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2 Problemas Bidimensionais 2 Problemas Bidimensionais 2.2 Interpolação

2.1 Malha e Espaço

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Em revisão

2.1.1 Malha

Em revisão

Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ um domínio limitado com fronteira $\partial\Omega$ suave e poligonal. Uma malha (ou triangularização) $\mathcal{K}$ de $\Omega$ é um conjunto de $\{K\}$ células (ou elementos) $K$ , em que $\Omega=\cup_{K\in\mathcal{K}}K$ e tal que a interseção de duas células é ou um lado, um canto ou vazio.

Classicamente as células $K$ são escolhidas como triângulos. O comprimento do maior lado da célula $K$ define o chamado tamanho local da malha $h_{K}$ . O tamanho global da malha é definida por $h=\max_{K\in\mathcal{K}}h_{K}$ .

Uma malha é dita regular quando existe uma constante $c_{0}>0$ tal que $c_{K}>c_{0}$ para todo $K\in\mathcal{K}$ , sendo $c_{K}:=d_{K}/h_{K}$ e $d_{K}$ o diâmetro do circulo inscrito em $K$ . Esta condição significa que os triângulos $K$ da malha não podem ter ângulos muito grandes nem muito pequenos. Ao longo do texto, a menos que especificado o contrário, assumiremos trabalhar com malhas regulares.

Exemplo 2.1.1.

O seguinte código, gera uma malha uniforme no domínio $\Omega=[0,1]^{2}$ .

Refer to caption — Figura 2.1: Esboço de uma malha triangular no domínio $D=[0,1]^{2}$ .

Código 8: ex_malha.py

⬇

1from mpi4py import MPI

2from dolfinx import mesh

4# malha triangular

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD,

6 nx = 5, ny = 5)

8# gráfico da malha

9import pyvista

10# pyvista.set_jupyter_backend('static')

11print(pyvista.global_theme.jupyter_backend)

13from dolfinx import plot

14pyvista.start_xvfb()

15tdim = domain.topology.dim

16topology, cell_types, geometry = plot.vtk_mesh(domain, tdim)

17grid = pyvista.UnstructuredGrid(topology, cell_types, geometry)

19plotter = pyvista.Plotter()

20plotter.add_mesh(grid, show_edges=True)

21plotter.view_xy()

22pyvista.OFF_SCREEN=True

23if not pyvista.OFF_SCREEN:

24 plotter.show()

25else:

26 figure = plotter.screenshot("malha.png")

2.1.2 Espaço de Polinômios Lineares

Em revisão

Seja $K$ um triângulo e seja $P_{1}(K)$ o espaço dos polinômios lineares em $K$ , i.e.

		$\displaystyle P_{1}(K)=\{v;\leavevmode\nobreak\ v=c_{0}+c_{1}x_{0}+c_{2}x_{1},$		(2.1)
		$\displaystyle\qquad\qquad\qquad(x_{0},x_{1})\in K,\leavevmode\nobreak\ c_{0},c% _{1},c_{2}\in\mathbb{R}\}.$		(2.1)

Observamos que toda função $v\in P_{1}(K)$ é unicamente determinada por seus valores nodais

\alpha_{i}=v(N_{i}),i=0,1,2,

(2.2)

onde $N_{i}=(x_{0}^{(i)},x_{1}^{(i)})$ é o $i$ -ésimo nodo (vértice) do triângulo $K$ . Isto segue do fato de que o sistema (2.2) tem forma matricial

\begin{bmatrix}1&x_{0}^{(0)}&x_{1}^{(0)}\\ 1&x_{0}^{(1)}&x_{1}^{(1)}\\ 1&x_{0}^{(2)}&x_{1}^{(2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{0}\\ c_{1}\\ c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_{0}\\ \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\end{bmatrix}

(2.3)

Ainda, o valor absoluto do determinante da matriz de coeficientes é $2|K|$ , onde $|K|$ denota a área de $K$ , a qual é não nula.

Afim de usarmos os valores nodais como graus de liberdade (incógnitas), nós introduzimos a seguinte base nodal $\{\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}\}$ com

\lambda_{j}(N_{i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j,\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,\leavevmode\nobreak\ i,j=0,1,2.

(2.4)

Com esta base, toda função $v\in P_{1}(K)$ pode ser escrita como

v=\alpha_{0}\lambda_{0}+\alpha_{1}\lambda_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2},

(2.5)

onde $\alpha_{i}=v(N_{i})$ .

2.1.3 Espaço contínuo dos polinômios lineares por partes

Em revisão

O espaço contínuo dos polinômios lineares por partes na malha $\mathcal{K}$ é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}V_{h}=\{v;% \leavevmode\nobreak\ v\in C^{0}(\Omega),\leavevmode\nobreak\ v|_{K}\in P_{1}(K% ),\leavevmode\nobreak\ \forall K\in\mathcal{K}\}.

(2.6)

Observamos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais $\{v(N_{j})\}_{j=0}^{n_{p}-1}$ , onde $n_{p}$ é número de nodos da malha $\mathcal{K}$ .

De fato, os valores nodais determinam uma única função em $P_{1}(K)$ para cada $K\in\mathcal{K}$ e, portanto, uma função em $V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nos nodos. Agora, consideremos dois triângulos $K_{1}$ e $K_{2}$ compartilhando um lado $E=K_{1}\cap K_{2}$ . Sejam $v_{1}$ e $v_{2}$ os dois únicos polinômios em $v_{1}\in P_{1}(K_{1})$ e $v_{2}\in P_{1}(K_{2})$ , respectivamente determinados pelos valores nodais em $K_{1}$ e $K_{2}$ . Como $v_{1}$ e $v_{2}$ também são polinômios lineares em $E$ e seus valores coincidem nos nodos de $E$ , temos $v_{1}=v_{2}$ em $E$ . Portanto, concluímos que toda função $v\in V_{h}$ é unicamente determinada por seus valores nodais.

Afim de termos os valores nodais como graus de liberdade (incógnitas), definimos a base nodal $\{\varphi_{j}\}_{j=1}^{n_{p}}\subset V_{h}$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varphi_{j}(N_% {i})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i=j\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.,\leavevmode\nobreak\ i,j=0,1,\dotsc,n_{p}-1.

(2.7)

Notamos que cada função base $\varphi_{j}$ é contínua, polinômio linear por partes e com suporte somente em um pequeno conjunto de triângulos que compartilham o nodo $N_{j}$ . Além disso, toda a função $v\in V_{h}$ pode, então, ser escrita como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}v=\sum_{i=0}^{% n_{p}-1}\alpha_{i}\varphi_{i},

(2.8)

onde $\alpha_{i}=v(N_{i})$ , $i=0,1,\ldots,n_{p}$ , são os valores nodais de $v$ .

Exemplo 2.1.2.

No seguinte código, alocamos um espaço de elementos finitos $V_{h}$ sobre uma malha regular no domínio $\Omega=[0,1]^{2}$ . Ainda, uma função $u_{h}\in V_{h}$ é alocada com valores nodais

u(\boldsymbol{x})=\operatorname{sen}(\pi x_{0})\operatorname{sen}(\pi x_{1}).

(2.9)

⬇

1from mpi4py import MPI

2from dolfinx import mesh

4# malha

5domain = mesh.create_unit_square(MPI.COMM_WORLD, 5, 5)

7from dolfinx import fem

9# espaço de elementos finitos

10V = fem.functionspace(domain, ("P",1))

12# função do espaço V

13uh = fem.Function(V)

15# valor nodais

16from numpy import sin, pi

17for i,x in enumerate(domain.geometry.x):

18 uh.x.array[i] = sin(pi*x[0])*sin(pi*x[1])

20# gráfico

21u_topology, u_cell_types, u_geometry = plot.vtk_mesh(V)

22u_grid = pyvista.UnstructuredGrid(u_topology, u_cell_types, u_geometry)

23u_grid.point_data["u"] = uh.x.array.real

24u_grid.set_active_scalars("u")

25u_plotter = pyvista.Plotter()

26u_plotter.add_mesh(u_grid, show_edges=True)

27u_plotter.view_xy()

28if not pyvista.OFF_SCREEN:

29 u_plotter.show()

30else:

31 figure = u_plotter.screenshot("u.png")

2.1.4 Exercícios

Em construção

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