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3 Métodos para Sistemas Lineares 3.1 Método da Decomposição LU 3.3 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel

3.2 Norma e Número de Condicionamento

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Nesta seção, fazemos uma rápida discussão sobre normas de vetores e matrizes e sobre o condicionamento de uma matriz.

3.2.1 Norma $L^{2}$

Norma de Vetores

A norma $L^{2}$ de um dado vetor $\boldsymbol{v}=(v_{1},v_{2},\dotsc,v_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% v}\|:=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}.

(3.217)

Lembrando que o produto interno de dois vetores $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{2}$ é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\boldsymbol{u}% \cdot\boldsymbol{v}:=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots+u_{n}v_{n},

(3.218)

temos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% v}\|=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}.

(3.219)

Exemplo 3.2.1.

Sejam os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}$	$\displaystyle=(1,-2,3,-4),$		(3.220)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}$	$\displaystyle=(-1,2,0,1).$		(3.221)

a)

$\displaystyle\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$ $\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots+u_{n}v_{n}$ (3.222)

$\displaystyle=1\cdot(-1)+(-2)\cdot 2+3\cdot 0+(-4)\cdot 1$ (3.223)

$\displaystyle=-1-4+0-4$ (3.224)

$\displaystyle=-9.$ (3.225)

⬇

1import numpy as np

2u = np.array([1., -2., 3., -4.])

3v = np.array([-1., 2., 0., 1.])

4udv = np.dot(u,v)

5print(f'\nu.v = {udv}')
b)

$\displaystyle\|\boldsymbol{v}\|$ $\displaystyle=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$ (3.226)

$\displaystyle=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}}$ (3.227)

$\displaystyle=\sqrt{1+4+1}$ (3.228)

$\displaystyle=\sqrt{6}=2.4495\mathrm{e}\!+\!0.$ (3.229)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3v = np.array([-1., 2., 0., 1.])

4norm_v = npla.norm(v)

5print(f'\n||v|| = {norm_v}')

Proposição 3.2.1.

(Propriedades da Norma para Vetores.) Dados os vetores $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}$ e um escalar $\lambda\in\mathbb{R}$ , temos:

a)

Positividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% v}\|\geq 0.$ (3.230)

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% v}\|=0\Leftrightarrow\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}.$ (3.231)
b)

Multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\lambda% \boldsymbol{v}\|=|\lambda|\cdot\|\boldsymbol{v}\|.$ (3.232)
c)

Desigualdade de Cauchy³²³²endnote: ³²Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz³³³³endnote: ³³Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz.

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\boldsymbol{u}% \cdot\boldsymbol{v}\leq\|\boldsymbol{u}\|\cdot\|\boldsymbol{v}\|$ (3.233)
d)

Desigualdade triangular

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\boldsymbol{% u}+\boldsymbol{v}\|\leq\|\boldsymbol{u}\|+\|\boldsymbol{v}\|$ (3.234)

Demonstração.

Sejam dados $\lambda\in\mathbb{R}$ e $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}$ .

a)

Positividade.

Observa-se diretamente que $v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}\geq 0$ . Então, como a raiz quadrada é uma função não-negativa, concluímos que

$\displaystyle\|\boldsymbol{v}\|$ $\displaystyle:=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$ (3.235)

$\displaystyle\geq 0$

No caso de $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$ , temos $v_{i}=0$ , $i=1,2,\dotsc,n$ , donde

$\displaystyle\|\boldsymbol{v}\|$ $\displaystyle=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$ (3.236)

$\displaystyle\|\boldsymbol{0}\|$ $\displaystyle=\sqrt{0}=0.$

Ou seja, se $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$ , então $\|\boldsymbol{v}\|=0$ . Agora, se $\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0}$ , então tem-se $v_{i}\neq 0$ para algum $i=1,2,\dotsc,n$ . Logo, pela monotonicidade da função raiz quadrada, temos

$\displaystyle v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}>0$ (3.237)

$\displaystyle\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}>\sqrt{0}$ (3.238)

$\displaystyle\|\boldsymbol{v}\|>0.$ (3.239)

Portanto, concluímos que $\|\boldsymbol{v}\|=0$ se, e somente se, $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$ .
b)

Multiplicação por escalar.

Observamos que

$\lambda\boldsymbol{v}=(\lambda v_{1},\lambda v_{2},\dotsc,\lambda v_{n}).$ (3.240)

Então, segue por cálculo direto que

$\displaystyle\|\lambda\boldsymbol{v}\|$ $\displaystyle=\sqrt{(\lambda v_{1})^{2}+(\lambda v_{2})^{2}+\cdots+(\lambda v_% {n})^{2}}$ (3.241)

$\displaystyle=\sqrt{\lambda^{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2})}$ (3.242)

$\displaystyle=\sqrt{\lambda^{2}}\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$ (3.243)

$\displaystyle=|\lambda|\|\boldsymbol{v}\|.$ (3.244)

Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Sem perda de generalidade, se $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$ , então a desigualdade é imediatamente satisfeita. Suponhamos, agora, que $\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0}$ . Para qualquer $\alpha\in\mathbb{R}$ , temos

$\displaystyle(\boldsymbol{u}+\alpha\boldsymbol{v})\cdot(\boldsymbol{u}+\alpha% \boldsymbol{v})$	$\displaystyle\geq 0$	(3.245)
$\displaystyle\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u}+2\alpha\boldsymbol{u}\cdot% \boldsymbol{v}+\alpha^{2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}$	$\displaystyle\geq 0$	(3.246)
$\displaystyle\\|\boldsymbol{u}\\|^{2}+2\alpha\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+% \alpha^{2}\\|\boldsymbol{v}\\|^{2}$	$\displaystyle\geq 0$	(3.247)

O lado direito desta desigualdade é um polinômio quadrático em $\alpha$ . Para ser não-negativo para todo $\alpha$ , seu discriminante precisa ser não-positivo, i.e.

	$\displaystyle(2\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v})^{2}-4\\|\boldsymbol{u}\\|^{2}% \\|\boldsymbol{v}\\|^{2}\leq 0$		(3.248)
	$\displaystyle(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v})^{2}\leq\\|\boldsymbol{u}\\|^{2}% \\|\boldsymbol{v}\\|^{2}$		(3.249)
	$\displaystyle\sqrt{(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v})^{2}}\leq\sqrt{\\|% \boldsymbol{u}\\|^{2}\\|\boldsymbol{v}\\|^{2}}$		(3.250)
	$\displaystyle\|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\|\leq\\|\boldsymbol{u}\\|\\|% \boldsymbol{v}\\|$		(3.251)

Donde, concluímos que

\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\leq\|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{v}\|.

(3.252)

d)

Desigualdade triangular

Consulte o Exercício 3.2.6 para a demonstração da desigualdade triangular.

∎

Exemplo 3.2.2.

Vamos verificar a Desigualdade Triangular (3.234) para os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}$	$\displaystyle=(1,-2,3,-4),$		(3.253)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}$	$\displaystyle=(-1,2,0,1).$		(3.254)

De fato, temos

$\displaystyle\\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{(u_{1}+v_{1})^{2}+(u_{2}+v_{2})^{2}+(u_{3}+v_{3})^{2}+(u_{% n}+v_{n})^{2}}$	(3.255)
	$\displaystyle=\sqrt{0^{2}+0^{2}+3^{2}+3^{2}}$	(3.256)
	$\displaystyle=\sqrt{18}$	(3.257)
	$\displaystyle=4.2426\mathrm{e}\!+\!0$	(3.258)

$\displaystyle\\|\boldsymbol{u}\\|+\\|\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}}$
	$\displaystyle+\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}+v_{4}^{2}}$	(3.259)
	$\displaystyle=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}$
	$\displaystyle+\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}}$	(3.260)
	$\displaystyle=\sqrt{30}+\sqrt{6}$	(3.261)
	$\displaystyle=7.9267\mathrm{e}\!+\!0$	(3.262)

Ou seja, temos que

\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|\leq\|\boldsymbol{u}\|+\|\boldsymbol{v}\|

(3.263)

como esperado.

⬇

1import numpy as np

2u = np.array([1., -2., 3., -4.])

3v = np.array([-1., 2., 0., 1.])

4nupv = npla.norm(u+v)

5nupnv = npla.norm(u) + npla.norm(v)

6print('\nu.v <= ||u||.||v||?')

7print(nupv <= nupnv)

Norma de Matrizes

A norma $L^{2}$ induzida de uma dada matriz real $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|A\|_{2}:=% \sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n},\|\boldsymbol{x}\|=1}\|A\boldsymbol{x}\|.

(3.264)

Pode-se mostrar que³⁴³⁴endnote: ³⁴Consulte [7, Section 1.3-3] para informações sobre a demonstração.

\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^{T}A)},

(3.265)

onde $\lambda_{max}(A^{T}A):=\max\{|\lambda|;\leavevmode\nobreak\ \lambda\text{ \'{e% } autovalor de }A^{T}A\}$ .

Tendo em vista o grande custo computacional em se calcular a norma induzida, vamos trabalhar com a norma de Frobenius (ou norma Euclidiana³⁵³⁵endnote: ³⁵Euclides de Alexandria, 300 a.C., matemático grego. Fonte: Wikipédia: Euclides.)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|A\|=\left(% \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

(3.266)

Esta é uma generalização da norma euclidiana para vetores e é equivalente a norma $L^{2}$ induzida, i.e.

\|A\|_{2}\leq\|A\|\leq\sqrt{n}\|A\|_{2}.

(3.267)

Exemplo 3.2.3.

A matriz

A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ -2&\pi&4\\ 7&-5&\sqrt{2}\end{bmatrix}

(3.268)

tem norma

\|A\|=10.5768\mathrm{e}\!+\!0.

(3.269)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3A = np.array([[1., -1., 2.],

4 [-2., np.pi, 4.],

5 [7., -5., np.sqrt(2)]])

6norm_A = npla.norm(A)

7print(norm_A)

Proposição 3.2.2.

(Propriedades da Norma para Matrizes.) Dadas as matrizes reais $A, B$ $n\times n$ , um vetor $v\in\mathbb{R}^{n}$ e um escalar $\lambda$ , temos

a)

Positividade

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|A\|\geq 0$ (3.270)

$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|A\|=0% \Leftrightarrow A=\boldsymbol{0}$ (3.271)
b)

Multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|\lambda A\|=% |\lambda|\cdot\|A\|$ (3.272)
c)

Desigualdade triangular

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|A+B\|\leq\|A% \|+\|B\|$ (3.273)
d)

Sub-multiplicatividade

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|AB\|\leq\|A% \|\|B\|$ (3.274)
e)

Norma da aplicação

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\|Av\|\leq\|A% \|\|v\|$ (3.275)

Demonstração.

Consulte o Exercício 3.2.7. ∎

Exemplo 3.2.4.

Vamos ver exemplos das propriedades d) e e) da norma de matriz.

a)

Sub-multiplicatividade

$\displaystyle\|I_{n}^{2}\|=\|I_{n}\|=\sqrt{n}$ (3.276)

$\displaystyle\|I\|\cdot\|I\|=\|I\|^{2}=n$ (3.277)
b)

Norma da aplicação

$\displaystyle\|I_{n}\boldsymbol{v}\|=\|\boldsymbol{v}\|$ (3.278)

$\displaystyle\|I_{n}\|\|v\|=\sqrt{n}\|\boldsymbol{v}\|$ (3.279)

3.2.2 Número de Condicionamento

Em revisão

O número de condicionamento de uma matriz é uma medida referente a propagação de erros que ocorre da sua aplicação. Mais especificamente, assumamos que seja dada uma matriz invertível $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n,n}$ , um vetor $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ e uma perturbação $\boldsymbol{\delta_{x}}\in\mathbb{R}^{n}$ . Além disso, sejam

	$\displaystyle\boldsymbol{y}$	$\displaystyle=A\boldsymbol{x}$		(3.280)
	$\displaystyle\boldsymbol{y}+\boldsymbol{\delta_{y}}$	$\displaystyle=A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta_{x}}).$		(3.281)

Ou seja, $\boldsymbol{\delta_{y}}$ é a perturbação em $\boldsymbol{y}$ propagada da aplicação de $A$ em $\boldsymbol{x}$ com perturbação $\boldsymbol{\delta_{x}}$ .

Agora, podemos estimar a razão entre os erros relativos

	$\displaystyle e_{rel}(\boldsymbol{y}):=\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|/\\|% \boldsymbol{y}\\|$		(3.282)
	$\displaystyle e_{rel}(\boldsymbol{x}):=\\|\boldsymbol{\delta_{x}}\\|/\\|% \boldsymbol{x}\\|$		(3.283)

da seguinte forma

$\displaystyle\frac{\\|\boldsymbol{y}\\|/\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}{\\|% \boldsymbol{x}\\|/\\|\boldsymbol{\delta_{x}}\\|}$	$\displaystyle=\frac{\\|\boldsymbol{y}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}\frac{\\|% \boldsymbol{\delta_{x}}\\|}{\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.284)
	$\displaystyle=\frac{\\|A\boldsymbol{x}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}\frac{\\|A% ^{-1}\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}{\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.285)
	$\displaystyle\leq\frac{\\|A\\|\\|\boldsymbol{x}\\|\\|A^{-1}\\|\\|\boldsymbol{\delta_{% y}}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.286)
	$\displaystyle=\\|A\\|\|A^{-1}\\|.$	(3.287)

Logo, temos a seguinte estimativa de propagação de erro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}e_{rel}(% \boldsymbol{y})\leq\|A\|\|A^{-1}\|e_{rel}(\boldsymbol{x}).

(3.288)

Isto nos motiva a definir o número de condicionamento da matriz $A$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\kappa(A):=\|A% \|\|A^{-1}\|.

(3.289)

A matriz identidade tem o menor número de condicionamento que é

\kappa(I)=1.

(3.290)

temos que $\kappa(A)\geq 1$ e quanto maior, mais mal condicionada é a matriz. Ou seja, quando maior $\kappa(A)$ , maior é a propagação dos erros ao se computar $A\boldsymbol{x}$ .

Exemplo 3.2.5.

Estudamos os seguintes exemplos:

a)

Matriz bem condicionada.

$A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ -2&\pi&4\\ 7&-5&\sqrt{2}\end{bmatrix},$ (3.291)

cujo número de condicionamento é $\kappa(A)=13.997$ .

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3A = np.array([[1., -1., 2.],

4 [-2., np.pi, 4.],

5 [7., -5., np.sqrt(2)]])

6cond_A = npla.cond(A, 'fro')

7print(f'cond(A) = {cond_A}')
b)

Matriz mal condicionada.

$B=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&-2\\ 10^{5}&10^{-4}&10^{5}\end{bmatrix},$ (3.292)

tem número de condicionamento

$\kappa(B)=1.5811\times 10^{14},$ (3.293)

o que indica que $B$ é uma matriz mal condicionada.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3A = np.array([[1., 0., 0.],

4 [0., 0., -2.],

5 [1e5, 1e-4, 1e5]])

6cond_A = npla.cond(A, 'fro')

7print(f'cond(A) = {cond_A:.4e}')

3.2.3 Exercícios

E. 3.2.1.

Compute a norma de cada um dos seguintes vetores:

a)

$\displaystyle\boldsymbol{u}=(1,0,-1)$
b)

$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-2,-1,2)$
c)

$\displaystyle\boldsymbol{w}=(1,0,-1,2,-2)$

Resposta.

a) $\|u\|=\sqrt{2}$ ; b) $\|v\|=3.1623\mathrm{e}\!+\!0$ ; c) $\|w\|=3.1623\mathrm{e}\!+\!0$ ;

E. 3.2.2.

Compute a norma de cada uma das seguintes matrizes:

a)

$A=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}$ (3.294)
b)

$B=\begin{bmatrix}2&1&-1\\ -1&0&2\\ 3&-2&0\end{bmatrix}$ (3.295)
c)

$C=\begin{bmatrix}2&1&-1&0\\ -1&0&2&0\\ 3&-2&0&-1\\ 0&1&0&2\end{bmatrix}$ (3.296)

Resposta.

a) $\|A\|=\sqrt{2}$ ; b) $\|B\|=4.8990\mathrm{e}\!+\!0$ ; c) $\|C\|=5.4772\mathrm{e}\!+\!0$

E. 3.2.3.

Compute o número de condicionamento de cada uma das seguintes matrizes:

a)

$A=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}$ (3.297)
b)

$B=\begin{bmatrix}2&1&-1\\ -1&0&2\\ 3&-2&0\end{bmatrix}$ (3.298)
c)

$C=\begin{bmatrix}2&1&-1&0\\ -1&0&2&0\\ 3&-2&0&-1\\ 0&1&0&2\end{bmatrix}$ (3.299)
d)

$D=\begin{bmatrix}1\mathrm{e}\!+\!5&1\mathrm{e}\!-\!1&0&3\mathrm{e}\!-\!3\\ 0&-1\mathrm{e}\!-\!1&0&-1\mathrm{e}\!-\!3\\ 1\mathrm{e}\!+\!5&1\mathrm{e}\!-\!1&1\mathrm{e}\!-\!2&2\mathrm{e}\!-\!3\\ 0&-1\mathrm{e}\!-\!1&0&0\end{bmatrix}$ (3.300)
e)

$E=\begin{bmatrix}1&1\mathrm{e}\!-\!6&0&3\mathrm{e}\!-\!8\\ -1\mathrm{e}\!-\!6&-2\mathrm{e}\!-\!16&-2\mathrm{e}\!-\!1&0\\ 1\mathrm{e}\!+\!7&1\mathrm{e}\!+\!1&1&2\mathrm{e}\!-\!1\\ 0&-1\mathrm{e}\!2\!&0&0\end{bmatrix}$ (3.301)

Qual das matriz acima é a mais mal condicionada? Justifique sua resposta.

Resposta.

a) $\kappa(A)=2$ ; b) $\kappa(B)=4.6904\mathrm{e}\!+\!0$ ; c) $\kappa(C)=6.6291\mathrm{e}\!+\!0$ ; d) $\kappa(D)=4.6314\mathrm{e}\!+\!8$ e) $\kappa(E)=1.0000\mathrm{e}\!+\!15$ , a mais mal condicionada.

E. 3.2.4.

Considere o seguinte sistema linear

$\displaystyle 10^{-12}x_{1}+20x_{2}+3x_{3}$	$\displaystyle=-1,$	(3.302)
$\displaystyle 2.001x_{1}+10^{-5}x_{2}+-x_{3}$	$\displaystyle=-2,$	(3.303)
$\displaystyle x_{1}-2x_{2}-0.1x_{3}$	$\displaystyle=0.1.$	(3.304)

a)

Compute a norma do vetor dos termos constantes deste sistema.
b)

Compute a norma matriz dos coeficientes deste sistema.
c)

Compute o número de condicionamento da matriz dos coeficientes deste sistema.

Resposta.

a) $2.2383\mathrm{e}\!+\!0$ ; b) $2.0323\mathrm{e}\!+\!1$ ; c) $3.5128\mathrm{e}\!+\!1$

E. 3.2.5.

Considere

A=\begin{bmatrix}1\mathrm{e}\!+\!8&1&2&-1\\ 1\mathrm{e}\!-\!2&1\mathrm{e}\!-\!1&0&1\mathrm{e}\!-\!3\\ 0&1&1\mathrm{e}\!2\!&0\\ 1\mathrm{e}\!-\!5&0&0&1\mathrm{e}\!-\!4\end{bmatrix}

(3.305)

a)

Compute $\kappa(A)$ .
b)

Aloque a matriz diagonal $M$ , cujos elementos da diagonal sejam iguais aos da matriz $A$ .
c)

Verifique que o número de condicionamento de $M^{-1}A$ é melhor que o de $A$ .

Resposta.

a) $\kappa(A)=1.0\mathrm{e}\!+\!12$ ; b) M = np.diag(np.diag(A)); c) $\kappa(M^{-1}A)=4.0201\mathrm{e}\!+\!0$

Análise Numérica

E. 3.2.6.

Mostre que a Desigualdade triangular

\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|\leq\|\boldsymbol{u}\|+\|\boldsymbol{v}\|

(3.306)

vale para quaisquer $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}$ .

Resposta.

Dica: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz (3.233).

E. 3.2.7.

Mostre a Proposição 3.2.2.

Resposta.

Dica: use as propriedades da norma de vetores.

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$\displaystyle\frac{\\|\boldsymbol{y}\\|/\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}{\\|% \boldsymbol{x}\\|/\\|\boldsymbol{\delta_{x}}\\|}$	$\displaystyle=\frac{\\|\boldsymbol{y}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}\frac{\\|% \boldsymbol{\delta_{x}}\\|}{\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.284)
	$\displaystyle=\frac{\\|A\boldsymbol{x}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}\frac{\\|A% ^{-1}\boldsymbol{\delta_{y}}\\|}{\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.285)
	$\displaystyle\leq\frac{\\|A\\|\\|\boldsymbol{x}\\|\\|A^{-1}\\|\\|\boldsymbol{\delta_{% y}}\\|}{\\|\boldsymbol{\delta_{y}}\\|\\|\boldsymbol{x}\\|}$	(3.286)
	$\displaystyle=\\|A\\|\|A^{-1}\\|.$	(3.287)

$\displaystyle\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$	$\displaystyle=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots+u_{n}v_{n}$	(3.222)
	$\displaystyle=1\cdot(-1)+(-2)\cdot 2+3\cdot 0+(-4)\cdot 1$	(3.223)
	$\displaystyle=-1-4+0-4$	(3.224)
	$\displaystyle=-9.$	(3.225)

$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$	(3.226)
	$\displaystyle=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}}$	(3.227)
	$\displaystyle=\sqrt{1+4+1}$	(3.228)
	$\displaystyle=\sqrt{6}=2.4495\mathrm{e}\!+\!0.$	(3.229)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\\|\boldsymbol{% v}\\|\geq 0.$		(3.230)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\\|\boldsymbol{% v}\\|=0\Leftrightarrow\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}.$		(3.231)

	$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle:=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$		(3.235)
		$\displaystyle\geq 0$		(3.235)

	$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$		(3.236)
	$\displaystyle\\|\boldsymbol{0}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{0}=0.$		(3.236)

	$\displaystyle v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}>0$		(3.237)
	$\displaystyle\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}>\sqrt{0}$		(3.238)
	$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|>0.$		(3.239)

$\displaystyle\\|\lambda\boldsymbol{v}\\|$	$\displaystyle=\sqrt{(\lambda v_{1})^{2}+(\lambda v_{2})^{2}+\cdots+(\lambda v_% {n})^{2}}$	(3.241)
	$\displaystyle=\sqrt{\lambda^{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2})}$	(3.242)
	$\displaystyle=\sqrt{\lambda^{2}}\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$	(3.243)
	$\displaystyle=\|\lambda\|\\|\boldsymbol{v}\\|.$	(3.244)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\\|A\\|\geq 0$		(3.270)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\\|A\\|=0% \Leftrightarrow A=\boldsymbol{0}$		(3.271)

	$\displaystyle\\|I_{n}^{2}\\|=\\|I_{n}\\|=\sqrt{n}$		(3.276)
	$\displaystyle\\|I\\|\cdot\\|I\\|=\\|I\\|^{2}=n$		(3.277)

	$\displaystyle\\|I_{n}\boldsymbol{v}\\|=\\|\boldsymbol{v}\\|$		(3.278)
	$\displaystyle\\|I_{n}\\|\\|v\\|=\sqrt{n}\\|\boldsymbol{v}\\|$		(3.279)

3.2 Norma e Número de Condicionamento

3.2.1 Norma L2

Norma de Vetores

Exemplo 3.2.1.

Proposição 3.2.1.

Demonstração.

Exemplo 3.2.2.

Norma de Matrizes

Exemplo 3.2.3.

Proposição 3.2.2.

Demonstração.

Exemplo 3.2.4.

3.2.2 Número de Condicionamento

Exemplo 3.2.5.

3.2.3 Exercícios

E. 3.2.1.

Resposta.

E. 3.2.2.

Resposta.

E. 3.2.3.

Resposta.

E. 3.2.4.

Resposta.

E. 3.2.5.

Resposta.

Análise Numérica

E. 3.2.6.

Resposta.

E. 3.2.7.

Resposta.

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3.2.1 Norma $L^{2}$