Conforme discutido na Seção 2.2, se $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i., então qualquer vetor $\vec{u}\in V$ pode ser escrito como uma combinação linear destes vetores, i.e. existem escalares $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ tal que

\vec{u}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}.

(2.49)

Isso motiva a seguinte definição: uma base de $V$ é uma sequência de três vetores l.i. de $V$ .

A seguinte proposição vai nos fornecer a noção de coordenadas no espaço.

Proposição 2.3.1.

Seja $B=\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)$ uma base de $V$ . Então, dado qualquer $\vec{u}\in V$ , existe uma única tripla de escalares $\left(\alpha,\beta,\gamma\right)$ tais que

\vec{u}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}.

(2.50)

Demonstração.

A existência dos escalares $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ segue imediatamente do fato de que $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i. e, portanto, $\vec{u}$ pode ser escrito como uma combinação linear destes vetores (Consulte a Subseção 2.2.3).

Agora, para verificar a unicidade de $\left(\alpha,\beta,\gamma\right)$ , suponhamos que existam $\alpha^{\prime}$ , $\beta^{\prime}$ e $\gamma^{\prime}$ tais que

\vec{u}=\alpha^{\prime}\vec{a}+\beta^{\prime}\vec{b}+\gamma^{\prime}\vec{c}.

(2.51)

Subtraindo (2.51) de (2.50), obtemos

\vec{0}=(\alpha-\alpha^{\prime})\vec{a}+(\beta-\beta^{\prime})\vec{b}+(\gamma-% \gamma^{\prime})\vec{c}.

(2.52)

Como $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i., segue que⁸⁸endnote: ⁸Pela definição de vetores linearmente independentes, consulte Seção 2.2.

\alpha-\alpha^{\prime}=0,\leavevmode\nobreak\ \beta-\beta^{\prime}=0,% \leavevmode\nobreak\ \gamma-\gamma^{\prime}=0,

(2.53)

i.e. $\alpha=\alpha^{\prime}$ , $\beta=\beta^{\prime}$ e $\gamma=\gamma^{\prime}$ . ∎

Refer to caption — Figura 2.7: Representação de um vetor $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$ em uma dada base $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ .

Desta última proposição, fixada uma base $B=\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)$ , cada vetor $\vec{u}$ é representado de forma única como combinação linear dos vetores da base, digamos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}=u_{1}% \vec{a}+u_{2}\vec{b}+u_{3}\vec{c},

(2.54)

onde a sequência de escalares $(u_{1},u_{2},u_{3})$ é chamada de coordenadas do vetor $\vec{u}$ na base $B$ e escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}=(u_{1}% ,u_{2},u_{3})_{B},

(2.55)

para expressar o vetor $\vec{u}$ nas suas coordenadas na base $B$ . Consulte a Figura 2.7.

Exemplo 2.3.1.

Fixada uma base $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ , o vetor $\vec{u}$ de coordenadas

\vec{u}=(-2,\sqrt{2},-3)_{B}

(2.56)

é o vetor

\vec{u}=-2\vec{a}+\sqrt{2}\vec{b}-3\vec{c}.

(2.57)

2.3.1 Operações de Vetores com Coordenadas

Na Seção 1.2, definimos as operações de adição, subtração e multiplicação por escalar do ponto de vista geométrico. Aqui, estudamos como estas operações são definidas a partir das coordenadas de vetores.

A partir daqui, assumimos dada uma base de vetores $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ .

Adição

Dados vetores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})_{B}$ , i.e.

	$\displaystyle\vec{u}$	$\displaystyle=u_{1}\vec{a}+u_{2}\vec{b}+u_{3}\vec{c},$		(2.58)
	$\displaystyle\vec{v}$	$\displaystyle=v_{1}\vec{a}+v_{2}\vec{b}+v_{3}\vec{c},$		(2.59)

a adição de $\vec{u}$ com $\vec{v}$ é a soma

$\displaystyle\vec{u}+\vec{v}$	$\displaystyle=\underbrace{u_{1}\vec{a}+u_{2}\vec{b}+u_{3}\vec{c}}_{\vec{u}}$
	$\displaystyle\quad+\underbrace{v_{1}\vec{a}+v_{2}\vec{b}+v_{3}\vec{c}}_{\vec{v}}$	(2.60)
	$\displaystyle=(u_{1}+v_{1})\vec{a}+(u_{2}+v_{2})\vec{b}+(u_{3}+v_{3})\vec{c}.$	(2.61)

Ou seja,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}+\vec{v% }=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},u_{3}+v_{3})_{B}.

(2.62)

Exemplo 2.3.2.

A adição do vetor

\vec{u}=(2,-1,-3)_{B}

(2.63)

com o vetor

\vec{v}=(-1,4,-5)_{B}

(2.64)

resulta no vetor

	$\displaystyle\vec{u}+\vec{v}$	$\displaystyle=\left(2+(-1),-1+4,-3+(-5)\right)_{B}$		(2.65)
		$\displaystyle=(1,3,-8)_{B}.$		(2.66)

Vetor Oposto

O vetor oposto ao vetor $\vec{u}$ é

	$\displaystyle-\vec{u}$	$\displaystyle=-(\underbrace{u_{1}\vec{a}+u_{2}\vec{b}+u_{3}\vec{c}}_{\vec{u}})$		(2.67)
		$\displaystyle=(-u_{1})\vec{a}+(-u_{2})\vec{b}+(-u_{3})\vec{c},$		(2.68)

ou seja,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-\vec{u}=(-u_{% 1},-u_{2},-u_{3})_{B}.

(2.69)

Exemplo 2.3.3.

Dado o vetor $\vec{v}=(2,-1,-3)_{B}$ , temos

-\vec{v}=\left(-2,1,3\right)_{B}.

(2.70)

Subtração de Vetores

Lembrando que subtração de $\vec{u}$ com $\vec{v}$ é definida por

\vec{u}-\vec{v}:=\vec{u}+(-\vec{v}),

(2.71)

temos que

$\displaystyle\vec{u}-\vec{v}$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$
	$\displaystyle\quad-(v_{1},v_{2},v_{3})_{B}$	(2.72)
	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$
	$\displaystyle\quad+(-v_{1},-v_{2},-v_{3})_{B}$	(2.73)
	$\displaystyle=\left(u_{1}+(-v_{1}),u_{2}+(-v_{2}),u_{3}+(-v_{3})\right)$	(2.74)
	$\displaystyle=(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},u_{3}-v_{3}).$	(2.75)

Em resumo, a subtração de $\vec{u}$ com $\vec{v}$ é o vetor

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\vec{u}-\vec{v% }=(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},u_{3}-v_{3}).

(2.76)

Exemplo 2.3.4.

Sejam os vetores

\vec{u}=(2,-1,-3)_{B}

(2.77)

\vec{v}=(-1,4,-5)_{B},

(2.78)

temos que

	$\displaystyle\vec{u}-\vec{v}$	$\displaystyle=\left(2-(-1),-1-4,-3-(-5)\right)_{B}$		(2.79)
		$\displaystyle=(3,-5,2)_{B}.$		(2.80)

Multiplicação por Escalar

Dado um escalar $\alpha$ e um vetor $\vec{u}$ , temos a multiplicação por escalar

	$\displaystyle\alpha\vec{u}$	$\displaystyle=\alpha(\underbrace{u_{1}\vec{a}+u_{2}\vec{b}+u_{3}\vec{c}}_{\vec% {u}})$		(2.81)
		$\displaystyle=(\alpha u_{1})\vec{a}+(\alpha u_{2})\vec{b}+(\alpha u_{3})\vec{c},$		(2.82)

ou seja,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\alpha\vec{u}=% (\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{3}).

(2.83)

Exemplo 2.3.5.

Dado o vetor $\vec{v}=(2,-1,-3)_{B}$ , temos

$\displaystyle-\frac{1}{3}\vec{v}$	$\displaystyle=-\frac{1}{3}(2,-1,-3)_{B}$	(2.84)
	$\displaystyle=\left(-\frac{1}{3}\cdot 2,-\frac{1}{3}\cdot(-1),-\frac{1}{3}% \cdot(-3)\right)$	(2.85)
	$\displaystyle=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},1\right)_{B}.$	(2.86)

2.3.2 Dependência linear

Vamos estudar como podemos analisar a dependência linear de vetores a partir de suas coordenadas. Assumimos fixada uma base $B=\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)$ .

Dois vetores

Na Proposição 2.2.1, provamos que dois vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ são linearmente dependentes (l.d.) se, e somente se, um for múltiplo do outro, i.e. existe um número real $\alpha$ tal que

\vec{u}=\alpha\vec{v},

(2.87)

sem perda de generalidade⁹⁹endnote: ⁹Formalmente, pode ocorrer $\vec{v}=\beta\vec{u}$ .. Em coordenadas, temos

	$\displaystyle(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$	$\displaystyle=\alpha(v_{1},v_{2},v_{3})_{B}$		(2.88)
		$\displaystyle=(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\alpha v_{3})_{B},$		(2.89)

donde

$\displaystyle u_{1}$	$\displaystyle=\alpha v_{1},$	(2.90)
$\displaystyle u_{2}$	$\displaystyle=\alpha v_{2},$	(2.91)
$\displaystyle u_{3}$	$\displaystyle=\alpha v_{3}.$	(2.92)

Concluímos que dois vetores são l.d. se, e somente se, as coordenadas de um deles forem, respectivamente, múltiplas (de mesmo fator) das coordenadas do outro.

Exemplo 2.3.6.

Estudamos os seguintes casos:

a)

Dois vetores l.d..

Sejam

$\vec{u}=(2,-1,-3)_{B}$ (2.93)

e

$\vec{v}=\left(1,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)_{B}.$ (2.94)

Ao buscarmos por um escalar $\alpha$ tal que

$\vec{u}=\alpha\vec{v},$ (2.95)

temos

$\displaystyle\underbrace{(2,-1,-3)_{B}}_{\vec{u}}$ $\displaystyle=\alpha\underbrace{\left(1,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)_{B}}_% {\vec{v}}$ (2.96)

$\displaystyle=\left(\alpha-\frac{\alpha}{2},-\frac{3\alpha}{2}\right)_{B},$ (2.97)

donde segue que

$\displaystyle 2=\alpha$ $\displaystyle\Rightarrow\alpha=2$ (2.98)

$\displaystyle-1=-\frac{\alpha}{2}$ $\displaystyle\Rightarrow\alpha=2$ (2.99)

$\displaystyle-3=-\frac{3\alpha}{2}$ $\displaystyle\Rightarrow\alpha=2.$ (2.100)

Concluímos que $\vec{u}=2\vec{v}$ , logo $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d..
b)

Dois vetores l.i..

Sejam, agora, os vetores

$\vec{u}=(2,-1,-3)$ (2.101)

e

$\vec{v}=\left(2,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right).$ (2.102)

Buscando por $\alpha$ tal que

$\vec{u}=\alpha\vec{v},$ (2.103)

chegamos no sistema de equações

$\left\{\begin{array}[]{l}\displaystyle 2=2\alpha\\ \displaystyle-1=-\frac{\alpha}{2}\\ \displaystyle-3=-\frac{3\alpha}{2}\end{array}\right.$ (2.104)

que não tem solução. De fato, na primeira equação $\alpha=1$ , mas na segunda $\alpha=2$ , logo não existe $\alpha$ tal que $\vec{u}=\alpha\vec{v}$ . Concluímos que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i..

Três Vetores

Na Subseção 2.2.2, estudamos que três vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são linearmente independentes (l.i.), quando

		$\displaystyle\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}$		(2.105)
		$\displaystyle\Rightarrow\alpha=\beta=\gamma=0.$		(2.105)

Assumimos fixada uma base $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ no espaço. Então, temos que

\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}

(2.106)

é equivalente a

	$\displaystyle\alpha(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$
	$\displaystyle+\beta(v_{1},v_{2},v_{3})_{B}$
	$\displaystyle+\gamma(w_{1},w_{2},w_{3})_{B}$
	$\displaystyle=(0,0,0)_{B}.$		(2.107)

ou, ainda,

	$\displaystyle\left(\alpha u_{1}+\beta v_{1}+\gamma w_{1},\right.$
	$\displaystyle\left.\leavevmode\nobreak\ \alpha u_{2}+\beta v_{2}+\gamma w_{2},\right.$
	$\displaystyle\left.\leavevmode\nobreak\ \alpha u_{3}+\beta v_{3}+\gamma w_{3}% \right)_{B}$
	$\displaystyle=(0,0,0)_{B}.$		(2.108)

Esta, por sua vez, nos leva ao seguinte sistema linear

\left\{\begin{array}[]{l}u_{1}\alpha+v_{1}\beta+w_{1}\gamma=0\\ u_{2}\alpha+v_{2}\beta+w_{2}\gamma=0\\ u_{3}\alpha+v_{3}\beta+w_{3}\gamma=0\end{array}\right.

(2.109)

Agora, lembremos que um tal sistema tem solução única¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰Neste caso, a solução trivial $\alpha=\beta=\gamma=0$ se, e somente se, o determinante de sua matriz dos coeficientes é não nulo, i.e.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\begin{vmatrix% }u_{1}&v_{1}&w_{1}\\ u_{2}&v_{2}&w_{2}\\ u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}\neq 0.

(2.110)

Neste caso, concluímos que $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ é um conjunto de vetores l.i. e, noutro caso, é l.d..

Exemplo 2.3.7.

Os vetores

\displaystyle\vec{u}

\displaystyle=(2,1,-3)_{B},\vec{v}

\displaystyle=(1,-1,2)_{B},\vec{w}

\displaystyle=(-2,1,1)_{B},

(2.111)

formam um conjunto l.d., pois

$\displaystyle\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\ u_{2}&v_{2}&w_{2}\\ u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}2&1&-2\\ 1&-1&1\\ -3&2&1\end{vmatrix}$	(2.118)
	$\displaystyle=-2-4-3+6-4-1$	(2.119)
	$\displaystyle=-8\neq 0.$	(2.120)

2.3.3 Bases Ortonormais

Uma base $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é dita ser ortonormal¹¹¹¹endnote: ¹¹Quando $\vec{u}$ ortogonal a $\vec{v}$ , denotamos $\vec{u}\perp\vec{v}$ ., quando

•

$\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são dois a dois ortogonais, e
•

$\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1$ .

Lema 2.3.1.

(Pitágoras¹²¹²endnote: ¹²Pitágoras de Samos, c.570, c. 495 a.C., matemático grego jônico. Fonte: Wikipédia:Pitágoras..) Se $\vec{u}\perp\vec{v}$ , então

\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}.

(2.121)

Demonstração.

Consulte o E.2.3.7. ∎

Proposição 2.3.1.

Seja $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ uma base ortonormal e $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$ . Então,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\vec{u}\|=% \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}.

(2.122)

Demonstração.

Temos $\|\vec{u}\|^{2}=\|u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k}\|^{2}$ . Seja $\pi$ um plano determinado por dadas representações de $\vec{i}$ e $\vec{j}$ . Como $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são ortogonais, temos que $\vec{k}$ é ortogonal ao plano $\pi$ . Além disso, o vetor $u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}$ também admite uma representação em $\pi$ , logo $u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}$ é ortogonal a $\vec{k}$ . Do Lema 12, temos

\|\vec{u}\|^{2}=\|u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}\|^{2}+\|u_{3}\vec{k}\|^{2}.

(2.123)

Analogamente, como $u_{1}\vec{i}\perp u_{2}\vec{j}$ , temos

$\displaystyle\\|\vec{u}\\|^{2}$	$\displaystyle=\\|u_{1}\vec{i}\\|^{2}+\\|u_{2}\vec{j}\\|^{2}+\\|u_{3}\vec{k}\\|^{2}$	(2.124)
	$\displaystyle=\|u_{1}\|^{2}\\|\vec{i}\\|+\|u_{2}\|^{2}\\|\vec{j}\\|+\|u_{3}\|\\|\vec{k}\\|% ^{2}$	(2.125)
	$\displaystyle=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.$	(2.126)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da última equação, obtemos o resultado desejado. ∎

A partir daqui, salvo dito o contrário, vamos assumir fixada uma base ortonormal $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ e, por simplicidade, escrevemos

	$\displaystyle\vec{u}$	$\displaystyle=(u_{1},u_{2},u_{3})$		(2.127)
		$\displaystyle=u_{1}\vec{i}+u_{2}\vec{j}+u_{3}\vec{k}.$		(2.128)

Exemplo 2.3.8.

A norma de $\vec{u}=\left(-1,2,-\sqrt{2}\right)$ é

	$\displaystyle\\|\vec{u}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+\left(-\sqrt{2}\right)^{2}}$		(2.129)
		$\displaystyle=\sqrt{7}.$		(2.130)

2.3.4 Exercícios Resolvidos

ER 2.3.1.

Considere a base $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ ortonormal conforme dada na Figura 2.8. Faça uma representação do vetor

\vec{u}=\left(2,\frac{1}{2},1\right)_{B}.

(2.131)

Solução.

Primeiramente, observamos que

	$\displaystyle\vec{u}$	$\displaystyle=\left(2,\frac{1}{2},1\right)_{B}$		(2.132)
		$\displaystyle=2\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}+\vec{k}.$		(2.133)

Assim sendo, podemos construir uma representação de $\vec{u}$ como dada na figura abaixo. Primeiramente, representamos os vetores $2\vec{i}$ e $\frac{1}{2}\vec{j}$ (cinza). Então, representamos o vetor $2\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}$ (cinza). Por fim, temos a representação de $\vec{u}$ (vermelho).

ER 2.3.2.

Fixada uma base qualquer $B$ e dados $\vec{u}=(1,-1,2)_{B}$ e $\vec{v}=(-2,1,-1)_{B}$ , encontre o vetor $\vec{x}$ que satisfaça

\vec{u}+2\vec{x}=\vec{v}-\left(\vec{x}+\vec{u}\right).

(2.134)

Solução.

Primeiramente, podemos manipular a equação de forma a isolarmos $\vec{x}$ como segue

	$\displaystyle\vec{u}+2\vec{x}=\vec{v}-\left(\vec{x}+\vec{u}\right)$		(2.135)
	$\displaystyle 2\vec{x}=-\vec{u}+\vec{v}-\vec{x}-\vec{u}$		(2.136)
	$\displaystyle 3\vec{x}=\vec{v}-2\vec{u}$		(2.137)
	$\displaystyle\vec{x}=\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{2}{3}\vec{u}$		(2.138)

Agora, sabendo que $\vec{u}=(1,-1,2)_{B}$ e $\vec{v}=(-2,1,-1)_{B}$ , temos

	$\displaystyle\vec{x}=\frac{1}{3}(-2,1,-1)_{B}-\frac{2}{3}(1,-1,2)_{B}$		(2.139)
	$\displaystyle\vec{x}=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)_{B}-% \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)_{B}$		(2.140)
	$\displaystyle\vec{x}=\left(-\frac{2}{3}-\frac{2}{3},\frac{1}{3}+\frac{2}{3},-% \frac{1}{3}-\frac{4}{3}\right)$		(2.141)
	$\displaystyle\vec{x}=\left(-\frac{4}{3},1,-\frac{5}{3}\right)_{B}.$		(2.142)

ER 2.3.3.

Fixada uma base $B$ qualquer, verifique se os vetores $\vec{u}=(1,-1,2)_{B}$ , $\vec{v}=(-2,1,-1)_{B}$ e $\vec{w}=(-4,3,-5)$ também formam um base para o espaço de vetores.

Solução.

Uma base para o espaço tridimensional $V$ é uma sequência de três vetores l.i.. Logo, para resolver a questão, basta verificar se $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ é l.i.. Com base na Subseção 2.3.2, basta calcularmos o determinante da matriz cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores da sequência, i.e.

	$\displaystyle\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\ u_{2}&v_{2}&w_{2}\\ u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}$		(2.146)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}1&-2&-4\\ -1&1&3\\ 2&-1&-5\end{vmatrix}$		(2.150)
	$\displaystyle=-5-4-12-(-8-3-10)$		(2.151)
	$\displaystyle=-21+21=0.$		(2.152)

Como este determinante é nulo, concluímos que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ é l.d. e, portanto, não forma uma base para $V$ .

2.3.5 Exercícios

E. 2.3.1.

Considere a base $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ conforme dada na Figura 2.8. Faça um esboço do vetor $\vec{u}=\left(1,-1,\frac{1}{2}\right)_{B}$ .

E. 2.3.2.

Fixada uma base $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ e sabendo que $\vec{v}=(2,0,-3)_{B}$ , escreva $\vec{v}$ como combinação linear de $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ .

Resposta.

$\vec{v}=2\vec{i}+0\vec{j}-3\vec{k}$

E. 2.3.3.

Fixada uma base $B$ qualquer e $\vec{a}=\left(0,-1,1\right)_{B}$ , $\vec{b}=\left(2,0,-1\right)_{B}$ e $\vec{c}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3},1\right)_{B}$ , calcule:

a)

$6\vec{c}$
b)

$-\vec{b}$
c)

$\vec{c}-\vec{b}$
d)

$2\vec{c}-(\vec{a}-\vec{b})$

Resposta.

a) $6\vec{c}=(3,-2,6)_{B}$ ; b) $-\vec{b}=(-2,0,1)_{B}$ ; c) $\vec{c}-\vec{b}=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{3},2)_{B}$ ; d) $2\vec{c}-(\vec{a}-\vec{b})=(3,\frac{1}{3},0)_{B}$

E. 2.3.4.

Faxada uma base $B$ qualquer, verifique se os seguintes conjuntos de vetores são l.i. ou l.d..

a)

$\vec{i}=(1,0,0)_{B}$ , $\vec{j}=(0,1,0)_{B}$
b)

$\vec{a}=(1,2,0)_{B}$ , $\vec{b}=(-2,-4,1)_{B}$
c)

$\vec{a}=(1,2,0)_{B}$ , $\vec{c}=(-2,-4,0)_{B}$
d)

$\vec{i}=(1,0,0)_{B}$ , $\vec{k}=(0,0,1)_{B}$
e)

$\vec{j}=(0,1,0)_{B}$ , $\vec{k}=(0,0,1)_{B}$
f)

$\vec{a}=(1,2,-1)_{B}$ , $\vec{d}=(\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2})_{B}$

Resposta.

a) l.i.; b) l.i.; c) l.d.; d) l.i.; e) l.i.; f) l.d.

E. 2.3.5.

Faxada uma base $B$ qualquer, verifique se os seguintes conjuntos de vetores são l.i. ou l.d..

a)

$\vec{i}=(1,0,0)_{B}$ , $\vec{j}=(0,1,0)_{B}$ , $\vec{k}=(0,0,1)_{B}$
b)

$\vec{a}=(0,-1,1)_{B}$ , $\vec{b}=(2,0,-1)$ , $\vec{c}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{3},1)_{B}$
c)

$\vec{u}=(0,-1,1)_{B}$ , $\vec{v}=(2,0,-1)$ , $\vec{w}=(2,-1,0)_{B}$

Resposta.

a) l.i.; b) l.i.; c) l.d.

E. 2.3.6.

Seja $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ uma base ortogonal, i.e. $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são l.i. e dois a dois ortogonais. Mostre que $C=(\vec{a}/|\vec{a}|,\vec{b}/|\vec{b}|,\vec{c}/|\vec{c}|)$ é uma base ortonormal.

Resposta.

Segue imediatamente do fato de que $\left|\vec{u}/|u|\right|=1$ para qualquer vetor $\vec{u}\neq 0$ .

E. 2.3.7.

Demostre o Lema 12.

Resposta.

Sejam as representações $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$ e, portanto, $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ . Como $\vec{u}\perp\vec{v}$ , temos que o triângulo $A B C$ é retângulo e, pelo Teorema de Pitágoras, segue que $\|\overrightarrow{AC}\|^{2}=\|\overrightarrow{AB}\|^{2}+\|\overrightarrow{BC}% \|^{2}$ . Logo, $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}$ .

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	$\displaystyle\underbrace{(2,-1,-3)_{B}}_{\vec{u}}$	$\displaystyle=\alpha\underbrace{\left(1,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)_{B}}_% {\vec{v}}$		(2.96)
		$\displaystyle=\left(\alpha-\frac{\alpha}{2},-\frac{3\alpha}{2}\right)_{B},$		(2.97)

$\displaystyle 2=\alpha$	$\displaystyle\Rightarrow\alpha=2$	(2.98)
$\displaystyle-1=-\frac{\alpha}{2}$	$\displaystyle\Rightarrow\alpha=2$	(2.99)
$\displaystyle-3=-\frac{3\alpha}{2}$	$\displaystyle\Rightarrow\alpha=2.$	(2.100)