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1 Problemas Unidimensionais 1 Problemas Unidimensionais 1.2 Problema Modelo

1.1 Interpolação e Projeção

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Em revisão

Seja dado um intervalo $I=[x_{0},x_{1}]\subset\mathbb{R}$ , $x_{0}\neq x_{1}$ . O espaço vetorial das funções lineares em $I$ é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}P_{1}(I):=\{v:% \leavevmode\nobreak\ v(x)=c_{0}+c_{1}x,\leavevmode\nobreak\ x\in I,\leavevmode% \nobreak\ c_{0},c_{1}\in\mathbb{R}\}.

(1.1)

Observamos que dado $v\in P_{1}(I)$ , temos que $v$ é unicamente determinada pelos valores

		$\displaystyle\alpha_{0}=v(x_{0}),$		(1.2)
		$\displaystyle\alpha_{1}=v(x_{1}).$		(1.2)

Como consequência, existe exatamente uma única função $v\in P_{1}(I)$ para quaisquer dados valores $\alpha_{0}$ e $\alpha_{1}$ . Desta observação, introduzimos a chamada base nodal (base lagrangiana¹¹endnote: ¹Consulte mais em Notas de Aula: Matemática Numérica I: Interpolação de Lagrange.) $\{\varphi_{0},\varphi_{1}\}$ para $P_{1}(I)$ , definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varphi_{j}(x_% {i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,

(1.3)

com $i,j=0,1$ . Consulte a Figura 1.1.

Refer to caption — Figura 1.1: Base nodal para o espaço $P_{1}([x_{0},x_{1}])$ .

Com esta base, toda função $v\in P_{1}(I)$ pode ser escrita como uma combinação linear das funções $\varphi_{0}$ e $\varphi_{1}$ com coeficientes $\alpha_{0}$ e $\alpha_{1}$ (graus de liberdade), i.e.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}v(x)=\alpha_{0% }\varphi_{0}(x)+\alpha_{1}\varphi_{1}(x).

(1.4)

Além disso, observamos que

	$\displaystyle\varphi_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}},$		(1.5)
	$\displaystyle\varphi_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.$		(1.6)

Uma extensão do espaço $P_{1}(I)$ é o espaço das funções lineares por partes. Dado $I=[l_{0},l_{1}]$ , $l_{0}\neq l_{1}$ , consideramos uma partição (malha) de $I$ com $n+1$ pontos

\mathcal{I}=\{l_{0}=x_{0},x_{1},\dotsc,x_{n}=l_{1}\}

(1.7)

e, portanto, com $n$ subintervalos $I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]$ de comprimento (tamanho da malha) $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Na malha $\mathcal{I}$ definimos o seguinte espaço das funções lineares por partes

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}V_{h}:=\{v:% \leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\mathcal{I}),\leavevmode\nobreak\ v|_{I_{i}}% \in P_{1}(I_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n\}.

(1.8)

Observamos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais $\{\alpha_{i}=v(x_{i})\}_{i=0}^{n}$ . Reciprocamente, todo conjunto de valores nodas $\{\alpha_{i}\}_{i=0}^{n}$ determina unicamente uma função $v\in V_{h}$ . Desta observação, temos que os valores nodais determinam os graus de liberdade com a base nodal $\{\varphi_{j}\}_{j=0}^{n}$ para $V_{h}$ definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varphi_{j}(x_% {i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,

(1.9)

com $i,j=0,1,\dotsc,n$ . Ou seja, temos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}v(x)=\sum_{j=0% }^{n}\alpha_{j}\phi_{j}(x).

(1.10)

Podemos verificar que

\varphi_{i}(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x-x_{i-1})/h_{i}&,x\in I_{i},\\ (x_{i+1}-x)/h_{i+1}&,x\in I_{i+1},\\ 0&,\text{noutros casos}\end{array}\right.

(1.11)

consulte, Figura 1.2. É notável que $\varphi_{i}(x)$ tem suporte compacto $I_{i}\cup I_{i+1}$ .

1.1.1 Interpolação

Em revisão

Interpolação é uma técnica de aproximação de funções. Dada uma função contínua $f$ em $I=[l_{0},l_{1}]$ , definimos o operador de interpolação linear $\pi:C^{0}(I)\to V_{h}$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\pi f(x)=\sum_% {j=0}^{n}f(x_{j})\varphi_{j}(x)

(1.12)

Observamos que $\pi f$ é igual a $f$ nos nodos $x_{j}$ , $j=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 1.1.1.

A Figura 1.3 ilustra a interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço de elementos finitos $V_{h}$ das funções lineares por partes com $5$ células.

Código 1: mef1d_interp_lin

⬇

1from dolfinx import fem, mesh

2import ufl

3import numpy as np

4from mpi4py import MPI

5import matplotlib.pyplot as plt

7# malha

8l0 = 0.25

9l1 = 0.75

10domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD,

11 nx = 5,

12 points = [l0, l1])

13x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

15# espaço

16V = fem.FunctionSpace(domain, ('P', 1))

18# fun

19def fun(x, mod):

20 return 3.*mod.sin(2.*mod.pi*x)

22x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

23f_expr = fem.Expression(fun(x[0], ufl),

24 V.element.interpolation_points())

26# interpolação

27pif = fem.Function(V)

28pif.interpolate(f_expr)

Agora, vamos buscar medir o erro de interpolação, i.e. $f-\pi f$ . Para tanto, podemos usar a norma $L^{2}$ definida por

\|v\|_{L^{2}(I)}=\left(\int_{I}v^{2}\,dx\right)^{1/2}.

(1.13)

Lembramos que valem a desigualdade triangular

\|v+w\|_{L^{2}(I)}\leq\|v\|_{L^{2}(I)}+\|w\|_{L^{2}(I)}

(1.14)

e a desigualdade de Cauchy-Schwarz²²endnote: ²Também conhecida como desigualdade de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz. Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, matemático francês. Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, matemático Russo. Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843 - 1921, matemático alemão.

\int_{I}vw\,dx\leq\|v\|_{L^{2}(I)}\|w\|_{L^{2}(I)},

(1.15)

para qualquer funções $v,w\in L^{2}(I)$ .

Proposição 1.1.1.

(Erro da interpolação linear) O interpolador $\pi f:C^{0}(I)\to P_{1}(I)$ satisfaz as estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.16)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.17)

onde $C$ é uma constante e $h=x_{1}-x_{0}$ .

Demonstração.

Denotemos o erro de interpolação por $e=f-\pi f$ . Do teorema fundamental do cálculo, temos

e(y)=e(x_{0})+\int_{x_{0}}^{y}e^{\prime}(x)\,dx,

(1.18)

onde $e(x_{0})=f(x_{0})-\pi f(x_{0})=0$ . Daí, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz (1.15), temos

$\displaystyle e(y)$	$\displaystyle=\int_{x_{0}}^{y}e^{\prime}\,dx$	(1.19)
	$\displaystyle\leq\int_{x_{0}}^{y}\|e^{\prime}\|\,dx$	(1.20)
	$\displaystyle\leq\int_{I}1\cdot\|e^{\prime}\|\,dx$	(1.21)
	$\displaystyle\leq\left(\int_{I}1^{2}\,dx\right)^{1/2}\left(\int_{I}e^{\prime 2% }\,dx\right)^{1/2}$	(1.22)
	$\displaystyle=h^{1/2}\left(\int_{I}e^{\prime 2}\,dx\right)^{1/2},$	(1.23)

donde

e(y)^{2}\leq h\int_{I}e^{\prime 2}\,dx=h\|e^{\prime}\|_{L^{2}(I)}^{2}.

(1.24)

Então, integrando em $I$ obtemos

\|e\|_{L^{2}(I)}^{2}=\int_{I}e^{2}(y)\,dy\leq\int_{I}h\|e^{\prime}\|_{L^{2}(I)% }^{2}\,dy=h^{2}\|e^{\prime}\|_{L^{2}(I)}^{2},

(1.25)

ou seja, temos a seguinte desigualdade

\|e\|_{L^{2}(I)}\leq h\|e^{\prime}\|_{L^{2}(I)}.

(1.26)

Agora, observando que $e(x_{0})=e(x_{1})=0$ , o teorema de Rolle³³endnote: ³Michel Rolle, 1652 - 1719, matemático francês. garante a existência de um ponto $\tilde{x}\in I$ tal que $e^{\prime}(\tilde{x})=0$ , donde do teorema fundamental do cálculo e da desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue

$\displaystyle e^{\prime}(y)$	$\displaystyle=e^{\prime}(\tilde{x})+\int_{\tilde{x}}^{y}e^{\prime\prime}\,dx$	(1.27)
	$\displaystyle=\int_{\tilde{x}}^{y}e^{\prime\prime}\,dx$	(1.28)
	$\displaystyle\leq\int_{I}1\cdot\|e^{\prime\prime}\|\,dx$	(1.29)
	$\displaystyle\leq h^{1/2}\left(\int_{I}e^{\prime\prime 2}\right)^{1/2}.$	(1.30)

Então, integrando em $I$ , obtemos

\|e^{\prime}\|_{L^{2}(I)}^{2}\leq h^{2}\|e^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I)}^{2},

(1.31)

a qual, observando que $e^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}$ , equivale a segunda estimativa procurada, i.e.

\|(f-\pi f)^{\prime}\|_{L^{2}(I)}\leq Ch\|f^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I)}.

(1.32)

Por fim, de (1.31) e de (1.26), obtemos a primeira estimativa desejada

\|f-\pi f\|_{L^{2}(I)}\leq Ch^{2}\|f^{\prime\prime}\|_{L^{2}(I)}.

(1.33)

∎

Vamos, agora, generalizar o resultado da Proposição 1.1.1 para a interpolação no espaço $V_{h}$ das funções lineares por parte.

O seguinte resultado fornece uma estimativa do erro de interpolação em relação ao tamanho $h_{i}$ de cada elemento da malha.

Proposição 1.1.2.

O interpolador $\pi f$ satisfaz as estimativas

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2},$		(1.34)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}.$		(1.35)

Demonstração.

Ambas desigualdades seguem da desigualdade triangular e da Proposição 1.1.1. Por exemplo, para a primeira desigualdade, temos

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I_{i})}^{2}$		(1.37)
		$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}Ch_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^{% 2}.$		(1.38)

∎

1.1.2 Projeção $L^{2}$

Em revisão

Dada uma função $f\in L^{2}(I)$ , definimos o operador de projeção $L^{2}$ $P_{h}:L^{2}(I)\to V_{h}$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{I}(f-P_{% h}f)v\,dx=0,\quad\forall v\in V_{h}.

(1.39)

Como $V_{h}$ é um espaço de dimensão finita, a condição (1.39) é equivalente a

\int_{I}(f-P_{h}f)\varphi_{i}\,dx=0,\quad i=0,1,\cdots,n,

(1.40)

onde $\varphi_{i}$ é a $i$ -ésima função base de $V_{h}$ . Além disso, como $P_{h}f\in V_{h}$ , temos

P_{h}f=\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}\varphi_{j},

(1.41)

onde $\xi_{j}$ , $j=0,1,\dotsc,n$ , são $n+1$ incógnitas a determinar. Logo,

	$\displaystyle\int_{I}(f-P_{h}f)\varphi_{i}\,dx=0$		(1.42)
	$\displaystyle\int_{I}f\varphi_{i}\,dx=\int_{I}P_{h}f\varphi_{i}\,dx$		(1.43)
	$\displaystyle\int_{I}f\varphi_{i}\,dx=\int_{I}\left(\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}% \varphi_{j}\right)\varphi_{i}\,dx$		(1.44)
	$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\xi_{j}\int_{I}\varphi_{j}\varphi_{i}\,dx=\int_{I}f% \varphi_{i}\,dx,$		(1.45)

para $i=0,1,\dotsc,n$ .

Observamos que (1.45) consiste em um sistema de $n+1$ equações lineares para as $n+1$ incógnitas $\xi_{j}$ , $j=0,1,\dotsc,n$ . Este, por sua vez, pode ser escrito na seguinte forma matricial

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}M\xi=b,

(1.46)

onde $M=[m_{i,j}]_{i,j=0}^{n+1}$ é chamada de matriz de massa

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}m_{i,j}=\int_{% I}\varphi_{j}\varphi_{i}\,dx

(1.47)

e $b=(b_{0},b_{1},\dotsc,b_{n})$ é chamado de vetor de carregamento

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b_{i}=\int_{I}% f\varphi_{i}\,dx.

(1.48)

Ou seja, a projeção $L^{2}$ de $f$ no espaço $V_{h}$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}P_{h}f=\sum_{j% =0}^{n}\xi_{j}\varphi_{j},

(1.49)

onde $\xi=(\xi_{0},\xi_{1},\dotsc,\xi_{n})$ é solução do sistema (1.46).

Exemplo 1.1.2.

A Figura 1.4 ilustra a projeção $L^{2}$ da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes em uma malha uniforme do intervalo $I=[1/4,3/4]$ com $n=4$ subintervalos ( $5$ células).

Código 2: ex_mef1d_proj.py

⬇

1from dolfinx import fem, mesh

2from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

3import ufl

4from mpi4py import MPI

6# malha

7l0 = 0.25

8l1 = 0.75

9domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD,

10 nx=5,

11 points=[l0, l1])

12x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

14# espaço

15V = fem.functionspace(domain, ("P", 1))

17# fun

18f = 3.*ufl.sin(2.*ufl.pi*x[0])

20# project f

21u = ufl.TrialFunction(V)

22v = ufl.TestFunction(V)

23a = ufl.dot(u, v) * ufl.dx

24L = ufl.dot(f, v) * ufl.dx

25problem = LinearProblem(a, L, bcs=[])

26Phf = problem.solve()

O próximo teorema mostra que $P_{h}f$ é a função que melhor aproxima $f$ dentre todas as funções do espaço $V_{h}$ .

Teorema 1.1.1.

(A melhor aproximação.) A projeção $L^{2}$ satisfaz

\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}\leq\|f-v\|_{L^{2}(I)},\quad\forall v\in V_{h}.

(1.50)

Demonstração.

Dado $v\in V_{h}$ , temos

$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle=\int_{I}\|f-P_{h}f\|^{2}\,dx$	(1.51)
	$\displaystyle=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v+v-P_{h}f)\,dx$	(1.52)
	$\displaystyle=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v)\,dx+\int_{I}(f-P_{h}f)(v-P_{h}f)\,dx$	(1.53)
	$\displaystyle=\int_{I}(f-P_{h}f)(f-v)\,dx$	(1.54)
	$\displaystyle\leq\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}\\|f-v\\|_{L^{2}(I)},$	(1.55)

donde segue o resultado. ∎

O próximo teorema fornece uma estimativa a-priori do erro $\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}$ em relação ao tamanho da malha.

Teorema 1.1.2.

A projeção $L^{2}$ satisfaz

\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}^{2}\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\|f^{\prime\prime}\|_{% L^{2}(I_{i})}^{2}.

(1.56)

Demonstração.

Tomando a interpolação $\pi f\in V_{h}$ , temos do Teorema da melhor aproximação (Teorema 1.1.1) e da estimativa do erro de interpolação (Proposição 1.1.2) que

	$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$		(1.57)
		$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.58)

∎

1.1.3 Exercícios

Em revisão

E. 1.1.1.

Faça um código para verificar a segunda estimativa da Proposição 1.1.1 no caso da interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $P_{1}$ das funções lineares.

Resposta.

badgeConstrucao

E. 1.1.2.

Faça um código para verificar as estimativas da Proposição 1.1.2 no caso da interpolação da função $f(x)=3\operatorname{sen}(2\pi x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes.

E. 1.1.3.

Faça um código para computar a projeção $L^{2}$ $P_{h}f$ da função $f(x)=x-cos(x)$ no espaço $V_{h}$ das funções lineares por partes em uma malha com $10$ células no intervalo $I=[0,\pi]$ . Faça o esboço dos gráficos de $f$ e $P_{h}f$ e compute o erro $\|f-P_{h}f\|_{L^{2}(I)}$ .

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	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.16)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}$	$\displaystyle\leq Ch\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)},$		(1.17)

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2},$		(1.34)
	$\displaystyle\\|(f-\pi f)^{\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{2}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I)}^{2}.$		(1.35)

	$\displaystyle\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I_{i})}^{2}$		(1.37)
		$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{n}Ch_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^{% 2}.$		(1.38)

	$\displaystyle\\|f-P_{h}f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$	$\displaystyle\leq\\|f-\pi f\\|_{L^{2}(I)}^{2}$		(1.57)
		$\displaystyle\leq C\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{4}\\|f^{\prime\prime}\\|_{L^{2}(I_{i})}^% {2}.$		(1.58)

1.1 Interpolação e Projeção

1.1.1 Interpolação

Exemplo 1.1.1.

Proposição 1.1.1.

Demonstração.

Proposição 1.1.2.

Demonstração.

1.1.2 Projeção L2

Exemplo 1.1.2.

Teorema 1.1.1.

Demonstração.

Teorema 1.1.2.

Demonstração.

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

Resposta.

E. 1.1.2.

E. 1.1.3.

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1.1.2 Projeção $L^{2}$