Funções racionais não estão definidas nos zeros de . Além disso, suas imagens dependem de cada caso. Estudaremos o comportamento de funções racionais ao longo do curso de cálculo. Como exemplo, veja a Figura 3.19 para um esboço do gráfico da função racional
(3.89)
Figura 3.19: Esboço do gráfico da função racional .
Com o estudo do cálculo de limites, veremos que a reta (eixo das abscissas) é uma assíntota horizontal e a reta (reta tracejada) é uma assíntota vertical ao gráfico desta função. Esta singularidade no ponto está relacionada ao fato de que o denominador se anula em . Ainda, para temos
(3.90)
Com isso, podemos concluir que o domínio da função é .
Exercícios Resolvidos
ER 3.5.1.
Determine o domínio da função racional
(3.91)
Solução.
Como é uma função racional, ela não está definida nos zeros do polinômio que constitui seu denominador. I.e., nos pontos
(3.92)
Logo, o domínio de é o conjunto .
ER 3.5.2.
Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional
(3.93)
Solução.
Tendo em vista que o denominador se anula em , o domínio de é . Agora, para fazermos um esboço de seu gráfico, observamos que para . I.e., é uma função constante para valores de e não está definida em . Veja a Figura 3.20 para o esboço do gráfico da função .
plota uma linha constante, sem identificar a singularidade em . Isto ocorre, pois os gráficos com o SymPy são obtidos a partir de uma amostra discreta de pontos. Ocorre que esta amostra pode não conter as singularidades. No caso de conter, a execução pode não plotar o gráfico e retornar um erro.
Devemos ficar atentos a esboços de gráficos obtidos no computador, muitas vezes os gráficos podem estar errados. Cabe ao usuário identificar e analisar pontos e região de interesse.
Exercícios
E. 3.5.1.
Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função racional
(3.94)
Resposta.
E. 3.5.2.
Determine o domínio da função racional
(3.95)
Resposta.
E. 3.5.3.
Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional
(3.96)
Resposta.
E. 3.5.4.
Encontre o(s) ponto(s) de interseção entre os gráficos das funções
(3.97)
e
(3.98)
Resposta.
E. 3.5.5.
Determine os zeros da função racional
(3.99)
Resposta.
E. 3.5.6.
(Aplicação.)
A Lei de Boyle-Mariotte enuncia que são inversamente proporcionais a pressão e o volume de um gás ideal confinado e mantido a uma temperatura constante. Responda cada um dos seguintes itens:
a)
Escreva como função de .
b)
Classifique a função .
c)
Determine o domínio da função .
d)
Determine a imagem da função .
e)
Faça um esboço do gráfico da função .
Resposta.
a) , para algum parâmetro . b) Função racional. c) . d) .
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