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3 Funções 3.3 Função Potência 3.5 Função Racional

3.4 Função Polinomial

Uma função polinomial (polinômio) tem a forma

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},

(3.67)

onde $a_{i}$ são coeficientes reais, $a_{n}\neq 0$ e $n$ é inteiro não negativo, este chamado de grau do polinômio.

Polinômios são definidos em toda parte²⁶²⁶endnote: ²⁶Uma função é dita ser definida em toda parte quando seu domínio é $(\infty,\infty)$ . Polinômios de grau ímpar tem imagem $(-\infty,\infty)$ . Entretanto, a imagem polinômios de grau par dependem de cada caso. Iremos estudar mais propriedades de polinômios ao longo do curso de cálculo. Veja a Figura 3.17.

Refer to caption — Figura 3.17: Esboços dos gráficos das funções polinomiais. Esquerda: $p(x)=x^{3}-2.5x^{2}-1.0x+2.5$ . Direita: $q(x)=x^{4}-3.5x^{3}+1.5x^{2}+3.5x-2.5$ .

Quando $n=0$ , temos um polinômio de grau 0 (ou uma função constante). Quando $n=1$ , temos um polinômio de grau 1 (ou, uma função afim). Ainda, quando $n=2$ temos uma função quadrática (ou polinômio quadrático) e, quando $n=3$ , temos uma função cúbica (ou polinômio cúbico).

3.4.1 Função Quadrática

Os polinômios de grau 2 são, também, chamados de funções quadráticas, i.e. funções da forma

f(x)=ax^{2}+bx+c,

(3.68)

onde $a$ é chamado de coeficiente do termo quadrático, $b$ o coeficiente do termo linear e $c$ o coeficiente do termo constante.

Os zeros de uma função quadrática podem ser calculados pela fórmula de Bhaskara

x_{0},x_{1}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

(3.69)

O esboço do gráfico de uma função quadrática é uma parábola côncava para cima quando $a>0$ e, côncava para baixo quando $x<0$ . Veja a Figura 3.18.

O vértice da parábola que representa uma função quadrática $f(x)$ com coeficiente quadrático positivo (com coeficiente quadrático negativo) é o ponto no qual ela atinge seu valor mínimo (máximo) em todo o seu domínio natural. Quando $f$ têm zeros reais, o ponto de abscissa do vértice é o ponto médio entre os zeros $x_{0}$ e $x_{1}$ da função, i.e. o vértice $V=(x_{v},y_{v})$ é tal que

x_{v}=\frac{x_{0}+x_{1}}{2},\quad\text{e}\quad y_{v}=f(x_{v}).

(3.70)

O valor $x_{v}$ é a abscissa do ponto em que a função quadrática $f$ atinge o valor máximo (valor mínimo) $y_{v}$ . Em geral, o vértice é dado por

(x_{v},y_{v})=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right)

(3.71)

Exercícios Resolvidos

ER 3.4.1.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=x^{3}-x^{2}-2x$ .

Solução.

Determinar os zeros da função $f$ significa encontrar todos os valores de $x$ tais que $f(x)=0$ (estes são as abscissas dos pontos nos quais o gráfico de $f$ intercepta o eixo das abscissas). Temos

	$\displaystyle f(x)=0$		(3.72)
	$\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x=0$		(3.73)
	$\displaystyle x(x^{2}-x-2)=0$		(3.74)
	$\displaystyle x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}-x-2=0.$		(3.75)

Então, usando a fórmula de Bhaskara (3.69) na equação $x^{2}-x-2=0$ , obtemos

$\displaystyle x$	$\displaystyle=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$	(3.76)
	$\displaystyle=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}$	(3.77)
	$\displaystyle=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$	(3.78)
	$\displaystyle=\frac{1\pm 3}{2}$	(3.79)
	$\displaystyle=-1\quad\text{ou}\quad 2$	(3.80)

Com isso, temos que os zeros da função $f$ ocorrem nos pontos $x_{0}=-1$ , $x_{1}=0$ e $x_{2}=2$ .

Com o SymPy, podemos calcular os zeros da função $f$ com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 solve(x**3-x**2-2*x)

ER 3.4.2.

Determine o valor mínimo da função $f(x)=x^{2}-x-2$ .

Solução.

Como $f$ é uma função quadrática com coeficiente quadrático positivo, temos que seu gráfico é uma parábola côncava para cima. Logo, $f$ atinge seu valor mínimo no seu vértice, que tem abscissa

$\displaystyle x_{v}$	$\displaystyle=-\frac{b}{2a}$	(3.81)
	$\displaystyle=-\frac{-1}{2\cdot 1}$	(3.82)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}.$	(3.83)

Ou seja, a abscissa do ponto de mínimo de $f$ é $x_{v}=1/2$ e seu valor mínimo é

$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)$	$\displaystyle=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-2$	(3.84)
	$\displaystyle=\frac{1-2-8}{4}$	(3.85)
	$\displaystyle=-\frac{9}{4}.$	(3.86)

Usando SymPy, podemos resolver este exercício com o seguinte código:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 a = 1

4 b = -1

5 c = -2

6 f = Lambda(x, a*x**2 + b*x + c)

7 xv = -b/(2*a)

8 print(f"Valor mínimo = {f(xv)}")

Exercícios

E. 3.4.1.

Faça o esboço dos gráficos das seguintes funções polinomiais:

1.

$f(x)=1$
2.

$g(x)=-x+1$
3.

$h(x)=x^{2}-1$
4.

$f_{1}(x)=x^{3}$

E. 3.4.2.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=-x^{3}+x^{2}+2x$ .

Resposta.

$-1$ , $0$ , $2$

E. 3.4.3.

Determine o valor máximo da função $f(x)=-x^{2}+x+2$ .

Resposta.

$9/4$

E. 3.4.4.

Faça um esboço da região determinada entre os gráficos de $y=0$ e $y=x^{2}-1$ , com $-1\leq x\leq 1$ .

E. 3.4.5.

Determine os pontos de interseção dos gráficos de $f(x)=-x+1$ e $f(x)=x^{2}-1$ .

Resposta.

$(-2,3)$ , $(1,0)$

E. 3.4.6.

(Aplicação.) Na mecânica clássica, a energia cinética $E_{c}$ de um objeto não rotativo de massa $m$ [kg] movimentando-se com uma velocidade $v$ [ $\text{m}/\text{s}$ ] é dada por

E_{c}=\frac{m}{2}v^{2}

(3.87)

Assumindo $m>0$ constante, temos que $E_{c}$ é função apenas de $v$ , i.e. $E_{c}=E_{c}(v)$ . Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Qual a classe da função $E_{c}=E_{c}(v)$ ?
b)

Qual o domínio da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
c)

Qual a imagem da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
d)

A função $E_{c}=E_{c}(v)$ tem valor mínimo? Se sim, qual é esse valor e para o valor de $v$ em que isso ocorre?

Resposta.

a) função quadrática. b) $D(E_{v})=\{v\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ -c\leq v\leq c\}$ , onde $c$ denota a velocidade da luz. c) $Im(E_{v})=\{e\in\mathbb{R}:0\leq e\leq\frac{m\cdot c^{2}}{2}\}$ , onde $c$ denota a velocidade da luz. d) Sim. Valor mínimo $E_{c}=0$ . Ponto de mínimo $v=0$ .

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