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2 Bases e Coordenadas 2.3 Bases e Coordenadas 3 Produtos

2.4 Mudança de base

Em revisão

Sejam $B=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ e $C=(\vec{r},\vec{s},\vec{t})$ bases do espaço $V$ . Conhecendo as coordenadas de um vetor na base $C$ , queremos determinar suas coordenadas na base $B$ . Mais especificamente, seja

	$\displaystyle\vec{z}$	$\displaystyle=(z_{1},z_{2},z_{3})_{C}$		(2.153)
		$\displaystyle=z_{1}\vec{r}+z_{2}\vec{s}+z_{3}\vec{t}.$		(2.154)

Agora, tendo $\vec{r}=(r_{1},r_{2},r_{3})_{B}$ , $\vec{s}=(s_{1},s_{2},s_{3})_{B}$ e $\vec{t}=(t_{1},t_{2},t_{3})_{B}$ , então

$\displaystyle(z_{1},z_{2},z_{3})_{C}$	$\displaystyle=z_{1}(r_{1},r_{2},r_{3})_{B}$	(2.155)
	$\displaystyle+z_{2}(s_{1},s_{2},s_{3})_{B}$	(2.156)
	$\displaystyle+z_{3}(t_{1},t_{2},t_{3})_{B}$	(2.157)
	$\displaystyle=\underbrace{(r_{1}z_{1}+s_{1}z_{2}+t_{1}z_{3})}_{z_{1}^{\prime}}% \vec{u}$	(2.158)
	$\displaystyle+\underbrace{(r_{2}z_{1}+s_{2}z_{2}+t_{2}z_{3})}_{z_{2}^{\prime}}% \vec{v}$	(2.159)
	$\displaystyle+\underbrace{(r_{3}z_{1}+s_{3}z_{2}+t_{3}z_{3})}_{z_{3}^{\prime}}% \vec{w}$	(2.160)

o que é equivalente a

\begin{bmatrix}z_{1}^{\prime}\\ z_{2}^{\prime}\\ z_{3}^{\prime}\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}r_{1}&s_{1}&t_{1}\\ r_{2}&s_{2}&t_{2}\\ r_{3}&s_{3}&t_{3}\end{bmatrix}}_{M_{CB}}\begin{bmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\end{bmatrix},

(2.161)

onde $\vec{z}=(z_{1}^{\prime},z_{2}^{\prime},z_{3}^{\prime})_{B}$ .

A matriz $M_{CB}$ é chamada de matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Como os vetores $\vec{r}$ , $\vec{s}$ e $\vec{t}$ são l.i., temos que a matriz de mudança de base $M_{BC}$ tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Portanto, multiplicando por $M_{BC}^{-1}$ pela esquerda em (2.161), temos

\begin{bmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}r_{1}&s_{1}&t_{1}\\ r_{2}&s_{2}&t_{2}\\ r_{3}&s_{3}&t_{3}\end{bmatrix}^{-1}}_{M_{BC}}\begin{bmatrix}z_{1}^{\prime}\\ z_{2}^{\prime}\\ z_{3}^{\prime}\end{bmatrix},

(2.162)

ou seja

M_{BC}=(M_{CB})^{-1}.

(2.163)

Exemplo 2.4.1.

Sejam dadas as bases $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ , com $\vec{u}=(1,2,0)_{B}$ , $\vec{v}=(2,0,-1)_{B}$ e $\vec{w}=(-1,-3,1)_{B}$ . Seja, ainda, o vetor $\vec{z}=(1,-2,1)_{B}$ . Vamos encontrar as coordenadas de $\vec{z}$ na base $C$ .

Há duas formas de proceder.

Método 1.

A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação

(1,-2,1)_{B}=(x,y,z)_{C}.

(2.164)

Esta é equivalente a

$\displaystyle\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$	$\displaystyle=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$	(2.165)
	$\displaystyle=x(1,2,0)_{B}$	(2.166)
	$\displaystyle+y(2,0,-1)_{B}$	(2.167)
	$\displaystyle+z(-1,-3,1)_{B}$	(2.168)
	$\displaystyle=x(\vec{a}+2\vec{b})$	(2.169)
	$\displaystyle+y(2\vec{a}-\vec{c})$	(2.170)
	$\displaystyle+z(-\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c})$	(2.171)
	$\displaystyle=(x+2y-z)\vec{a}$	(2.172)
	$\displaystyle+(2x-3z)\vec{b}$	(2.173)
	$\displaystyle+(-y+z)\vec{c}$	(2.174)

Isto nos leva ao seguinte sistema linear

\left\{\begin{array}[]{l}x+2y-z=1\\ 2x-3z=-2\\ -y+z=1\end{array}\right.

(2.175)

Resolvendo este sistema, obtemos $x=7/5$ , $y=3/5$ e $z=8/5$ , i.e.

\vec{z}=\left(\frac{7}{5},\frac{3}{5},\frac{8}{5}\right)_{C}.

(2.176)

Método 2.

Outra maneira de se obter as coordenadas de $\vec{z}$ na base $C$ é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base $C$ para a base $B$ é

	$\displaystyle M_{CB}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\ u_{2}&v_{2}&w_{2}\\ u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{bmatrix}$		(2.180)
		$\displaystyle=\begin{bmatrix}1&2&-1\\ 2&0&-3\\ 0&-1&1\end{bmatrix}.$		(2.184)

Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de $B$ para $C$ . Portanto, calculamos a matriz de mudança de base $M_{BC}$ . Segue:

	$\displaystyle M_{BC}=M_{CB}^{-1}$		(2.185)
	$\displaystyle M_{BC}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\ 2&0&-3\\ 0&-1&1\end{bmatrix}^{-1}$		(2.189)
	$\displaystyle M_{BC}=\begin{bmatrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{bmatrix}$		(2.193)

Com esta matriz e denotando $\vec{z}=(x,y,z)_{C}$ , temos

	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}% \\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{bmatrix}}_{M_{BC}}\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}$		(2.203)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7/5\\ 3/5\\ 8/5\end{bmatrix}$		(2.210)

Logo, temos

\vec{z}=\left(\frac{7}{5},\frac{3}{5},\frac{8}{5}\right)_{C}.

(2.211)

Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Sejam $B$ e $C$ bases dadas do espaço $V$ . Sabendo que a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ é

M=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix},

(2.212)

calcule a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ .

Solução.

Sejam $M_{BC}=M$ a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ e $M_{CB}$ a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Temos

	$\displaystyle M_{CB}=M_{BC}^{-1}$		(2.213)
	$\displaystyle M_{CB}=M^{-1}$		(2.214)
	$\displaystyle M_{CB}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix}^{-1}$		(2.218)
	$\displaystyle M_{CB}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ -\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{bmatrix}$		(2.222)

ER 2.4.2.

Fixadas as mesmas bases do ER 2.4.1, determine as coordenadas do vetor $\vec{u}$ na base $C$ , sabendo que $\vec{u}=(2,-1,-3)_{B}$ .

Solução.

Denotando $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})_{B}$ , temos

	$\displaystyle\vec{u}_{C}=M_{BC}\vec{u}_{B}$		(2.223)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\ -1\\ -3\end{bmatrix}$		(2.233)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\ -3\\ -2\end{bmatrix}$		(2.240)

ER 2.4.3.

Considere dadas as bases $A$ , $B$ e $C$ . Sejam, também, $M_{AB}$ a matriz de mudança de base de $A$ para $B$ e $M_{BC}$ a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ . Determine a matriz de mudança de base de $A$ para $C$ em função das matrizes $M_{AB}$ e $M_{BC}$ .

Solução.

Para um vetor $\vec{u}$ qualquer, temos

	$\displaystyle\vec{u}_{B}=M_{AB}\vec{u}_{A}$		(2.241)
	$\displaystyle\vec{u}_{C}=M_{BC}\vec{u}_{B}$		(2.242)

Logo, temos

	$\displaystyle\vec{u}_{C}$	$\displaystyle=M_{BC}\left(M_{AB}\vec{u}_{A}\right)$		(2.243)
		$\displaystyle=\left(M_{BC}M_{AB}\right)\vec{u}_{A}.$		(2.244)

Concluímos que $M_{AC}=M_{BC}M_{AB}$ .

Exercícios

E. 2.4.1.

Sejam $A$ e $B$ bases dadas de $V$ (espaço tridimensional). Sabendo que $\vec{v}=(-2,0,1)_{A}$ e que a matriz de mudança de base

M_{AB}=\begin{matrix}1&0&-1\\ 0&2&-1\\ -1&1&0\end{matrix},

(2.245)

determine $\vec{v}_{B}$ , i.e. as coordenadas de $\vec{v}$ na base $B$ .

Resposta.

$\vec{v}=(-3,-1,2)_{B}$

E. 2.4.2.

Sejam $A$ e $B$ bases dadas de $V$ (espaço tridimensional). Sabendo que $\vec{v}=(-2,0,1)_{B}$ e que a matriz de mudança de base

M_{AB}=\begin{matrix}1&0&-1\\ 0&2&-1\\ -1&1&0\end{matrix},

(2.246)

determine $\vec{v}_{A}$ , i.e. as coordenadas de $\vec{v}$ na base $A$ .

Resposta.

$\vec{v}=(0,1,2)_{A}$

E. 2.4.3.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.247)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.248)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.249)

Forneça a matriz de mudança de base $M_{CB}$ .

Resposta.

$\displaystyle\begin{bmatrix}0&1&2\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\end{bmatrix}$

E. 2.4.4.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{a}=(0,1,1)_{C}$		(2.250)
	$\displaystyle\vec{b}=(1,0,1)_{C}$		(2.251)
	$\displaystyle\vec{c}=(2,1,-1)_{C}$		(2.252)

Forneça a matriz de mudança de base $M_{CB}$ .

Resposta.

$\displaystyle\begin{bmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{bmatrix}$

E. 2.4.5.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.253)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.254)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.255)

Sabendo que $\vec{d}=(0,-1,2)_{C}$ , forneça $\vec{d}_{B}$ , i.e. as coordenadas do vetor $\vec{d}$ na base $B$ .

Resposta.

$\displaystyle\left[\begin{matrix}3\\ 2\\ -3\end{matrix}\right]$

E. 2.4.6.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.256)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.257)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.258)

Sabendo que $\vec{d}=(1,-2,1)_{B}$ , forneça $\vec{d}_{C}$ , i.e. as coordenadas do vetor $\vec{d}$ na base $C$ .

Resposta.

$\displaystyle\left[\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\ 2\\ -\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$

E. 2.4.7.

Considere dadas as bases $A$ , $B$ e $C$ do espaço tridimensional $V$ . Sejam, também, $M_{AB}$ a matriz de mudança de base de $A$ para $B$ e $M_{CB}$ a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Determine a matriz de mudança de base de $A$ para $C$ em função das matrizes $M_{AB}$ e $M_{CB}$ .

Resposta.

$M_{AC}=M_{CB}^{-1}M_{AB}$

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