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2 Equações e inequações 2.1 Equações 3 Funções

2.2 Inequações

Uma inequação é uma sentença matemática que expressa uma relação de desigualdade entre duas expressões matemáticas. São exemplos de inequações

	$\displaystyle E_{\text{esq}}\neq E_{\text{dir}}$		(2.77)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}<E_{\text{dir}}$		(2.78)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}\leq E_{\text{dir}}$		(2.79)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}>E_{\text{dir}}$		(2.80)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}\geq E_{\text{dir}}$		(2.81)

Assim como equações, inequações são usadas para descrever propriedades ou restrições sobre uma ou mais incógnitas. Neste caso, a solução é o conjunto de valores que a incógnita pode assumir de forma a satisfazer a inequação.

Exemplo 2.2.1.

São exemplos de inequações envolvendo incógnitas:

a)

Inequação de primeiro grau

$2x+3>5$ (2.82)
b)

Inequação de segundo grau

$x^{2}\leq x-3$ (2.83)
c)

Inequação racional

$\frac{2x+3}{x^{2}}\geq\frac{5}{x-3}$ (2.84)

Não existe um procedimento geral para calcular a solução de uma inequação, mas o chamado estudo de sinal pode ser uma estratégia adequada em várias situações. Na sequência, vamos aplicá-la na resolução de algumas inequações.

2.2.1 Inequações de primeiro grau

Inequações de primeiro grau são aquelas em que a incógnita aparece apenas na potência 1. Ou seja, qualquer inequação que possa ser escrita na seguinte forma

ax+b\gtreqless 0,

(2.85)

onde $a,b\in\mathbb{R}$ , $a\neq 0$ , são coeficientes/parâmetros dados e $x$ é a incógnita.

Para resolvê-la, podemos usar o estudo de sinal da expressão¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹Lembremos a tricotomia dos números reais. Consulte a Subseção 1.3.3. $ax+b$ . Para que seja nula, temos

\displaystyle ax+b=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}

(2.86)

Com isso, observamos que no caso de ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a>0}$ , temos que

x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}0

(2.87)

x{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}0.

(2.88)

Consultemos a Figura 2.1.

Refer to caption — Figura 2.1: Representação geométrica do estudo do sinal de $ax+b$ , com $a>0$ .

Agora, no caso de ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a<0}$ , temos

x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}0

(2.89)

x{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}0.

(2.90)

Consultemos a Figura 2.2.

Exemplo 2.2.2.

Vamos resolver

4+x\geq-x

(2.91)

Primeiramente, vamos reescrever a inequação no formato da (2.85). Para tanto, calculamos

	$\displaystyle 4+x\boldsymbol{+x}\geq-x\boldsymbol{+x}$		(2.92)
	$\displaystyle 4+2x\geq 0$		(2.93)
	$\displaystyle 2x+4\geq 0$		(2.94)

Agora, fazemos o estudo de sinal de $2x+3$ . Temos

2x+4=0\Rightarrow x=-2.

(2.95)

Daí, segue que

x>-2\Rightarrow 2x+4>0

(2.96)

x<-2\Rightarrow 2x+4<0

(2.97)

Consulte a Figura 2.3. Logo, concluímos que a solução é $x\in[-2,\infty)$ .

Com o SymPy, podemos computar a solução deste problema com os seguintes comandos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> solve_univariate_inequality(4 + x >= -x, x)

4 (-2 <= x) & (x < oo)

Em alguns casos, é possível calcular a solução apenas a partir de manipulações algébricas.

Exemplo 2.2.3.

Vamos resolver

-2x<4

(2.98)

Começamos multiplicando ambos os lados da inequação por $-1$ para obtermos²⁰²⁰endnote: ²⁰Notemos que a desigualdade se inverte ao multiplicarmos a inequação por um número negativo.

2x>-4

(2.99)

Agora, multiplicamos por $\frac{1}{2}$ , como segue

	$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2x>\frac{1}{2}\cdot(-4)$		(2.100)
	$\displaystyle x>-2$		(2.101)

Donde, temos a solução $x\in(-2,\infty)$ .

Verifique usando o SymPy!

2.2.2 Produtos ou quocientes

Inequações envolvendo produtos ou quocientes de expressões de primeiro grau podemos ser resolvidas fazendo-se o estudo de sinal.

Exemplo 2.2.4.

Vamos resolver

(x-1)(2-x)<0.

(2.102)

Para tanto, fazemos os estudos de sinais do primeiro fator $(x-1)$ e do segundo fator $(x+1)$ . Em seguida, fazemos o estudo de sinal do produto $(x-1)(x+1)$ . Neste caso, obtemos a Figura 2.4. Com isso, temos que a solução é $x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ .

Verifique usando o SymPy!

No caso de quocientes, devemos nos atentar para o fato de que o denominador não seja nulo.

Exemplo 2.2.5.

Vamos resolver

\frac{x-1}{2-x}\geq 0.

(2.103)

Para tanto, fazemos os estudos de sinais do primeiro fator $(x-1)$ e do segundo fator $(x+1)$ . Em seguida, fazemos o estudo de sinal do quociente $(x-1)(x+1)$ . Neste caso, obtemos a Figura 2.5. Com isso, temos que a solução é $x\in[1,2)$ .

Verifique usando o SymPy!

Exercícios

E. 2.2.1.

Resolva as seguintes inequações

a)

$x-1<0$
b)

$2-x\geq 0$
c)

$2-2x>5$
d)

$3x+2\leq 3-x$

Resposta.

a) $(-\infty,1)$ ; b) $(-\infty,2]$ ; c) $(-3/2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/4]$

E. 2.2.2.

Resolva as seguintes inequações

1.

$(x-2)(x+1)>0$
2.

$(x-2)(1-x)\geq 0$
3.

$(x-2)(1-x)<0$
4.

$(5x-2)(1-3x)\leq 0$

Resposta.

a) $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; b) $[1,2]$ ; c) $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/3]\cup[2/5,\infty)$

E. 2.2.3.

Resolva as seguintes inequações

1.

$(x-2)/(x+1)>0$
2.

$(x-2)/(1-x)\geq 0$
3.

$(x-2)/(1-x)<0$
4.

$(5x-2)/(1-3x)\leq 0$

Resposta.

a) $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; b) $(1,2]$ ; c) $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/3)\cup[2/5,\infty)$

E. 2.2.4.

Resolva a seguinte inequação

x^{2}-4<0

(2.104)

Resposta.

$(-2,2)$

E. 2.2.5.

Resolve a seguinte inequação

\frac{x^{2}+x-2}{x+2}\geq 0

(2.105)

Resposta.

$(-\infty,-2)\cup(-2,1]$

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