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1 Derivação 1.2 Derivadas de Segunda Ordem 2 Técnicas de extrapolação

1.3 Diferenças Finitas por Polinômios Interpoladores

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Vamos estudar como obter fórmulas de diferenças finitas por polinômios interpoladores. Seja $p(x)$ o polinômio interpolador dos pontos $\{(x_{i},f(x_{i}))\}_{i=1}^{n+1}$ de uma dada função $f(x)$ , com $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1}$ . Então, pelo teorema de Lagrange temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)=p(x)+R_{n% +1}(x),

(1.30)

onde $R(x)$ é o erro na aproximação de $f(x)$ por $p(x)$ e tem a forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}R_{n+1}(x)=% \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=1}^{n+1}(x-x_{j}).

(1.31)

onde $\xi=\xi(x)$ .

Deste modo, a ideia para obtermos as fórmulas de diferenças é aproximarmos $f^{\prime}(x)$ por $p^{\prime}(x)$ . Entretanto, isto nos coloca a questão de estimarmos o erro $|f^{\prime}(x)-p^{\prime}(x)|$ . Por sorte temos os seguinte teorema.

Teorema 1.3.1.

Seja $p(x)$ o polinômio interpolador de uma dada função $f(x)$ pelo pontos $\{(x_{i},f(x_{i}))\}_{i=1}^{n+1}$ , com $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1}$ . Se $f(x)$ é $(n+1)$ continuamente diferenciável, então o resíduo $R_{n+1}^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)-p^{(k)}(x)$ é

R_{n+1}^{(k)}=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1-k)!}\prod_{j=1}^{n+1-k}(x-\xi_{j}),

(1.32)

onde $\xi_{j}$ é um ponto tal que $x_{j}<\xi_{j}<x_{j+k}$ , $j=1,2,\dotsc,n+1+k$ , e $\eta=\eta(x)$ é algum ponto no intervalo de extremos $x$ e $\xi_{j}$ .

Demonstração.

Veja [3, Ch.6, Sec.5]. ∎

1.3.1 Fórmulas de dois pontos

Para obtermos fórmulas de diferenças finitas de dois pontos consideramos $p(x)$ o polinômio interpolador de Lagrange de $f(x)$ pelos pontos $(x_{1},f(x_{1}))$ e $(x_{2},f(x_{2}))$ , com $x_{1}<x_{2}$ , i.e.

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=p(x)+R_{2}(x)$		(1.33)
		$\displaystyle=f(x_{1})\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}+f(x_{2})\frac{x-x_{1}}{x_{2}% -x_{1}}+R_{2}(x).$		(1.34)

Denotando $h=x_{2}-x_{1}$ , temos

f(x)=f(x_{1})\frac{x-x_{2}}{-h}+f(x_{2})\frac{x-x_{1}}{h}+R_{2}(x).

(1.35)

e, derivando com respeito a $x$

f^{\prime}(x)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{h}+R_{2}^{(1)}(x),

(1.36)

onde $R_{2}^{(1)}(x)$ é dado conforme o Teorema 1.3.1.

Agora, escolhendo $x=x_{1}$ , temos $x_{2}=x_{1}+h=x+h$ e, obtemos a fórmula de diferenças finitas progressiva de ordem $h$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)=% \underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{D_{+,h}f(x)}+O(h).

(1.37)

Se escolhermos $x=x_{2}$ , temos $x_{1}=x_{2}-h=x-h$ , obtemos a fórmula de diferenças finitas regressiva de ordem $h$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)=% \underbrace{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}_{D_{-,h}f(x)}+O(h).

(1.38)

Fórmulas de três pontos

Para obtermos fórmulas de diferenças finitas de três pontos consideramos o polinômio interpolador de Lagrange de $f(x)$ pelos pontos $(x_{1},f(x_{1}))$ , $(x_{2},f(x_{2}))$ e $(x_{3},f(x_{3}))$ , $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ , i.e.

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=f(x_{1})\frac{(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}$	(1.39)
	$\displaystyle+f(x_{2})\frac{(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}$	(1.40)
	$\displaystyle+f(x_{3})\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}+R_% {3}(x).$	(1.41)

Derivando em relação a $x$ , obtemos

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=f{\left(x_{1}\right)}\frac{\left(x_{2}-x_{3}\right)\left(2x-x_{2% }-x_{3}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_% {3}\right)}$	(1.42)
	$\displaystyle+f{\left(x_{2}\right)}\frac{\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(-2x+x_{% 1}+x_{3}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x% _{3}\right)}$	(1.43)
	$\displaystyle+f\left(x_{3}\right)\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(2x-x_{1}-% x_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3% }\right)}+R_{3}^{(1)}(x).$	(1.44)

Aqui, podemos escolher por obter fórmulas de diferenças com passo constante ou não. Por exemplo, denotando $h_{1}=x_{2}-x_{1}$ e $h_{2}=x_{3}-x_{2}$ e escolhendo $x=x_{1}$ , temos $x_{2}=x+h_{1}$ e $x_{3}=x+h_{1}+h_{2}$ . Fazendo estas substituições na expressão acima, obtemos seguinte fórmula de diferenças finitas progressiva

$\displaystyle D_{+,h1,h2}f(x)$	$\displaystyle=\frac{1}{h_{1}h_{2}\left(h_{1}+h_{2}\right)}\left(-h_{2}\left(2h% _{1}+h_{2}\right)f{\left(x\right)}\right.$	(1.45)
	$\displaystyle+\left.\left(h_{1}+h_{2}\right)^{2}f{\left(x+h_{1}\right)}\right.$	(1.46)
	$\displaystyle-\left.h_{1}^{2}f{\left(x+h_{1}+h_{2}\right)}\right).$	(1.47)

Agora, assumindo um passo constante $h=h_{1}=h_{2}$ , obtemos a fórmula de diferenças progressiva de ordem $h^{2}$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}D_{+,h^{2}}f(x% )=\frac{1}{2h}\left[-3f{\left(x\right)}+4f{\left(x+h\right)}-f{\left(x+2h% \right)}\right].

(1.48)

Escolhendo $x=x_{2}$ , $x_{1}=x-h$ e $x_{3}=x+h$ na equação (1.42), obtemos a fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}D_{0,h^{2}}=% \frac{1}{2h}\left[f{\left(x+h\right)}-f{\left(x-h\right)}\right].

(1.49)

Por fim, escolhendo $x=x_{3}$ , $x_{1}=x-2h$ e $x_{2}=x-h$ na equação (1.42), obtemos a fórmula de diferenças finitas regressiva de ordem $h^{2}$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}D_{-,h^{2}}=% \frac{1}{2h}\left[3f{\left(x\right)}-4f{\left(x-h\right)}+f{\left(x-2h\right)}% \right].

(1.50)

1.3.2 Fórmulas de cinco pontos

Aqui, usamos o polinômio interpolador de Lagrange da função $f(x)$ pelos pontos $(x_{1},f(x_{1})$ , $(x_{2},f(x_{2}))$ , $(x_{3},f(x_{3}))$ e $(x_{5},f(x_{5}))$ , com $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}<x_{5}$ . Isto nos fornece

f(x)=\sum_{i=1}^{5}f(x_{i})\left(\prod_{j=1,j\neq i}^{5}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x% _{j}}\right)+R_{5}(x).

(1.51)

Calculando a derivada em relação a $x$ , temos

f^{\prime}(x)=\sum_{i=1}^{5}f(x_{i})\left(\sum_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{5}% \prod_{\overset{k=1}{k\neq i,k\neq j}}^{5}\frac{x-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}\right)+R% ^{(1)}_{5}(x).

(1.52)

Por exemplo, substituindo $x_{1}=x-2h$ , $x_{2}=x-h$ , $x_{3}=x$ , $x_{4}=x+h$ e $x_{5}=x+2h$ na equação acima, obtemos fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{4}$

	$\displaystyle D_{+,h^{4}}f(x)$	$\displaystyle:=\frac{1}{12h}\left[f{\left(x-2h\right)}-8f{\left(x-h\right)}\right.$		(1.53)
		$\displaystyle+\left.8f{\left(x+h\right)}-f{\left(x+2h\right)}\right].$		(1.53)

Exercícios

E. 1.3.1.

Use a fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{4}$ para computar a aproximação da derivada de

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}+x

(1.54)

no ponto $x=2,5$ com passo $h=0,1$ .

Resposta.

$1.05913$

E. 1.3.2.

Obtenha as seguintes fórmulas de diferenças finitas de $5$ pontos com passo $h$ constante e com:

a)

$4$ pontos para frente.
b)

$1$ ponto para traz e $3$ pontos para frente.
c)

$2$ pontos para traz e $2$ pontos para frente.
d)

$3$ pontos para traz e $1$ pontos para frente.
e)

$4$ pontos para traz.

Resposta.

	a)	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \frac{1}{12h}\left[3f{\left(x-4h\right)}-16f% {\left(x-3h\right)}+36f{\left(x-2h\right)}-48f{\left(x-h\right)+25f{\left(x% \right)}}\right]$
	b)	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \frac{1}{12h}\left[-f{\left(x-3h\right)}+6f{% \left(x-2h\right)}-18f{\left(x-h\right)}+10f{\left(x\right)}+3f{\left(x+h% \right)}\right]$
	c)	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \frac{1}{12h}\left[f{\left(x-2h\right)}-8f{% \left(x-h\right)}+8f{\left(x+h\right)}-f{\left(x+2h\right)}\right]$
	d)	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \frac{1}{12h}\left[-3f{\left(x-h\right)}-10f% {\left(x\right)}+18f{\left(x+h\right)}-6f{\left(x+2h\right)}+f{\left(x+3h% \right)}\right]$
	d)	$\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \frac{1}{12h}\left[-25f{\left(x\right)}+48f{% \left(x+h\right)}-36f{\left(x+2h\right)}+16f{\left(x+3h\right)}-3f{\left(x+4h% \right)}\right]$

E. 1.3.3.

Considere a seguinte tabela de pontos

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x_{i}$	$2,0$	$2,1$	$2,2$	$2,3$	$2,4$	$2,5$
$y_{i}$	$1,86$	$1,90$	$2,01$	$2,16$	$2,23$	$2,31$

Calcule a aproximação $dy/dx$ nos pontos tabelados usando as fórmulas de diferenças finitas obtidas no exercício anteriores (Exercício 1.3.2). Para tanto, dê preferência para fórmulas centrais sempre que possível.

Resposta.

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$dy/dx$	$1,7500\mathrm{e}\!-\!1$	$7,2500\mathrm{e}\!-\!1$	$1,4250\mathrm{e}\!+\!0$	$1,1250\mathrm{e}\!+\!0$	$4,2500\mathrm{e}\!-\!1$	$1,6750\mathrm{e}\!+\!0$

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