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3 Funções 3.8 Propriedades de Funções 3.10 Funções logarítmicas

3.9 Funções exponenciais

Uma função exponencial tem a forma

f(x)=a^{x},

(3.153)

onde $a\neq 1$ é uma constante positiva e é chamada de base da função exponencial.

Funções exponenciais estão definidas em toda parte e têm imagem $(0,\infty)$ . O gráfico de uma função exponencial sempre contém os pontos $(-1,1/a)$ , $(0,1)$ e $(1,a)$ . Veja a Figura 3.37.

Refer to caption — Figura 3.37: Esboços dos gráficos de funções exponenciais: (acima) $f(x)=a^{x}$ , $a>1$ ; (abaixo) $g(x)=a^{x}$ , $0<a<1$ .

Observação 3.9.1.

Quando a base é o Número de Euler³³³³endnote: ³³Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia.

e\approx 2,718281828459045

(3.154)

chamamos $f(x)=e^{x}$ de função exponencial (natural).

No SymPy³⁴³⁴endnote: ³⁴Veja a Observação LABEL:obs:cap_funcao_python, o número de Euler é obtido com a constante E:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : N(E,25)

3 Out: 2.718281828459045235360287

Exemplo 3.9.1.

Vamos estudar os gráficos cada uma das seguintes funções exponenciais:

a)

$\displaystyle f(x)=2^{x}$

Figura 3.38: Esboço do gráfico da função $f(x)=2^{x}$ .
b)

$\displaystyle f(x)=e^{x}$

Figura 3.39: Esboço do gráfico da função $f(x)=e^{x}$ .
c)

$\displaystyle f(x)=e^{-x}$

Figura 3.40: Esboço do gráfico da função $f(x)=e^{-x}$ .

Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Faça um esboço do gráfico de $f(x)=e^{-2x+1}-1$ .

Solução.

Primeiramente, observamos que

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=e^{-2x+1}-1$		(3.155)
		$\displaystyle=e^{-2\left(x-\frac{1}{2}\right)}-1$		(3.156)

Então, partindo do gráfico de $e^{-x}$ , fazemos uma translação de $\frac{1}{2}$ unidades à direita, seguida de uma contração horizontal de $\frac{1}{2}$ vezes e, por fim, uma translação para baixo de uma unidade. Consulte as Figuras 3.41-3.43.

ER 3.9.2.

Calcule o(s) zero(s) da seguinte função

f(x)=e^{-2x-1}+1

(3.157)

Solução.

Um zero da função é um ponto $x$ onde

	$\displaystyle f(x)=0$		(3.158)
	$\displaystyle e^{-2x-1}-1=0$		(3.159)
	$\displaystyle e^{-2x-1}=1$		(3.160)

Para resolver esta equação exponencial, lembramos que $e^{0}=1$ . Logo, temos

	$\displaystyle e^{-2x-1}=e^{0}$		(3.161)
	$\displaystyle-2x-1=0$		(3.162)
	$\displaystyle x=\frac{1}{2}$		(3.163)

Concluímos que $x=\frac{1}{2}$ é o único zero da função.

Exercícios

E. 3.9.1.

Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=3^{x}$
b)

$g(x)=2^{-x}$
c)

$h(x)=e^{x}+1$
d)

$i(x)=e^{-x+1}$

Resposta.

Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar suas respostas.

E. 3.9.2.

Justificando, determine a veracidade das seguintes afirmações:

a)

$y=e^{x}$ é uma função crescente;
b)

$y=e^{-x}$ é uma função decrescente;
c)

$y=e^{-x^{2}}$ é uma função decrescente;
d)

$e^{-x}>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Resposta.

a) V; b) V; c) F; d) V

E. 3.9.3.

Calcule o zero da função

f(x)=2^{x-1}-1

(3.164)

Resposta.

$x=1$

E. 3.9.4.

Faça um esboço do gráfico de $f(x)=2e^{x-1}+2$ .

Resposta.

Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar sua resposta.

E. 3.9.5.

(Aplicação.) Na física química, a Equação de Arrhenius³⁵³⁵endnote: ³⁵Svante August Arrhenius, 1859-1927, químico sueco. Fonte: Wikipédia. fornece a taxa de reação $k$ (entre espécies químicas) em função da temperatura $T$ [K]

k=Ae^{-\frac{E_{a}}{RT}},

(3.165)

onde $A>0$ é o fator constante pré-exponencial, $E_{a}>0$ é a energia de ativação e $R>0$ é a constante universal dos gases. Para temperatura constante, a equação acima define a função $k=k(E_{a})$ . Em relação a esta função, responda cada um dos seguintes itens:

a)

A função $k=k(E_{a})$ é crescente ou decrescente? E, o que isso significa?
b)

Determine o domínio da função $k=k(E_{a})$ . O que ele significa na aplicação.
c)

Determine a imagem da função $k=k(E_{a})$ . O que ela significa na aplicação.
d)

Faça um esboço do gráfico da função $k=k(E_{a})$ .

Resposta.

a) Decrescente. Significa que quanto maior a energia de ativação, menor é a taxa de reação. b) $D(k)=(0,\infty)$ , são os possíveis valores para a energia de ativação. c) $Im(k)=(0,A)$ , significa que a taxa de reação é sempre um valor entre 0 e A, exclusivamente.

E. 3.9.6.

(Aplicação.) Uma das técnicas de inteligência artificial consiste em utilizar de neurônios artificiais³⁶³⁶endnote: ³⁶Modelos matemáticos baseados em neurônios biológicos.. A saída fornecida por um neurônio depende da escolha da chamada função de ativação $\varphi=\varphi(x)$ . Em muitas aplicações, a função logística é escolhida, i.e.

\varphi(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(3.166)

Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Escreva essa função de ativação $\varphi$ como uma composição de duas funções $f$ e $g$ .
b)

Determine o domínio dessa função de ativação $\varphi$ .
c)

Determine a imagem dessa função de ativação $\varphi$ .

Resposta.

a) $\varphi=f\circ g$ , $f(x)=1/(1+x)$ , $g(x)=e^{-x}$ ; b) $D(\varphi)=\mathbb{R}$ ; c) $Im(\varphi)=(0,1)$ .

E. 3.9.7.

(Aplicação.) O fenômeno de desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade³⁷³⁷endnote: ³⁷Fonte: Wikipédia.. A lei fundamental do decaimento radiativo estabelece que a taxa de decaimento é proporcional ao número de átomos que ainda não decaíram. Isto nos fornece a equação da lei básica da radioatividade

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(3.167)

onde, $N=N(t)$ é o número de átomos no tempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ é o número de átomos presentes no tempo inicial $t=0$ e $\lambda>0$ é a constante de decaimento. Faça o esboço do gráfico da função $N=N(t)$ .

Resposta.

Dica: Coloque números para os parâmetros e verifique seu gráfico usando Python+SymPy.

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