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1 Retas e Planos 1.2 Equações da reta 2 Outros sistemas de coordenadas

1.3 Equações do plano

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Em revisão

Um plano $\pi$ fica unicamente determinado por um ponto $A\in\pi$ e dois vetores linearmente independentes $\vec{u},\vec{v}\in\pi$ ²²endnote: ²No sentido que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm representantes no plano $\pi$ .. Veja a Figura 1.9.

Refer to caption — Figura 1.9: Ilustração de um plano no espaço tridimensional.

Os chamados vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ determinam infinitos planos paralelos entre si. O chamado ponto de ancoragem $A$ fixa um destes planos.

1.3.1 Equação vetorial do plano

Consideremos um plano $\pi$ determinado pelo ponto de ancoragem $A$ e os vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (veja a Figura 1.10). Então, um ponto $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ é coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , i.e. $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Ou seja, $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ pode ser escrito como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Isto nos fornece a chamada equação vetorial do plano

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}P\in\pi% \Leftrightarrow\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},\quad\lambda,% \beta\in\mathbb{R}}.

(1.94)

Exemplo 1.3.1.

Consideremos o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e pelos vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ (Veja a Figura 1.11. Desta forma, uma equação vetorial para este plano é

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(1.95)

para $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

Tomando, por exemplo, $\lambda=-1$ e $\beta=1$ , obtemos

$\displaystyle\overrightarrow{AP}$	$\displaystyle=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v}$	(1.96)
	$\displaystyle=-(2,-1,0)+(0,1,1)$	(1.97)
	$\displaystyle=(-2,2,1).$	(1.98)

Observando que as coordenadas do ponto $P$ são iguais as coordenadas do vetor $\overrightarrow{OP}$ , temos

$\displaystyle\overrightarrow{OP}$	$\displaystyle=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$	(1.99)
	$\displaystyle=(1,-1,1)+(-2,2,1)$	(1.100)
	$\displaystyle=(-1,1,2).$	(1.101)

Ou seja, $P=(-1,1,2)\in\pi$ .

1.3.2 Equações paramétricas do plano

Seja um plano $\pi$ com ponto de ancoragem $A=(x_{A},y_{A},z_{A})\in\pi$ e vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Então, todo o ponto $P=(x,y,z)$ neste plano $\pi$ satisfaz a equação vetorial

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(1.102)

para dados parâmetros $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ . Assim, temos

	$\displaystyle(x-x_{A},y-y_{A},z-z_{A})$	$\displaystyle=\lambda(u_{1},u_{2},u_{3})+\beta(v_{1},v_{2},v_{3})$		(1.103)
		$\displaystyle=(\lambda u_{1}+\beta v_{1},\lambda u_{2}+\beta v_{2},\lambda u_{% 3}+\beta v_{3}).$		(1.104)

Portanto, temos

$\displaystyle x-x_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{1}+\beta v_{1},$	(1.105)
$\displaystyle y-y_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{2}+\beta v_{2},$	(1.106)
$\displaystyle z-z_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{3}+\beta v_{3}.$	(1.107)

Ou, equivalentemente,

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x_{A}+% \lambda u_{1}+\beta v_{1}},$	(1.108)
$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y_{A}+% \lambda u_{2}+\beta v_{2}},$	(1.109)
$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}z}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}z_{A}+% \lambda u_{3}+\beta v_{3}},$	(1.110)

as quais são chamadas de equações paramétricas do plano.

Exemplo 1.3.2.

No Exemplo 1.3.1, discutimos sobre o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e os vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ . Do que vimos acima, temos que

$\displaystyle x$	$\displaystyle=1+2\lambda,$	(1.111)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-1-\lambda+\beta,$	(1.112)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=1+\beta,$	(1.113)

são equações paramétricas deste plano.

Podemos usar as equações paramétricas do plano para plotá-lo usando o SymPy. Para tanto, podemos usar os seguintes comandos:

from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface
var(’r,s’,real=True)
plot3d_parametric_surface(1+2*r,-1-r+s,1+s,
                          (r,-2,2),(s,-2,2),show=True,
                          xlabel=’$x$’,ylabel=’$y$’)

1.3.3 Equação geral do plano

Seja $\pi$ o plano determinado pelo ponto de ancoragem $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e pelos vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Sabemos que $P=(x,y,z)\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Ou, equivalentemente, o produto misto $[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0$ . Logo,

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$	(1.114)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x-x_{A}&y-y_{A}&z-z_{A}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$	(1.118)
	$\displaystyle=-u_{1}v_{2}z_{A}+u_{1}v_{3}y_{A}+u_{2}v_{1}z_{A}$	(1.119)
	$\displaystyle-u_{2}v_{3}x_{A}-u_{3}v_{1}y_{A}+u_{3}v_{2}x_{A}$	(1.120)
	$\displaystyle+x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(u_{2}v_% {3}-u_{3}v_{2})}+y{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(-u_{1}v% _{3}+u_{3}v_{1})}+z{\color[rgb]{1,.5,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{1,.5,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{.5}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{.5}{0}(u_% {1}v_{2}-u_{2}v_{1})}.$	(1.121)

Observamos que a equação acima tem a forma geral

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a}x+{\color[% rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}b}y+{\color[% rgb]{1,.5,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,.5,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{.5}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{.5}{0}c}z+d=0,

(1.122)

com $a, b, c, d$ não todos nulos ou, equivalentemente, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\neq 0$ . Esta última é chamada equação geral do plano.

Exemplo 1.3.3.

No Exemplo 1.3.1, discutimos sobre o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e os vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ . Para encontrarmos a equação geral deste plano, tomamos $P=(x,y,z)$ e calculamos

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$	(1.123)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-1\\ 2&-1&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}$	(1.127)
	$\displaystyle=-x-2y+2z-3.$	(1.128)

Ou seja, a equação geral deste plano é

-x-2y+2z-3=0.

(1.129)

1.3.4 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Seja $\pi$ um plano tal que $A=(2,0,-1)\in\pi$ , $P=(0,1,-1)\in\pi$ e $\vec{u}=(1,0,1)\in\pi$ . Determine uma equação vetorial para $\pi$ .

Solução.

Para obtermos uma equação vetorial do plano $\pi$ , precisamos de um ponto e dois vetores l.i. em $\pi$ . Do enunciado, temos o ponto $A=(2,0,-1)\in\pi$ e o vetor $\vec{u}$ . Portanto, precisamos encontrar um vetor $\vec{v}\in\pi$ tal que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sejam l.i.. Por sorte, temos $P=(0,1,-1)\in\pi$ e, portanto $\overrightarrow{AP}\in\pi$ . Podemos tomar

	$\displaystyle\vec{v}$	$\displaystyle=\overrightarrow{AP}$		(1.130)
		$\displaystyle=(-2,1,0),$		(1.131)

pois $\vec{v}$ e $\vec{u}$ são l.i.. Logo, uma equação vetorial do plano $\pi$ é

	$\displaystyle\overrightarrow{AP}$	$\displaystyle=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},$		(1.132)
		$\displaystyle=\lambda(1,0,1)+\beta(-2,1,0),$		(1.133)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

ER 1.3.2.

Seja $\pi$ o plano de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+\lambda,$		(1.134)
	$\displaystyle y=\beta,$		(1.135)
	$\displaystyle z=1-\lambda+\beta.$		(1.136)

Determine o valor de $z_{P}$ de forma que $P=(-1,2,z_{P})\in\pi$ .

Solução.

Para que $P=(-1,2,z_{P})$ pertença ao plano, devemos ter

	$\displaystyle-1=-1+\lambda,$		(1.137)
	$\displaystyle 2=\beta,$		(1.138)
	$\displaystyle z_{P}=1-\lambda+\beta.$		(1.139)

Das duas primeiras equações, obtemos $\lambda=0$ e $\beta=2$ . Daí, da terceira equação, temos

\displaystyle z_{P}=1-0+2=3.

(1.140)

Exercícios

E. 1.3.1.

Determine a equação vetorial do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

Resposta.

$\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2),\quad\lambda,\beta\in\mathbb% {R}$

E. 1.3.2.

Seja o plano de equação vetorial $\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2)$ , $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ , com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ . Determine $x$ tal que $P=(x,3,0)$ pertença a este plano.

Resposta.

$x=5$

E. 1.3.3.

Determine as equações paramétricas do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

Resposta.

$x=-1+2\lambda-\beta$ , $y=-\lambda+\beta$ , $z=2+\lambda+2\beta$

E. 1.3.4.

Considere o plano de equações paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=-1+2\lambda-\beta,$	(1.141)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-\lambda+\beta,$	(1.142)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=2+\lambda+2\beta.$	(1.143)

Determine $y$ tal que $P=(-6,y,2)$ pertença a este plano.

Resposta.

$y=3$

E. 1.3.5.

Determine a equação geral do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

Resposta.

$-3x-5y+z-5=0$

E. 1.3.6.

Considere o plano de equação geral $-3x-5y+z-5=0$ . Determine $z$ tal que o ponto $P=(0,0,z)$ pertença a este plano.

Resposta.

$z=5$

E. 1.3.7.

Considere o plano $\pi$ de equações paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=-1+\lambda$	(1.144)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=\beta$	(1.145)
$\displaystyle z=$	$\displaystyle=1-\lambda+\beta$	(1.146)

A reta $r$ de equação paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=2$	(1.147)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-1+2\lambda$	(1.148)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=2\lambda$	(1.149)

é paralela ao plano $\pi$ ? Justifique sua resposta.

Resposta.

sim

E. 1.3.8.

Considere o plano $\pi$ de equação geral

6x-7y-5z=-6.

(1.150)

Determine uma equação paramétrica para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $\pi$ e passa pelo ponto $A=(2,-1,0)$ .

Resposta.

$x=2+6\lambda$ , $y=-1-7\lambda$ , $z=-5\lambda$

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