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4 Superfícies Quádricas 4 Superfícies Quádricas Referências

4.1 Introdução a superfícies quádricas

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Superfícies no espaço que podem ser descritas por equações da forma

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0

(4.1)

são chamadas de superfícies quádricas, sendo $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $m$ , $n$ , $p$ e $q$ coeficientes dados.

4.1.1 Elipsoides

Um elipsoide centrado na origem é uma superfície quádrica de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.2)

Exemplo 4.1.1.

A Figura 4.1 é um esboço do gráfico da elipsoide de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.3)

Refer to caption — Figura 4.1: Esboço do elipsoide de equação (4.3).

Observamos que a interseção deste elipsoide com o plano $X-Y$ (z=0) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.4)

Ou seja, é a elipse de vértice sobre o eixo maior $A_{1}=(-3,0)$ e $A_{2}=(3,0)$ e vértices sobre o eixo menor $B_{1}=(-2,0)$ e $B_{2}=(2,0)$ .

De forma análoga, temos que a interseção do elipsoide (4.3) com o plano $X-Z$ ( $y=0$ ) é a elipse de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}+z^{2}=1.

(4.5)

Também, temos associada a elipse de equação reduzida

\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1

(4.6)

que é obtida da interseção do elipsoide (4.3) com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ).

4.1.2 Hiperboloides

Hiperboloides de uma folha

Um hiperboloide de uma folha centrado na origem é uma superfície quádrica de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.7)

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.8)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.9)

Exemplo 4.1.2.

Vamos considerar o hiperboloide de equação

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.10)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a elipse

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.11)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}-z^{2}=1.

(4.12)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a hipérbole de equação

\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.13)

A Figura 4.2 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação (4.10).

Exemplo 4.1.3.

A Figura 4.3 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação

-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.14)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a hipérbole

-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.15)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

-\frac{x^{2}}{9}+z^{2}=1.

(4.16)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a elipse de equação

\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.17)

Hiperboloides de duas folhas

Hiperboloides de duas folhas têm equações

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.18)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.19)

-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

(4.20)

Exemplo 4.1.4.

Vamos considerar o hiperboloide de equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1.

(4.21)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a hipérbole

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1.

(4.22)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a hipérbole de equação reduzida

\frac{x^{2}}{9}-z^{2}=1.

(4.23)

E, a interseção do hiperboloide com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é vazia, pois não existem $y$ e $z$ que satisfazem a equação

-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1,

(4.24)

A Figura 4.4 é o esboço do gráfico do hiperboloide de equação (4.21).

4.1.3 Paraboloide elíptico

Um paraboloide elíptico tem equação

\pm z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}

(4.25)

\pm y=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.26)

\pm x=\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.27)

Exemplo 4.1.5.

Vamos considerar o paraboloide elíptico de equação

z=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}

(4.28)

Não há valor $z<0$ que satisfaça a equação (4.28). Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é o ponto $(0,0,0)$ . Agora, sua interseção com cada plano paralelo ao plano $X-Y$ e com $z=z_{0}>0$ é a elipse de equação

z_{0}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}

(4.29)

ou, equivalentemente,

\frac{x^{2}}{9z_{0}}+\frac{y^{2}}{4z_{0}}=1.

(4.30)

A Figura 4.5 é o esboço do gráfico do paraboloide elíptico de equação (4.28).

Exemplo 4.1.6.

O esboço do gráfico de paraboloide elíptico de equação

-x=\frac{y^{2}}{4}+z^{2}

(4.31)

é dado na Figura 4.6. Verifique!

4.1.4 Paraboloide hiperbólico

Um paraboloide elíptico tem equação

\pm z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}

(4.32)

\pm y=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.33)

\pm x=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}

(4.34)

Exemplo 4.1.7.

Vamos considerar o paraboloide hiperbólico de equação

z=\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}.

(4.35)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) são retas que satisfazem a equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=0.

(4.36)

De fato, isolando $y$ , obtemos as equações destas retas

y=\pm\frac{2}{3}x.

(4.37)

Sua interseção com o plano $X-Z$ (y=0) é a parábola de equação

z=\frac{x^{2}}{9}.

(4.38)

E, a interseção do paraboloide hiperbólico com o plano $Y-Z$ ( $x=0$ ) é a parábola de equação

z=-\frac{y^{2}}{4}.

(4.39)

A Figura 4.7 é o esboço do gráfico do paraboloide hiperbólico de equação (4.35).

Exercícios resolvidos

ER 4.1.1.

Escreva a equação do elipsoide que tem como interseções

a)

com o plano $z=0$ a elipse

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$ (4.40)
b)

com o plano $y=0$ a elipse

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1$ (4.41)

Solução.

Um elipsoide tem equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.42)

Sua interseção com o plano $X-Y$ ( $z=0$ ) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

(4.43)

Logo, do item a), temos $a^{2}=4$ e $b^{2}=16$ .

Agora, a interseção com o plano $X-Z$ ( $y=0$ ) é a elipse de equação

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

(4.44)

Assim, do item b), obtemos $c^{2}=9$ .

Desta forma, concluímos que o elipsoide de equação

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}=1.

(4.45)

ER 4.1.2.

Encontre a equação do paraboloide elíptico que contem a circunferência

x^{2}+z^{2}=1,\quad y=-2.

(4.46)

Solução.

Para que o paraboloide contenha a circunferência

x^{2}+z^{2}=1,\quad y=-2,

(4.47)

ele precisa abrir-se no sentido negativo na direção $y$ . Logo, tem equação

-y=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}.

(4.48)

Fixado $y=-2$ , a equação fica restrita a

2=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}.

(4.49)

Notamos que para esta equação coincida com a circunferência $x^{2}+z^{2}=1$ , devemos escolher $a^{2}=b^{2}=1/2$ . Logo, concluímos que o paraboloide elíptico tem equação

-y=\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{z^{2}}{\frac{1}{2}}.

(4.50)

Exercícios

E. 4.1.1.

Classifique cada uma das seguintes superfícies quádricas:

a)

$\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1$
b)

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1$
c)

$\displaystyle z=-x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$
d)

$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

Resposta.

a) hiperboloide de uma folha; b) elipsoide; c) paraboloide elíptico; d) ponto $(0,0,0)$

E. 4.1.2.

Forneça a equação do elipsoide que contem os pontos $P=(0,2,0)$ , $Q=(-1,0,0)$ e $R=(0,0,1)$ .

Resposta.

$\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$

E. 4.1.3.

Forneça a equação do hiperboloide de duas folhas que tem interseções:

a)

com o eixo $X-Y$ igual a hipérbole

$-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ (4.51)
b)

com o eixo $Y-Z$ igual a hipérbole

$\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$ (4.52)

Resposta.

$\displaystyle-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1$

E. 4.1.4.

Forneça a equação do paraboloide elíptico que contem a elipse

\frac{x^{2}}{2}+z^{2}=1,\quad y=2.

(4.53)

Resposta.

$\displaystyle y=x^{2}+\frac{z^{2}}{\frac{1}{2}}$

E. 4.1.5.

Considere o hiperboloide de uma folha de equação

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

(4.54)

Classifique o lugar geométrico de sua interseção com cada um dos seguintes planos

1.

$X-Y$
2.

$X-Z$
3.

$Y-Z$

Resposta.

a) hipérbole; b) elipse; c) hipérbole

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