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3 Métodos para Sistemas Lineares 3.2 Norma e Número de Condicionamento 3.4 Método do Gradiente

3.3 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel

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Nesta seção, estudamos os métodos iterativos de Jacobi³⁶³⁶endnote: ³⁶Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804 - 1851, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Gustav Jakob Jacobi. e de Gauss³⁷³⁷endnote: ³⁷Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Friedrich Gauss.-Seidel³⁸³⁸endnote: ³⁸Philipp Ludwig von Seidel, 1821 - 1896, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Philipp Ludwig von Seidel. para a aproximação da solução de sistemas lineares

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},

(3.307)

onde $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ , $n\geq 1$ , é uma dada matriz dos coeficientes, $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ é o vetor das incógnitas e $\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},\dotsc,b_{n})$ é um dado vetor dos termos constantes.

Métodos iterativos para sistemas lineares têm a forma

	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(0)}=\text{aprox. inicial},$		(3.308)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\boldsymbol{x}% ^{(k+1)}=T\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{c},$		(3.309)

onde $T=[t_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ é a matriz de iteração e $\boldsymbol{c}=(c_{1},c_{2},\dotsc,c_{n})$ é o vetor de iteração.

3.3.1 Método de Jacobi

Consideramos a seguinte decomposição da matriz $A=L+D+U$ :

$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}$	(3.315)
	$\displaystyle=\underbrace{\begin{bmatrix}0&0&0&\ldots&0\\ a_{21}&0&0&\ldots&0\\ a_{31}&a_{32}&0&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&0\\ \end{bmatrix}}_{L}$	(3.321)
	$\displaystyle+\underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&\ldots&0\\ 0&a_{22}&0&\ldots&0\\ 0&0&a_{33}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}}_{D}$	(3.327)
	$\displaystyle+\underbrace{\begin{bmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ 0&0&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ 0&0&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}}_{U}.$	(3.333)

Isto é, a matriz $A$ decomposta como a soma de sua parte triangular inferior $L$ , de sua diagonal $D$ e de sua parte triangular superior $U$ .

Desta forma, podemos reescrever o sistema como segue:

$\displaystyle A\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\boldsymbol{b}$	(3.334)
$\displaystyle(L+D+U)\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\boldsymbol{b}$	(3.335)
$\displaystyle(L+U)\boldsymbol{x}+D\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\boldsymbol{b}$	(3.336)
$\displaystyle D\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=-(L+U)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$	(3.337)
$\displaystyle\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=-D^{-1}(L+U)\boldsymbol{x}+D^{-1}\boldsymbol{b}.$	(3.338)

Ou seja, resolver o sistema $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ é equivalente a resolver o problema de ponto fixo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\boldsymbol{x}% =T_{J}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{J},

(3.339)

onde $T_{J}=-D^{-1}(L+U)$ é chamada de matriz de Jacobi e $\boldsymbol{c}_{J}=D^{-1}\boldsymbol{b}$ é chamado de vetor de Jacobi.

Exemplo 3.3.1.

Consideramos o sistema linear $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.340)
	$\displaystyle\boldsymbol{b}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.340)

Este sistema tem solução $\boldsymbol{x}=(2,-1,1)$ . Neste caso, temos a decomposição $A=L+D+U$ com

$\displaystyle L$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}0&0&0\\ -2&0&0\\ 1&-1&0\end{bmatrix},$	(3.344)
$\displaystyle D$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-4&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-3\end{bmatrix},$	(3.348)
$\displaystyle U$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}0&2&-1\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}.$	(3.352)

Ainda, observamos que

$\displaystyle T_{J}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{J}$	$\displaystyle=-D^{-1}(L+U)\boldsymbol{x}+D^{-1}\boldsymbol{b}$	(3.353)
	$\displaystyle=\underbrace{\begin{bmatrix}0&1/2&1/4\\ 2/5&0&-2/5\\ 1/3&-1/3&0\end{bmatrix}}_{T_{J}}\underbrace{\begin{bmatrix}2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}}_{\boldsymbol{x}}+\underbrace{\begin{bmatrix}11/4\\ -7/5\\ 0\end{bmatrix}}_{\boldsymbol{c}_{J}}$	(3.363)
	$\displaystyle=\underbrace{\begin{bmatrix}2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}}_{\boldsymbol{x}}.$	(3.367)

conforme esperado.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# sistema

5A = np.array([[-4., 2., -1.],

6 [-2., 5., 2.],

7 [1., -1., -3.]])

8b = np.array([-11., -7., 0.])

10# A = L + D + U

11L = np.tril(A, -1)

12D = np.diag(np.diag(A))

13U = np.triu(A, 1)

15# matriz de Jacobi

16T = -npla.inv(D) @ (L + U)

17# vetor de Jacobi

18c = npla.inv(D) @ b

A forma matricial das iterações de Jacobi consiste em

	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(0)}$	$\displaystyle=\text{aprox. inicial},$		(3.368)
	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(k+1)}$	$\displaystyle=T_{J}\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{c}_{J},$		(3.368)

onde $\boldsymbol{x}^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\dotsc,x_{n}^{(k)})$ é a $k$ -ésima aproximação da solução do sistema, $k=0,1,2,\ldots$ .

Equivalentemente, tem-se a forma algébrica das iterações de Jacobi

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x_{i}^{(k+1)}=% \frac{{b_{i}-\sum_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}}}{a_{ii}},

(3.369)

com $i=1,2,\dotsc,n$ . Por não requerer as computações da matriz $T_{J}$ e vetor $\boldsymbol{c}_{J}$ , esta é a forma mais usada em implementações computacionais.

Exemplo 3.3.2.

Consideramos o sistema $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.370)
	$\displaystyle\boldsymbol{b}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.370)

Aplicando o método de Jacobi com aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(1)}=(0,0,0)$ obtemos os resultados da Tabela 3.1.

k	$\boldsymbol{x}^{(k)}$	$\\|A\boldsymbol{x}^{(k)}-\boldsymbol{b}\\|$
$0$	$(0,0,0)$	$2.4\mathrm{e}\!+\!1$
$1$	$(2.75,-1.4,0)$	$7.4\mathrm{e}\!+\!0$
$2$	$(2.05,-0.3,1.38)$	$4.6\mathrm{e}\!+\!0$
$3$	$(2.25,-1.13,0.78)$	$2.2\mathrm{e}\!+\!0$
$4$	$(1.99,-0.81,1.13)$	$1.4\mathrm{e}\!+\!0$
$5$	$(2.06,-1.06,0.93)$	$6.9\mathrm{e}\!-\!1$
$\leavevmode\nobreak\ \vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$29$	$(2,-1,1)$	$5.7\mathrm{e}\!-\!7$

Tabela 3.1: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.2.

Código 8: jacobi.py

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def jacobi(A, b, x0, maxiter = 100,

5 tol=4.9e-8, atol=4.9e-8):

7 n = b.size

8 info = -1

10 x = np.empty_like(x0)

11 nres = npla.norm(A@x - b)

12 print(f'\n{0}: {x0}, {nres:.1e}')

14 # iterações

15 for k in range(maxiter):

16 for i in range(n):

17 x[i] = b[i]

18 # x[i] -= np.dot(A[i,:i], x0[:i])

19 for j in range(i):

20 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

21 # x[i] -= np.dot(A[i,i+1:], x0[i+1:])

22 for j in range(i+1,n):

23 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

24 x[i] /= A[i,i]

25 # critério de parada

26 nres = npla.norm(A@x - b)

27 print(f'{k+1}: {x}, {nres:.1e}')

28 if (nres <= max(tol*npla.norm(b), atol)):

29 info = 0

30 break

31 x0 = x.copy()

33 return x, info

A aplicação de Jacobi pode, então, ser feita como segue:

⬇

1# sistema

2A = np.array([[-4., 2., -1.],

3 [-2., 5., 2.],

4 [1., -1., -3.]])

6b = np.array([-11., -7., 0.])

8x0 = np.zeros_like(b)

9x, info = jacobi(A, b, x0)

3.3.2 Método de Gauss-Seidel

Como acima, começamos considerando um sistema linear $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ e a decomposição $A=L+D+U$ , onde $L$ é a parte triangular inferior de $A$ , $D$ é sua parte diagonal e $U$ sua parte triangular superior. Então, observamos que

$\displaystyle A\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\boldsymbol{b}$	(3.371)
$\displaystyle(L+D+U)\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\boldsymbol{b}$	(3.372)
$\displaystyle(L+D)\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=-U\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$	(3.373)
$\displaystyle\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=-(L+D)^{-1}U\boldsymbol{x}+(L+D)^{-1}\boldsymbol{b}.$	(3.374)

Isto nos leva a forma matricial iteração de Gauss-Seidel

	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(1)}$	$\displaystyle=\text{aprox. inicial},$		(3.375)
	$\displaystyle\boldsymbol{x}^{(k+1)}$	$\displaystyle=T_{G}\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{c}_{G},$		(3.375)

onde

	$\displaystyle T_{G}$	$\displaystyle=-(L+D)^{-1}U,$		(3.376)
	$\displaystyle\boldsymbol{c}_{G}$	$\displaystyle=(L+D)^{-1}\boldsymbol{b},$		(3.377)

são a matriz e o vetor de Gauss-Seidel.

Equivalentemente e mais adequada para implementação computacional, temos a forma algébrica da iteração de Gauss-Seidel

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x_{i}^{(k+1)}=% \frac{{b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{% (k)}}}{a_{ii}},

(3.378)

para $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 3.3.3.

Consideramos o sistema $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.382)
	$\displaystyle\boldsymbol{b}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.386)

Aplicando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(1)}=(0,0,0)$ obtemos os resultados da Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.3.

k	$\boldsymbol{x}^{(k)}$	$\\|A\boldsymbol{x}^{(k)}-\boldsymbol{b}\\|$
$0$	$(0,0,0)$	$2.4\mathrm{e}\!+\!1$
$1$	$(2.75,-0.3,1.02)$	$2.6\mathrm{e}\!+\!0$
$2$	$(2.35,-0.87,1.07)$	$1.2\mathrm{e}\!+\!0$
$3$	$(2.05,-1.01,1.02)$	$2.5\mathrm{e}\!-\!1$
$4$	$(1.99,-1.01,1)$	$4.0\mathrm{e}\!-\!2$
$5$	$(1.99,-1,1)$	$2.0\mathrm{e}\!-\!2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$13$	$(2,-1,1)$	$2.3\mathrm{e}\!-\!7$

Código 9: gs.py

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def gs(A, b, x0, maxiter = 100,

5 tol=4.9e-8, atol=4.9e-8):

7 n = b.size

8 info = -1

10 x = np.empty_like(x0)

11 nres = npla.norm(A@x - b)

12 print(f'\n{0}: {x0}, {nres:.1e}')

14 # iterações

15 for k in range(maxiter):

16 for i in range(n):

17 x[i] = b[i]

18 # x[i] -= np.dot(A[i,:i], x[:i])

19 for j in range(i):

20 x[i] -= A[i,j]*x[j]

21 # x[i] -= np.dot(A[i,i+1:], x0[i+1:])

22 for j in range(i+1,n):

23 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

24 x[i] /= A[i,i]

25 # critério de parada

26 nres = npla.norm(A@x - b)

27 print(f'{k+1}: {x}, {nres:.1e}')

28 if (nres <= max(tol*npla.norm(b), atol)):

29 info = 0

30 break

31 x0 = x.copy()

33 return x, info

3.3.3 Análise Numérica

Observamos que ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel consistem de iterações da forma

\boldsymbol{x}^{(k+1)}=T\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{c},

(3.387)

para $k=1,2,\ldots$ , com $x^{(0)}$ uma aproximação inicial dada, $T$ e $c$ a matriz e o vetor de iteração, respectivamente. O seguinte teorema nos fornece uma condição suficiente e necessária para a convergência de tais métodos.

Teorema 3.3.1.

Para qualquer $\boldsymbol{x}^{(0)}\in\mathbb{R}^{n}$ , temos que a sequência $\{\boldsymbol{x}^{(k)}\}_{k=0}^{\infty}$ dada por

\boldsymbol{x}^{(k+1)}=T\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{c},

(3.388)

converge para a solução única de $\boldsymbol{x}=T\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}$ se, e somente se, $\rho(T)<1$ ³⁹³⁹endnote: ³⁹ $\rho(T)$ é o raio espectral da matriz $T$ , i.e. o máximo dos módulos dos autovalores de $T$ ..

Demonstração.

Veja [2, Cap. 7, Sec. 7.3]. ∎

Observação 3.3.1.

((Taxa de convergência.)) Para uma iteração da forma (3.387), temos a seguinte estimativa

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% x}^{(k)}-\boldsymbol{x}\|\approx\rho(T)^{k+1}\|\boldsymbol{x}^{(0)}-% \boldsymbol{x}\|^{\boldsymbol{1}},

(3.389)

onde $\boldsymbol{x}$ é a solução de $\boldsymbol{x}=T\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}$ .

Exemplo 3.3.4.

Consideramos o sistema $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.393)
	$\displaystyle\boldsymbol{b}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.397)

Nos Exemplos 3.3.2 e 3.3.3 vimos que ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel são convergentes para este sistema. Este convergiu aproximadamente duas vezes mais rápido que esse. Isto é confirmado pelos raios espectrais das respectivas matrizes de iteração

	$\displaystyle\rho(T_{J})$	$\displaystyle\approx 0.56,$		(3.398)
	$\displaystyle\rho(T_{G})$	$\displaystyle\approx 0.26.$		(3.399)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# matriz dos coefs

5A = np.array([[-4., 2., -1.],

6 [-2., 5., 2.],

7 [1., -1., -3.]])

9# A = L + D + U

10L = np.tril(A, -1)

11D = np.diag(np.diag(A))

12U = np.triu(A, 1)

14# matriz de Jacobi

15TJ = -npla.inv(D) @ (L + U)

16rho_TJ = max(np.abs(npla.eigvals(TJ)))

17print(f'rho(T_J) = {rho_TJ:.2f}')

19# matriz de Gauss-Seidel

20TG = -npla.inv(L+D) @ U

21rho_TG = max(np.abs(npla.eigvals(TG)))

22print(f'rho(T_G) = {rho_TG:.2f}')

Observação 3.3.2.

(Matriz estritamente diagonal dominante.) Pode-se mostrar que se $A$ é uma matriz estritamente diagonal dominante, i.e. se

|a_{ii}|>\sum_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}|a_{ij}|,

(3.400)

para todo $i=1,2,\ldots,n$ , então ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel são convergentes.

3.3.4 Exercícios

E. 3.3.1.

Considere o seguinte sistema linear

$\displaystyle-4x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}$	$\displaystyle=-1$	(3.401)
$\displaystyle 5x_{2}-x_{3}+2x_{4}$	$\displaystyle=3$	(3.402)
$\displaystyle-x_{1}+4x_{3}-2x_{4}$	$\displaystyle=-2$	(3.403)
$\displaystyle x_{1}-x_{2}-5x_{4}$	$\displaystyle=1$	(3.404)

Compute a aproximação $\boldsymbol{x}^{(5)}$ obtida da aplicação do Método de Jacobi com aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(0)}=(1,1,-1,-1)$ . Também, compute $\|A\boldsymbol{x}^{(5)}-b\|$ .

Resposta.

$\boldsymbol{x}^{(5)}=(0.325164,0.593096,-0.546128,-0.253043)$ ; $\|A\boldsymbol{x}^{(5)}-b\|=7.2\mathrm{e}\!-\!3$

E. 3.3.2.

Considere o sistema linear do Exercício . Compute a aproximação $\boldsymbol{x}^{(5)}$ obtida da aplicação do Método de Gauss-Seidel com aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(0)}=(1,1,-1,-1)$ . Também, compute $\|A\boldsymbol{x}^{(5)}-b\|$ .

Resposta.

$\boldsymbol{x}^{(5)}=(0.325208,0.592417,-0.545397,-0.253442)$ ; $\|A\boldsymbol{x}^{(5)}-b\|=7.1\mathrm{e}\!-\!4$

E. 3.3.3.

Verifique que o Método de Jacobi, com $\boldsymbol{x}^{(0)}=\boldsymbol{0}$ , é divergente para o sistema $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-3&0&1&-1\\ 1&-1&4&0\\ 0&2&1&0\\ 0&-1&1&-5\\ \end{bmatrix},$		(3.409)
	$\displaystyle b$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-2\\ -11\\ 2\\ -19\end{bmatrix}$		(3.414)

Então, escreva um sistema equivalente para o qual o Método de Jacobi seja convergente para qualquer escolha de aproximação inicial.

Resposta.

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-3&0&1&-1\\ 0&2&1&0\\ 1&-1&4&0\\ 0&-1&1&-5\\ \end{bmatrix},$		(3.419)
	$\displaystyle b$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}-2\\ 2\\ -11\\ -19\end{bmatrix}$		(3.424)

E. 3.3.4.

Considere o sistema linear

$\displaystyle-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}$	$\displaystyle=6$	(3.425)
$\displaystyle 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}$	$\displaystyle=-11$
$\displaystyle x_{1}-5x_{2}+3x_{3}$	$\displaystyle=-10.$

Empregando a aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(0)}=\boldsymbol{0}$ , compute a solução com o:

a)

Método de Jacobi.
b)

Método de Gauss-Seidel.

Resposta.

a) divergente. b) $(-2,1,-1)$

E. 3.3.5.

Considere o sistema linear $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ com

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\ -1&2&-1&0&0\\ 0&-1&2&-1&0\\ 0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&0&1\end{bmatrix},$		(3.431)
	$\displaystyle b$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}0\\ 0.5\\ 0.5\\ 0.5\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.437)

Compute a solução empregando o:

a)

Método de Jacobi.
b)

Método de Gauss-Seidel.

Resposta.

$\boldsymbol{x}=(0,0.75,1,0.75,0)$

E. 3.3.6.

Considere o seguinte sistema de equações

$\displaystyle 2.1x_{1}-x_{2}+0.9x_{3}$	$\displaystyle=-1.3$	(3.438)
$\displaystyle 2x_{1}+2x_{2}+2.1x_{3}$	$\displaystyle=2.1$
$\displaystyle-1.2x_{1}-x_{2}+2x_{3}$	$\displaystyle=-\pi$

Usando a aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(0)}=\boldsymbol{0}$ , verifique que o método de Jacobi não converge para sua solução, enquanto que o método de Gauss-Seidel converge. Por quê?

Resposta.

$\rho(T_{J})=1.12\mathrm{e}\!+\!0>1$ , $\rho(T_{G})=5.48\mathrm{e}\!-\!1<1$ .

E. 3.3.7.

Considere o seguinte sistema de equações

$\displaystyle 1.1x_{1}+2x_{2}-1.9x_{3}$	$\displaystyle=-1.3$	(3.439)
$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}$	$\displaystyle=2.1$
$\displaystyle 2.1x_{1}+1.9x_{2}+x_{3}$	$\displaystyle=-\pi$

Usando a aproximação inicial $\boldsymbol{x}^{(0)}=\boldsymbol{0}$ , verifique que o método de Jacobi converge para sua solução, enquanto que o método de Gauss-Seidel não converge. Por quê?

Resposta.

$\rho(T_{J})=8.5\mathrm{e}\!-\!1<1$ , $\rho(T_{G})=1.95\mathrm{e}\!+\!0>1$ .

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