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2.2 Interpolação

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Em revisão

Dada uma função contínua f em um triângulo K com nodos Ni, i=0,1,2, sua interpolação linear π⁢f∈P1⁢(K) é definida por

π⁢f=∑i=02f⁢(Ni)⁢φi. (2.10)

Logo, temos π⁢f⁢(Ni)=f⁢(Ni) para todo i=0,1,2.

Exemplo 2.2.1.

Consideramos a função

u⁢(x0,x1)=sen⁡(π⁢x0)⁢cos⁡(π⁢x1) (2.11)

defina no domínio D=[0,1]2. O seguinte código computa a interpolação de f no espaço de elementos finitos Vh sobre uma malha uniforme de 16×16 triângulos. Com ele, graficamos a função interpolada uh∈Vh e a função u. Consulte a Fig. 2.3.

Refer to caption
Figura 2.3: Gráfico de comparação função interpolada uh∈Vh (gráfico de contornos em cores) e da função original u (isolinhas) referentes ao Exemplo 2.2.1.
Código 9: interp2d.py
⬇
1from mpi4py import MPI
2from dolfinx import mesh
3
4# malha
5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD, 16, 16)
6
7from dolfinx import fem
8
9# espaço de elementos finitos
10V = fem.functionspace(domain, ("P",1))
11
12# função do espaço V
13uh = fem.Function(V)
14
15# interpolate
16import numpy as np
17def u(x, mod=np):
18    return mod.sin(mod.pi*x[0])*mod.sin(mod.pi*x[1])
19
20uh.interpolate(lambda x: u(x))
21
22# eval fun
23from dolfinx import geometry
24
25def fun_eval(u, points,
26             domain=domain):
27  u_values = []
28  bb_tree = geometry.bb_tree(domain, domain.topology.dim)
29  cells = []
30  points_on_proc = []
31  # Find cells whose bounding-box collide with the the points
32  cell_candidates = geometry.compute_collisions_points(bb_tree,
33                                                       points.T)
34  # Choose one of the cells that contains the point
35  colliding_cells = geometry.compute_colliding_cells(domain,
36                                                     cell_candidates,
37                                                     points.T)
38  for i, point in enumerate(points.T):
39    if len(colliding_cells.links(i)) > 0:
40      points_on_proc.append(point)
41      cells.append(colliding_cells.links(i)[0])
42
43  points_on_proc = np.array(points_on_proc, dtype=np.float64)
44  u_values = u.eval(points_on_proc, cells)
45  return u_values
46
47# gráfico
48import numpy as np
49nx = ny = 101
50xx0 = np.linspace(0., 1., nx)
51xx1 = np.linspace(0., 1., ny)
52X0, X1 = np.meshgrid(xx0, xx1, indexing='ij')
53points = np.zeros((3, nx*ny))
54points[0] = X0.reshape(-1)
55points[1] = X1.reshape(-1)
56
57yh = fun_eval(uh, points)
58Yh = yh.reshape((nx,ny))
59
60import matplotlib.pyplot as plt
61
62fig = plt.figure()
63ax = fig.add_subplot()
64levels=10
65cb = ax.contourf(X0, X1, Yh, levels = levels)
66fig.colorbar(cb)
67Y = u([X0, X1])
68cl = ax.contour(X0, X1, Y, levels = levels, colors='w')
69ax.clabel(cl)
70plt.show()

Afim de determinarmos estimativas para o erro de interpolação, precisamos da chamada derivada total de primeira ordem

D⁢f=(|∂f∂x0|2+|∂f∂x1|2)1/2, (2.12)

e da derivada total de segunda ordem

D2⁢f=(|∂2f∂x02|2+|∂2f∂x0⁢∂x1|2+|∂2f∂x12|2)1/2. (2.13)
Proposição 2.2.1.

(Erro da interpolação no espaço linear.) A interpolação π⁢f satisfaz as seguintes estimativas

‖f−π⁢f‖L2⁢(K) ≤C⁢hK2⁢‖D2⁢f‖L2⁢(K), (2.14)
‖D⁢(f−π⁢f)‖L2⁢(K) ≤C⁢hK⁢‖D2⁢f‖L2⁢(K). (2.15)
Demonstração.

Veja [1, Capítulo 4]. ∎

Observação 2.2.1.

A constante C dependo do inverso de sen⁡(θK) onde θK é o menor angulo de K. Desta forma, para um triângulo com θK muito pequeno, as estimativas (2.14) e (2.15) perdem sentido. Este fato indica a necessidade de se trabalhar com malhas regulares.

A interpolação no espaço Vh de uma dada função f no domínio Ω é denotada também por π⁢f∈Vh e definida por

π⁢f=∑i=0np−1f⁢(Ni)⁢φi. (2.16)
Proposição 2.2.2.

(Erro da interpolação no espaço contínuo linear por partes.) O interpolador π⁢f∈Vh satisfaz as seguintes estimativas

‖f−π⁢f‖L2⁢(Ω)2≤C⁢∑K∈𝒦hK4⁢‖D2⁢f‖L2⁢(K)2, (2.17)
‖D⁢(f−π⁢f)‖L2⁢(Ω)2≤C⁢∑K∈𝒦hK2⁢‖D2⁢f‖L2⁢(K)2,. (2.18)
Demonstração.

Demonstração análoga a Proposição 1.1.2. ∎

Observação 2.2.2.

(Taxa de convergência.) A taxa de convergência (ou ordem de truncamento) do erro de interpolação é definida como a potência do h na estimativa (2.17). Esta taxa pode ser computacionalmente estimada. De fato, o erro de interpolação para uma dada malha i tem a forma εi≈C⁢hir. Conhecendo εi−1≈C⁢hi−1r para uma outra malha i−1, podemos resolver para r, obtendo a estimativa

r≈ln⁡εi/εi−1ln⁡hi/hi−1. (2.19)
Exemplo 2.2.2.

Consideramos a interpolação feita no Exemplo 2.2.1. Aqui, computamos o erro de interpolação na norma L2, i.e.

ε=‖uh−u‖L2⁢(Ω) (2.20)

para diferentes refinamentos de malha.

Refer to caption
Figura 2.4: Tamanho da malha h versus erro de interpolação na norma L2 referente ao Exemplo 2.2.2.

Na Tabela 2.1, temos o número de células e seu tamanho h, o erro de interpolação ε e a estimativa da taxa de convergência dada por (2.19).

Tabela 2.1: Erro de interpolação referente ao Exemplo 2.2.2.
#células h ϵ r
4×4 3.5×10−1 6.0×10−2 -x-
8×8 1.8×10−1 1.6×10−2 1.91
16×16 8.8×10−2 3.9×10−3 2.04
32×32 4.4×10−2 9.8×10−4 1.99
64×64 2.2×10−2 2.4⁢e×10−4 2.03

2.2.1 Exercícios

Em construção

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