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1 Números reais 1.2 Conjunto dos números racionais 2 Equações e inequações

1.3 Conjunto dos números reais

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1.3.1 Existência de números irracionais

Para introduzirmos os números reais, vamos fazer a tentativa de estender a operação de potenciação para potências racionais. Mais especificamente, vamos tentar determinar $\sqrt{2}$ , a qual é definida por

\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}.

(1.105)

Assumindo válidas as propriedades de potenciação vista para números racionais, teríamos

	$\displaystyle\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=2^{\frac{1}{2}\cdot 2}$		(1.106)
	$\displaystyle=2^{1}=2.$		(1.107)

Será que $2^{\frac{1}{2}}$ é um número racional? Se fosse, então existiria uma razão irredutível⁸⁸endnote: ⁸Sobre razão irredutível, consulte a Observação 1.2.10. $p/q$ tal que $2^{\frac{1}{2}}=p/q$ , $p\in\mathbb{Z}$ e $q\in\mathbb{Z}^{*}$ , com

	$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=2$		(1.108)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$
	$\displaystyle\frac{p^{2}}{q^{2}}=2$		(1.109)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$
	$\displaystyle p^{2}=2\cdot q^{2}.$		(1.110)

Logo, $p^{2}$ é um número par⁹⁹endnote: ⁹Número múltiplo inteiro de $2$ . e, portanto, $p$ é um número par¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰O quadrado de um número ímpar é um número ímpar. Número ímpar é um número inteiro não divisível por $2$ .. Ou seja, existiria $m\in\mathbb{Z}$ tal que $p=2m$ . Mas, então

	$\displaystyle(2\cdot m)^{2}=2\cdot q^{2}$		(1.111)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$
	$\displaystyle 4\cdot m^{2}=2\cdot q^{2}$		(1.112)
	$\displaystyle\Leftrightarrow$
	$\displaystyle 2\cdot m^{2}=q^{2}.$		(1.113)

Com isso, $q^{2}$ seria par e, portanto, $q$ deveria ser par. Isso é uma contradição, por $p/q$ é uma razão irredutível. Logo, concluímos que

\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}.

(1.114)

Assim sendo, dizemos que $\sqrt{2}$ é um número irracional. Ou seja, não é racional! :D

Observação 1.3.1.

Uma aplicação em geometria. Observamos que $\sqrt{2}$ é o comprimento do lado do quadrado de área 1. Ou ainda, $\sqrt{2}$ é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos com comprimento igual a 1!

1.3.2 Fecho dos números racionais

Mas então, como podemos calcular o número $\sqrt{2}$ ? Bem, podemos aproximá-lo usando o método babilônico. Observamos que $\sqrt{2}$ é um número entre $1$ e $2$ , exclusivamente. Vamos, então, escolher como aproximação inicial

x_{0}=\frac{3}{2}=1.5

(1.115)

Daí, calculamos uma nova aproximação como

	$\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}\left(x_{0}+\frac{2}{x_{0}}\right)$		(1.116)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{\frac{3}{2}}\right)$		(1.117)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)$		(1.118)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{9+8}{6}\right)$		(1.119)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{17}{6}$		(1.120)
	$\displaystyle=\frac{17}{12}=1,41\bar{6}$		(1.121)

Então, analogamente podemos calcular uma melhor aproximação com

	$\displaystyle x_{2}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+\frac{2}{x_{1}}\right)$		(1.122)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{2}{\frac{17}{12}}\right)$		(1.123)
	$\displaystyle=\frac{577}{408}=1,41421\overline{5686274509803921}$		(1.124)

e assim sucessivamente. Estes números racionais estão de fato se aproximando do valor de $\sqrt{2}$ . Notamos que

	$\displaystyle x_{0}^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=2,25$		(1.125)
	$\displaystyle x_{1}^{2}=\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=2,0069\bar{4}$		(1.126)
	$\displaystyle x_{2}^{2}=\left(\frac{577}{408}\right)^{2}=2,000006\ldots$		(1.127)

O método babilônico, nos mostra que $\sqrt{2}$ pode ser calculado como o limite de uma sequência de números racionais. Ou seja, é sempre possível escolher um número racional que aproxime do valor de $\sqrt{2}$ tão bem quanto se queira. No caso, basta iterarmos o método babilônico um número suficiente de vezes.

Neste caso, ainda dizemos que $\sqrt{2}$ pertence ao fecho dos números racionais, escrevemos

\sqrt{2}\in\overline{\mathbb{Q}}.

(1.128)

Mais precisamente, $x\in\overline{\mathbb{Q}}$ quando sempre é possível escolher um número racional $p/q\in\mathbb{Q}$ que aproxima o valor de $x$ tão bem quanto se queira.

O conjunto dos números reais é denotado por $\mathbb{R}$ e é tal que

\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}.

(1.129)

Ou seja, é a união dos números racionais com os números irracionais que podem ser arbitrariamente aproximados por números racionais.

Observação 1.3.2.

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

(1.130)

Além disso, os números reais herdam as operações e suas propriedades dos números racionais.

Exemplo 1.3.1.

Consideramos os seguintes casos:

a)

todo número inteiro é um número real.
b)

todo número racional é um número real.
c)

$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\cdots$ são números reais.
d)

$\pi=3,141592\ldots$ é um número real.

O $\pi$ é a área da circunferência de raio 1.

No Python, estes exemplos podem ser verificados com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> S.Integers.is_subset(S.Reals)

3 True

4 >>> S.Rationals.is_subset(S.Reals)

5 True

6 >>> sqrt(3) in S.Reals

7 True

8 >>> sqrt(5) in S.Reals

9 True

10 >>> sqrt(7) in S.Reals

11 True

12 >>> pi in S.Reals

13 True

De posse dos números reais, vamos definir $m$ -ésima raiz de um número $x\in\mathbb{R}$ por

\sqrt[m]{x}=x^{\frac{1}{m}},

(1.131)

sendo que quando $m=2$ , escrevermos simplesmente $\sqrt{x}$ .

Observação 1.3.3.

\sqrt{-1}\not\in\mathbb{R}

(1.132)

De fato, seja

x=\sqrt{-1},

(1.133)

então

x^{2}=-1.

(1.134)

Entretanto, o quadrado que qualquer número real é um número não negativo! Ou seja, $x\not\in\mathbb{R}$ .

Mais geralmente, não é número real a raiz de índice par de qualquer número negativo.

1.3.3 Reta real

A reta real é uma representação geométrica do conjunto dos números reais (Figura 1.2).

Refer to caption — Figura 1.2: Reta real.

Traçamos uma reta horizontal e escolhemos um ponto como sendo a origem. Neste ponto, marcamos a posição do número zero. Usando um espaçamento fixo, posicionamos os números naturais a direita do zero e de forma sucessiva. Os números inteiros negativos são posicionados à esquerda do zero, também em posições sucessivas. Os números racionais são posicionados tomando as frações do espaçamento escolhido. A Figura 1.2 é um esboço da reta real.

Uma das propriedades notáveis dos números reais é a chamada tricotomia, i.e. um número real $x$ é

•

positivo (posicionado à direita da origem),
•

zero (posicionado na origem), ou
•

negativo (posicionado à esquerda da origem),

exclusivamente.

1.3.4 Infinito

O infinito é denotado por $\infty$ e representa a noção daquilo que não tem fim. Quando sem sinal, é interpretado na direção positiva (direita) da reta real. Quando escrito $-\infty$ (lê-se menos infinito) é interpretado na direção negativa (esquerda) da reta real. Nesta reta (Fig. 1.3), $\infty$ é representado por sua seta à direta e $-\infty$ por sua seta à esquerda.

Observação 1.3.4.

$\infty$ não é um número!

Sendo $x$ é um número real, podemos inferir as seguintes propriedades para qualquer dado $x\in\mathbb{R}$ :

•

$\pm\infty\pm x=\pm\infty$
•

$\pm\infty\mp x=\pm\infty$
•

$-\infty=-1\cdot\infty$
•

$x\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$ , $x>0$
•

$x\cdot(\pm\infty)=\mp\infty$ , $x<0$
•

$\pm\infty\pm\infty=\pm\infty$
•

$(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=\infty$
•

$(\pm\infty)\cdot(\mp\infty)=-\infty$

Exemplo 1.3.2.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\infty+\infty=\infty$
b)

$-1\cdot(-\infty)=\infty$
c)

$2\cdot(-\infty)=-\infty$
d)

$\infty\cdot\infty=\infty$
e)

$-\infty\cdot\infty=-\infty$

No Python, podemos verificar estas contas com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> oo + oo

3 oo

4 >>> -1 * -oo

5 oo

6 >>> 2 * -oo

7 -oo

8 >>> oo * oo

9 oo

10 >>> -oo * oo

11 -oo

No entanto, são consideradas indeterminações matemáticas as seguintes operações:

•

$\infty-\infty$
•

$0\cdot\infty$
•

$\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
•

$\infty^{0}$
•

$1^{\infty}$
•

$0^{0}$
•

$\displaystyle\frac{0}{0}$

Observação 1.3.5.

Com o SymPy, as indeterminações são marcadas como nan¹¹¹¹endnote: ¹¹Do inglês, not a number. ou retornam erro. Por exemplo:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> oo - oo

3 nan

4 >>> 0/0

5 Traceback (most recent call last):

6 File "<stdin>", line 1, in <module>

7 ZeroDivisionError: division by zero

Atenção! Exceções são os casos envolvendo potências de expoente $0$ , por exemplo:

⬇

1 >>> 0**0

2 1

3 >>> oo**0

4 1

1.3.5 Intervalos de números reais

Intervalos de números reais são conjuntos especiais e muito utilizados. Por simplicidade, recebem uma notação própria. Para $a,b\in\mathbb{R}$ , temos os seguintes tipos de intervalos:

•

Intervalo fechado

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a\leq x\leq b\}$ (1.135)

Figura 1.4: Representação geométrica de um intervalo $[a,b]$ .
•

Intervalo semi-aberto à esquerda (semi-fechado à direita)

$(a,b]=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a<x\leq b\}$ (1.136)

Figura 1.5: Representação geométrica de um intervalo $(a,b]$ .
•

Intervalo semi-aberto à direita (semi-fechado à esquerda)

$[a,b)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a\leq x<b\}$ (1.137)

Figura 1.6: Representação geométrica de um intervalo $[a,b)$ .
•

Intervalo aberto

$(a,b)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a<x<b\}$ (1.138)

Figura 1.7: Representação geométrica de um intervalo $(a,b)$ .

Exemplo 1.3.3.

Vamos estudar os seguintes casos:

a)

$-2\in[-3,1]$
b)

$\displaystyle\sqrt{2}\in\left(1,\frac{3}{2}\right)$
c)

$2\not\in[-3,2)$
d)

$\pi\in(3,4]$
e)

$[a,a]=\{a\}$
f)

$[3,2]=\emptyset$
g)

$(1,1)=\emptyset$

Com o SymPy, podemos checar os casos acima usando o comando Interval. Vejamos alguns dos casos acima:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> -2 in Interval(-3, 1)

3 True

4 >>> sqrt(2) in Interval(1,3/2,

5 ... left_open=True, right_open=True)

6 True

7 >>> 2 in Interval(-3,2,right_open=True)

8 False

9 >>> Interval(3,2)

10 EmptySet

Ainda, temos os seguintes casos especiais

•

Intervalos semi-limitados à esquerda

$\displaystyle[a,\infty)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a\leq x\}(a,% \infty)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ a<x\}$ (1.139)

Figura 1.8: Representação geométrica dos intervalos $[a,\infty)$ (acima) e $(a,\infty)$ (abaixo).
•

Intervalos semi-limitados à direita

$\displaystyle(-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ x\leq b\}(-% \infty,b)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ x<b\}$ (1.140)

Figura 1.9: Representação geométrica dos intervalos $(-\infty,b]$ (acima) e $(-\infty,b)$ (abaixo).
•

Intervalo ilimitado

$(-\infty,\infty)=\mathbb{R}$ (1.141)

Figura 1.10: Representação geométrica dos intervalos $(-\infty,\infty)$ .

Exemplo 1.3.4.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$2\in[2,\infty)$
b)

$10^{6}\in(2,\infty)$
c)

$1\not\in(-\infty,1)$
d)

$-10^{308}\in(-\infty,1]$
e)

$\pi\in(-\infty,\infty)$

Com o Python, podemos fazer estas verificações com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> oo in Interval(2,oo)

3 False

4 >>> from sympy import *

5 >>> 2 in Interval(2,oo)

6 True

7 >>> 10**6 in Interval(2,oo,

8 ... left_open=True)

9 True

10 >>> 1 in Interval(-oo, 1,

11 ... right_open=True)

12 False

13 >>> -10**308 in Interval(-oo, 1)

14 True

15 >>> pi in Interval(-oo, oo)

16 True

Exercícios

E. 1.3.1.

Verifique a veracidade de cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

a)

Se $p, q$ são números pares, então $p+q$ é um número par.
b)

Se $p, q$ são números ímpares, então $p+1$ é um número ímpar.
c)

Se $p$ é número par e $q$ é número ímpar, então $p+q$ é número ímpar.
d)

Se $p$ é número par e $q$ é número ímpar, então $p\cdot q$ é número ímpar.
e)

Se $p, q$ são números ímpares, então $p\cdot q$ é número ímpar.

Resposta.

a) V; b) F; c) V; d) F; e) V

E. 1.3.2.

Mostre que $\sqrt{3}\not\in\mathbb{Q}$ .

E. 1.3.3.

Um número primo $p$ tem somente quatro divisores $\pm 1$ , $\pm p$ e é tal que $p\neq 0$ e $p\neq\pm 1$ . Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números¹²¹²endnote: ¹²Dica: consulte o método sympy.factorint..

a)

$14$
b)

$24$
c)

$36$
d)

$2205$

Resposta.

a) $14=2\cdot 7$ ; b) $24=2^{3}\cdot 3$ ; c) $36=2^{2}\cdot 3^{2}$ ; d) $2205=3^{2}\cdot 5\cdot 7^{2}$

E. 1.3.4.

Encontre o resultado e faça a representação gráfica em cada um dos seguintes itens.

1.

$(-1,2]\cup[-1,0]$
2.

$[2,4)\cap[4,5)$
3.

$(-2,2)\cap[-1,1)$
4.

$(-\infty,1)\cup[0,\infty)$
5.

$(-1,1)\cup\{1\}$

Resposta.

a) $[-1,2]$ , b) $\emptyset$ ; c) $[-1,1)$ ; d) $\mathbb{R}$ ; e) $(-1,1]$

E. 1.3.5.

Verifique a veracidade de cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

a)

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
b)

$\sqrt{4}+2=4$
c)

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}=2\sqrt{7}$
d)

$\left(\sqrt{2})^{3}\right)=\sqrt{2^{3}}$
e)

$\sqrt[3]{2^{2}}=\sqrt[2]{2^{3}}$

Resposta.

a) F; b) V; c) V; d) V; e) F

E. 1.3.6.

Mostre que¹³¹³endnote: ¹³ $|x|=x$ , $x\geq 0$ e $|x|=-x$ , caso contrário. $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .

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