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2 Problemas Bidimensionais 2.2 Interpolação 2.4 Problema Modelo

2.3 Projeção

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Em revisão

A projeção $L^{2}$ no espaço $V_{h}$ de uma dada uma função $u\in L^{2}(\Omega)$ é denotada por $P_{h}u\in V_{h}$ e definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{\Omega}(% u-P_{h}u)v\,dx=0,\leavevmode\nobreak\ \forall v\in V_{h}.

(2.21)

Analogamente a projeção em uma dimensão (consulte Subseção 1.1.2), a projeção é dada por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}P_{h}u=\sum_{j% =0}^{n_{p}-1}\xi_{j}\varphi_{j},

(2.22)

com $\boldsymbol{\xi}=(\xi_{j})_{j=0}^{n_{p}-1}$ satisfazendo o sistema linear

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}M\boldsymbol{% \xi}=\boldsymbol{b},

(2.23)

onde $M=[m_{i,j}]_{i,j=0}^{n_{p}-1}$ é a matriz de massa com

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}m_{i,j}=\int_{% \Omega}\varphi_{i}\varphi_{j}\,dx

(2.24)

e $\boldsymbol{b}=(b_{1},\leavevmode\nobreak\ b_{2},\leavevmode\nobreak\ \dotsc,% \leavevmode\nobreak\ b_{n_{p}-1})$ é o vetor de carga com

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b_{i}=\int_{% \Omega}u\varphi_{i}\,dx.

(2.25)

Também, vale o resultado análogo da melhor aproximação (consulte Teorema 1.1.1), i.e.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|u-P_{h}u\|_{% L^{2}(\Omega)}\leq\|u-v\|_{L^{2}(\Omega)},\quad\forall v\in V_{h}.

(2.26)

E, portanto, também temos a estimativa análoga para o erro de projeção (condulte Teorema 1.1.2)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|u-P_{h}u\|_{% L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C\sum_{K\in\mathcal{K}}h_{K}^{4}\|D^{2}u\|_{L^{2}(K)}^{% 2}.

(2.27)

Tomando o tamanho global da malha, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|f-P_{h}f\|_{% L^{2}(\Omega)}\leq Ch^{2}\|D^{2}f\|_{L^{2}(K)}.

(2.28)

Exemplo 2.3.1.

Consideramos a função $u(x_{0},x_{1})=\operatorname{sen}(\pi x_{0})\cos(\pi x_{1})$ definida no domínio $D=[0,1]\times[0,1]$ . código computa a projeção de $u$ no espaço $V_{h}$ sobre uma malha triangular uniforme.

⬇

1from mpi4py import MPI

2from dolfinx import mesh

4# malha

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD, 16, 16)

7from dolfinx import fem

9# espaço de elementos finitos

10Vh = fem.functionspace(domain, ("P",1))

12# função do espaço V

13uh = fem.Function(Vh)

15# projeção

16import ufl

17from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

18def uex(x, mod=ufl):

19 return mod.sin(mod.pi*x[0])*mod.sin(mod.pi*x[1])

21x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

22u = ufl.TrialFunction(Vh)

23v = ufl.TestFunction(Vh)

24a = ufl.dot(u,v)*ufl.dx

25L = uex(x)*v*ufl.dx

26problem = LinearProblem(a, L, bcs=[])

27Phu = problem.solve()

29# saída (paraview)

30from dolfinx import io

31from pathlib import Path

32results_folder = Path("results")

33results_folder.mkdir(exist_ok=True, parents=True)

34filename = results_folder / "phu"

35Phu.name = "Phu"

36with io.VTXWriter(domain.comm, filename.with_suffix(".bp"), [Phu]) as vtx:

37 vtx.write(0.0)

38with io.XDMFFile(domain.comm, filename.with_suffix(".xdmf"), "w") as xdmf:

39 xdmf.write_mesh(domain)

40 xdmf.write_function(Phu, 0.0)

2.3.1 Exercícios

Em revisão

E. 2.3.1.

Verifique computacionalmente a estimativa (2.28) no caso da função $f(x_{0},x_{1})=\operatorname{sen}(\pi x_{0})\cos(\pi x_{1})$ projetada sobre uma malha triangular uniforme sobre o domínio $D=[0,1]\times[0,1]$ .

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