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2 Equações e inequações 2 Equações e inequações 2.2 Inequações

2.1 Equações

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Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais. Escrevemos

E_{\text{esq}}=E_{\text{dir}}

(2.1)

para estabelecer que a expressão à esquerda $E_{\text{esq}}$ é igual a expressão à direita $E_{\text{dir}}$ .

Exemplo 2.1.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$2^{2}=4$
b)

$2x-1=0$
c)

$e^{x+y}=e^{x}e^{y}$
d)

$\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x+1}=x-1$

No Python, podemos declarar as equações com a função https://docs.sympy.org/latest/modules/core.html?highlight=equality#sympy.core.%relational.EqualityEq. Os casos são implementados como segue:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> Eq(2**2, 4)

3 True

4 >>> x = Symbol('x')

5 >>> Eq(2*x - 1, 0)

6 Eq(2*x - 1, 0)

7 >>> y = Symbol('y')

8 >>> Eq(exp(x+y), exp(x)*exp(y))

9 Eq(exp(x + y), exp(x)*exp(y))

10 >>> Eq((x**2-1)/(x+1), x-1)

11 Eq((x**2 - 1)/(x + 1), x - 1)

2.1.1 Solução de uma equação

Equação é uma poderosa ferramenta matemática para impor uma condição sobre uma ou mais incógnitas (ou variáveis). Por exemplo, quando escrevemos

2^{x}=4

(2.2)

estamos impondo que a incógnita $x$ seja aquela a satisfazer esta equação. No caso, $x=2$ satisfaz a equação, pois ao substituirmos $x$ por $2$ nela, obtemos

\displaystyle 2^{2}=4\Leftrightarrow 4=4.

(2.3)

Usualmente, dizemos que $x=2$ é solução da equação. O procedimento de encontrar a(s) solução(ões) de uma equação é chamado de resolução da equação, i.e. o procedimento de resolver a equação.

Observação 2.1.1.

Uma equação pode ter uma única solução, várias soluções, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Exemplo 2.1.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$x-1=0$ tem solução única $x=1$ .
b)

$y^{2}-1=0$ têm soluções $y=-1$ ou $y=1$ .
c)

$x^{2}=-1$ não tem solução.
d)

$(u+1)^{2}=u^{2}+2u+1$ , qualquer $u\in\mathbb{R}$ é solução.

No Python, podemos resolver estas equações com o comando solve ou solveset. Estudemos as seguintes entradas e saídas:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(x-1, domain=S.Reals)

4 [1]

5 >>> solveset(x-1, domain=S.Reals)

6 FiniteSet(1)

7 >>> y,u = symbols('y,u', real=True)

8 >>> solve(y**2-1, domain=S.Reals)

9 [-1, 1]

10 >>> solve(Eq(x**2, -1), domain=S.Reals)

11 []

12 >>> solveset(Eq(x**2, -1), domain=S.Reals)

13 EmptySet

14 >>> solveset(Eq((u+1)**2, u**2 + 2*u + 1), domain=S.Reals)

15 Reals

Não existe um procedimento único para a resolução de equações em geral. Em síntese, a resolução, quando possível, é obtida da aplicação das seguintes propriedades. Sendo $E_{1}$ , $E_{2}$ e $E_{3}$ expressões matemáticas, temos

•

Simetria

$\begin{gathered}E_{1}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{% 2}}\\ \Leftrightarrow\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{2}}=E_{1}% \end{gathered}$ (2.4)
•

Cancelamento por adição

$\begin{gathered}E_{1}=E_{2}\\ \Leftrightarrow\\ E_{1}+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{3}}=E_{2}+{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{3}}\end{gathered}$ (2.5)
•

Cancelamento por multiplicação¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Somente no caso de $E_{3}\in\mathbb{R}^{*}$

$\begin{gathered}E_{1}=E_{2}\\ \Leftrightarrow\\ E_{1}\cdot{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{3}}=E_{2}% \cdot{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}E_{3}}\end{gathered}$ (2.6)

As operações acima reescrevem a equação original $E_{1}=E_{2}$ em equações equivalentes, i.e. equações que têm as mesmas soluções.

Exemplo 2.1.3.

Estudemos os casos a seguir.

a)

$\displaystyle-1=x$ (2.7)

$\displaystyle x=-1$ (2.8)
b)

$\displaystyle x-2=1$ (2.9)

$\displaystyle x-2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+2}=1{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+2}$ (2.10)

$\displaystyle x=3$ (2.11)
c)

$\displaystyle 2x=4$ (2.12)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{2}% \cdot}2x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{2}% \cdot}4$ (2.13)

$\displaystyle 1\cdot x=2$ (2.14)

$\displaystyle x=2$ (2.15)

2.1.2 Equações lineares

Equação algébricas lineares de uma incógnita são aquelas que podem ser escritas na seguinte forma

ax+b=0,

(2.16)

onde, são conhecidos (dados) os coeficientes $a\in\mathbb{R}^{*}$ e $b\in\mathbb{R}$ . Sua resolução pode ser feita da seguinte forma

	$\displaystyle ax+b=0$		(2.17)
	$\displaystyle ax+b{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-b}=0{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-b}$		(2.18)
	$\displaystyle ax=-b$		(2.19)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{a}% \cdot}ax={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{a}% \cdot}(-b)$		(2.20)
	$\displaystyle 1\cdot x=-\frac{b}{a}$		(2.21)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x=-\frac{b}{a}}$		(2.22)

Exemplo 2.1.4.

Vamos resolver

2x-4=5-x

(2.23)

Esta é uma equação linear, pois

	$\displaystyle 2x-4{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-5}=5-x{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-5}$		(2.24)
	$\displaystyle 2x-9=-x$		(2.25)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x}+2x-9={% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x}-x$		(2.26)
	$\displaystyle 3x-9=0$		(2.27)

Logo, a solução é

x=\frac{9}{3}=3.

(2.29)

No Python, podemos resolver esta equação com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(2*x - 4, 5 - x), domain=S.Reals)

4 [3]

2.1.3 Equação quadrática

Uma equação algébrica quadrática de um incógnita é aquela que pode ser escrita na forma

ax^{2}+bx+c=0,

(2.30)

com $a\in\mathbb{R}^{*}$ e $b,c\in\mathbb{R}$ .

Para resolver tal equação, vamos, primeiro, lembrar que

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},

(2.31)

para quaisquer $a,b\in\mathbb{R}$ . A ideia é usar desta identidade¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵Identidade é o nome dado a uma equação que é satisfeita para todos os possíveis valores de sua(s) incógnita(s). para reduzirmos a equação em duas equações lineares.

Começamos reescrevendo (2.30) da seguinte forma

	$\displaystyle ax^{2}+bx+c{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-% c}=0{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-c}$		(2.32)
	$\displaystyle ax^{2}+bx=-c$		(2.33)
	$\displaystyle\left(ax^{2}+bx\right){\cdot\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{a}}=-c{\cdot\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{% 1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{a}}$		(2.34)
	$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$		(2.35)

Agora, vamos completar os quadrados do lado direito para usarmos a identida (2.31). Fazemos

	$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}}=-\frac{c}{a}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+\left(\frac{b% }{2a}\right)^{2}}$		(2.36)
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$		(2.37)
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$		(2.38)

Agora, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶ $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .

	$\displaystyle\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^% {2}}}$		(2.39)
	$\displaystyle\left\|x+\frac{b}{2a}\right\|=\left\|\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right\|$		(2.40)

Daí, seguem as seguintes equações lineares

	$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(2.41)
	ou
	$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(2.42)

Equivalentemente, escrevemos

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

(2.44)

Por fim, isolamos $x$ co

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

(2.45)

donde temos a chamada Fórumla de Bhaskara¹⁷¹⁷endnote: ¹⁷Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático indiano. Fonte: Wikipédia.

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

(2.46)

Exemplo 2.1.5.

Vamos resolver

x^{2}=x+2.

(2.47)

Esta é uma equação quadrática, pois

	$\displaystyle x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-x-2}=x% +2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-x-2}$		(2.48)
	$\displaystyle x^{2}-x-2=0.$		(2.49)

Logo, da Fórmula da Bhaskara (2.46), obtemos

	$\displaystyle x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}$		(2.50)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$		(2.51)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$		(2.52)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm 3}{2}$		(2.53)

Donde,

	$\displaystyle x=\frac{1-3}{2}$		(2.54)
	$\displaystyle x=\frac{-2}{2}$		(2.55)
	$\displaystyle x=-1$		(2.56)

	$\displaystyle x=\frac{1+3}{2}$		(2.57)
	$\displaystyle x=\frac{4}{2}$		(2.58)
	$\displaystyle x=2$		(2.59)

Concluímos que a equação tem soluções $x=-1$ ou $x=2$ .

No Python, podemos resolver esta equação com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(x**2, x + 2), domain=S.Reals)

4 [-1, 2]

2.1.4 Equações exponenciais

Um equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece como expoente em um ou mais termos. Tais equações não tem formato único, nem procedimento geral de resolução. Quando possível, a ideia é reescrever todos os termos da equação em uma base comum.

Observação 2.1.2.

Lembramos que¹⁸¹⁸endnote: ¹⁸Quando bem definido.:

•

$\displaystyle b^{x}=b^{y}\Leftrightarrow x=y$
•

$\displaystyle b^{x+y}=b^{x}\cdot b^{y}$
•

$\displaystyle b^{xy}=\left(b^{x}\right)^{y}$
•

$\displaystyle b^{-x}=\frac{1}{b^{x}}$
•

$\displaystyle b^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{b^{x}}$

Exemplo 2.1.6.

Vamos resolver

5^{x+3}=25.

(2.60)

Para resolver esta equação, vamos escrever $25$ como potência de $5$ , i.e.

25=5^{2}.

(2.61)

Logo, a equação é equivalente a

5^{x+3}=5^{2}

(2.62)

donde

	$\displaystyle x+3=2$		(2.63)
	$\displaystyle x=-1.$		(2.64)

Ou seja, a solução é $x=-1$ .

No Python:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(5**(x+3), 25), domain=S.Reals)

4 [-1]

Exemplo 2.1.7.

Vamos resolver

5^{x+3}=5^{-x}+20.

(2.65)

Notamos que esta equação é equivalente a

5^{x}\cdot 5^{3}=\left(5^{x}\right)^{-1}+20.

(2.66)

Fazemos, então, a seguinte mudança de variável

y=5^{x}.

(2.67)

Com isso, a equação se resume a

y\cdot 5^{3}=y^{-1}+20

(2.68)

Resolvemos esta equação como segue

	$\displaystyle 125y=\frac{1}{y}+20$		(2.69)
	$\displaystyle 125y^{2}=1+20y$		(2.70)
	$\displaystyle 125y^{2}-20y-1=0$		(2.71)

Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos

	$\displaystyle y=\frac{20\pm\sqrt{20^{2}-4\cdot 125\cdot(-1)}}{2\cdot 125}$		(2.72)
	$\displaystyle y=\frac{20\pm\sqrt{900}}{250}$		(2.73)
	$\displaystyle y=\frac{20-\pm 30}{250}$		(2.74)

Ou seja, $y=-1/25$ ou $y=1/5$ . Observando que $y=5^{x}$ e, portanto positivo, temos

5^{x}=\frac{1}{5}=5^{-1}.

(2.75)

Concluímos que $x=-1$ .

No Python:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solveset(Eq(5**(x+3), 5**(-x) + 20), domain=S.Reals)

4 [-1]

Exercícios

E. 2.1.1.

Calcule a solução das seguintes equações:

a)

$x-2=0$
b)

$3-x=1$
c)

$0=-1+x$
d)

$\sqrt{2}\cdot x=0$

Resposta.

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $1$ ; d) $0$

E. 2.1.2.

Calcule a solução das seguintes equações:

a)

$2x-3=2$
b)

$2x-3=2-x$
c)

$x-3=2+2x$

Resposta.

a) $\frac{5}{2}$ ; b) $\frac{5}{3}$ ; c) $5$

E. 2.1.3.

Calcule a solução das seguintes equações:

c)

$x^{2}=0$
c)

$x^{2}+4=0$
c)

$x^{2}+4x+4=0$
c)

$x^{2}-16=0$
c)

$x^{2}+x-2=0$
c)

$2x-6+x^{2}=-x^{2}-2$

Resposta.

a) $0$ ; b) $\nexists$ ; c) $-2$ ; d) $\{-4,4\}$ ; e) $\{-2,1\}$ ; f) $\{-2,1\}$

E. 2.1.4.

Calcule a solução das seguintes equações:

1.

$3^{x}=27$
2.

$2^{x}=2\cdot 2^{x}-1$
3.

$4^{x}=2-2^{x}$

Resposta.

a) $3$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.1.5.

Calcule a solução da seguinte equação

x^{4}-2x^{2}+1=0

(2.76)

Resposta.

$\{-1,1\}$

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	$\displaystyle x-2=1$		(2.9)
	$\displaystyle x-2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+2}=1{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+2}$		(2.10)
	$\displaystyle x=3$		(2.11)

	$\displaystyle 2x=4$		(2.12)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{2}% \cdot}2x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{2}% \cdot}4$		(2.13)
	$\displaystyle 1\cdot x=2$		(2.14)
	$\displaystyle x=2$		(2.15)

	$\displaystyle-1=x$		(2.7)
	$\displaystyle x=-1$		(2.8)