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1 Derivação 1.1 Derivadas de Primeira Ordem 1.3 Diferenças Finitas por Polinômios Interpoladores

1.2 Derivadas de Segunda Ordem

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Diferentemente do usual em técnicas analíticas, no âmbito da matemática numérica é preferível obter aproximações diretas de derivadas de segunda ordem, em vez de utilizar aproximações sucessivas de derivadas. Na sequência, desenvolvemos e aplicaremos uma fórmula de diferenças finitas central para a aproximação de derivadas de segunda ordem.

Consideremos os seguintes polinômios de Taylor²²endnote: ²Brook Taylor, 1685 - 1731, matemático britânico. Fonte: Wikipédia:Brook Taylor. de grau 3 de $f(x)$ em torno do ponto x

	$\displaystyle f(x+h)$	$\displaystyle=f(x)+hf^{\prime}(x)+\frac{h^{2}}{2}f^{\prime\prime}(x)+\frac{h^{% 3}}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+O(h^{4}),$		(1.20)
	$\displaystyle f(x-h)$	$\displaystyle=f(x)-hf^{\prime}(x)+\frac{h^{2}}{2}f^{\prime\prime}(x)-\frac{h^{% 3}}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+O(h^{4}).$		(1.21)

Somando estas duas equações, obtemos

f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h^{2}f^{\prime\prime}(x)+O(h^{4}).

(1.23)

Então, isolando $f^{\prime\prime}(x)$ temos

f^{\prime\prime}(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}+\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{% 1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}O(h^{2}).

(1.24)

Isto nos leva a definição da fórmula de diferenças finitas de ordem $h^{2}$ para a derivada segunda

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}D^{2}_{0,h^{2}% }f(x):=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}.

(1.25)

Exemplo 1.2.1.

Consideramos o problema de computar a derivada segunda de $f(x)=x^{2}+\operatorname{sen}x$ no ponto $x=\pi/6$ . Analiticamente, $f^{\prime\prime}(\pi/6)=2-\operatorname{sen}(\pi/6)=1,5$ . Numericamente, vamos explorar as seguintes duas aproximações:

a)

Aplicação de sucessivas diferenças finitas centrais de ordem $h^{2}$ para derivada primeira, i.e.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$ $\displaystyle\approx D_{0,h^{2}}D_{0,h^{2}}f(x)$ (1.26a)

$\displaystyle=\frac{D_{0,h^{2}}f(x+h)-D_{0,h^{2}}f(x-h)}{2h}$ (1.26b)
b)

Aplicação da fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ para a derivada segunda, i.e.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$ $\displaystyle\approx D_{0,h^{2}}^{2}f(x)$ (1.27a)

$\displaystyle=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}.$ (1.27b)

Tabela 1.5: Resultados referente ao Exemplo 1.2.1. Notação:

\delta_{DD}:=|f^{\prime\prime}(\pi/6)-D_{0,h^{2}}D_{0,h^{2}}f(\pi/6)|

\delta_{D^{2}}:=|f^{\prime\prime}(\pi/6)-D^{2}_{0,h^{2}}f(\pi/6)|

$h$	$D_{0,h^{2}}D_{0,h^{2}}f(\pi/6)$	$\delta_{DD}$	$D^{2}_{0,h^{2}}f(\pi/6)$	$\delta_{D^{2}}$
$10^{-1}$	$1.50166$	$1.7\mathrm{e}\!-\!03$	$1.50042$	$4.2\mathrm{e}\!-\!04$
$10^{-2}$	$1.50002$	$1.7\mathrm{e}\!-\!05$	$1.50000$	$4.2\mathrm{e}\!-\!06$
$10^{-3}$	$1.50000$	$1.7\mathrm{e}\!-\!07$	$1.50000$	$4.2\mathrm{e}\!-\!08$
$10^{-5}$	$1.50000$	$1.2\mathrm{e}\!-\!07$	$1.50000$	$1.2\mathrm{e}\!-\!07$

Na Tabela 1.5 temos os valores computados em ambos os casos e seus respectivos erros absolutos para diversas escolhas de $h$ . Observamos que a aplicação da diferença finita $D^{2}_{0,h^{2}}$ fornece resultados mais precisos (para valores moderados de $h$ ) do que as sucessivas aplicações de $D_{0,h^{2}}$ . De fato, uma rápida inspeção de (a)) mostra que

D_{0,h^{2}}D_{0,h^{2}}f(x)=\underbrace{\frac{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^{2}}}_{% D^{2}_{0,(2h)^{2}}f(x)}.

(1.28)

Código 4: d2fc_h2.py

⬇

1import numpy as np

3def d2fc_h2(f, x, h=1e-7):

4 df = (f(x+h) - 2*f(x) + f(x-h))/h**2

5 return df

7f = lambda x: x**2 + np.sin(x)

8x = np.pi/6

9h = 1e-1

10d2fdx2 = d2fc_h2(f, x, h)

11print(f'{h}: d2fdx2 = {d2fdx2:.5e}, erro = {np.fabs(d2fdx2-1.5):.1e}')

Exercícios

E. 1.2.1.

Use a fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ para computar aproximações da segunda derivada de

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}+x

(1.29)

no ponto $x=2,5$ . Para tanto, use os passos

a)

$h=10^{-1}$
b)

$h=10^{-2}$
c)

$h=10^{-3}$
d)

$h=10^{-4}$

Por fim, com base nos resultados obtidos, qual foi o maior passo que forneceu a aproximação com precisão de pelo menos $5$ dígitos significativos? Justifique sua resposta.

Resposta.

a) $7.25162\mathrm{e}\!-\!2$ ; b) $7.24701\mathrm{e}\!-\!2$ ; c) $7.24696\mathrm{e}\!-\!2$ ; d) $7.24696\mathrm{e}\!-\!2$ ; $h=10^{-2}$ ;

E. 1.2.2.

Considere a função $f(x)=e^{x}\ln(x+1)-x$ . Use a fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ para computar a aproximação de $f^{\prime\prime}(1)$ com 6 dígitos significativos corretos.

Resposta.

$f^{\prime\prime}(1)=3.92288\mathrm{e}\!+\!0$ , $h=10^{-3}$ .

E. 1.2.3.

Considere a seguinte tabela de pontos

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x_{i}$	$2,0$	$2,1$	$2,2$	$2,3$	$2,4$	$2,5$
$y_{i}$	$1,86$	$1,90$	$2,01$	$2,16$	$2,23$	$2,31$

Calcule a aproximação $d^{2}y/dx^{2}$ no ponto $x=2,2$ usando a fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ .

Resposta.

$4.0$ ;

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	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$	$\displaystyle\approx D_{0,h^{2}}D_{0,h^{2}}f(x)$		(1.26a)
		$\displaystyle=\frac{D_{0,h^{2}}f(x+h)-D_{0,h^{2}}f(x-h)}{2h}$		(1.26b)

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$	$\displaystyle\approx D_{0,h^{2}}^{2}f(x)$		(1.27a)
		$\displaystyle=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}.$		(1.27b)