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4 Integração 4.5 Integração por partes 4.7 Integração por frações parciais

4.6 Integração por substituição trigonométrica

Em muitos casos, integrais em $x$ envolvendo

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(4.500)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(4.501)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(4.502)

com $a>0$ , podem ser calculadas por meio de substituições envolvendo funções trigonométricas.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}-x^{2}}

(4.503)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sin\theta

(4.504)

com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ . Com isso⁴⁸⁴⁸endnote: ⁴⁸Lembremos da identidade trigonométrica fundamental $\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}-a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}$	(4.505)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$	(4.506)
	$\displaystyle=a\|\cos\theta\|$	(4.507)
	$\displaystyle=\|a\|\cos\theta$	(4.508)

uma vez que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Com isso, eliminamos o termo radical, passando a uma integral envolvendo a função trigonométrica.

Exemplo 4.6.1.

Vamos calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(4.509)

a)

Por substituição trigonométrica. Fazemos a substituição trigonométrica

$\displaystyle x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (4.510)

$\displaystyle\Rightarrow$ (4.511)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (4.512)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$ $\displaystyle=\int\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta% )\,d\theta$ (4.513)

$\displaystyle=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (4.514)

$\displaystyle=\int d\theta$ (4.515)

$\displaystyle=\theta+C$ (4.516)

$\displaystyle=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (4.517)
b)

Por integração direta. No estudo de derivadas de funções trigonométricas inversas, vemos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$ (4.518)

Logo, pela definição de integral indeterminada, temos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (4.519)

como esperado.

Com Python+SymPy, podemos computar esta integral como os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(1/sqrt(1-x**2),x)

4 asin(x)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}+x^{2}}

(4.520)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}

(4.521)

Com isso⁴⁹⁴⁹endnote: ⁴⁹Lembremos a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}+a^{2}\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$	(4.522)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$	(4.523)
	$\displaystyle=\|a\|\|\sec(\theta)\|$	(4.524)
	$\displaystyle=\|a\|\sec(\theta),$	(4.525)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Exemplo 4.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(4.526)

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(4.527)
	$\displaystyle\Rightarrow dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(4.528)

Substituindo na integral, temos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4+4\operatorname{tg}^{2}(\theta)}\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(4.529)
		$\displaystyle=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(4.530)

Para calcular esta última integral, podemos usar integração por partes⁵⁰⁵⁰endnote: ⁵⁰Consulte o Exercício 4.5.9., donde obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|+C$	(4.531)
	$\displaystyle=x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}% \right)\right)$	(4.532)
	$\displaystyle+2\ln\left\|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{2}\right)\right)+\frac{x}{2}\right\|+C$	(4.533)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{x^{2}+a^{2}}

(4.534)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sec(\theta),

(4.535)

assumindo $0\leq\theta\leq\pi/2$ , no caso de $x\geq a$ , e $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ , quando $x\leq-a$ .

Exemplo 4.6.3.

Vamos calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(4.536)

para $x\geq 2$ . Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(4.537)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(4.538)

Substituindo na integral, temos⁵¹⁵¹endnote: ⁵¹Vamos usar a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ .

$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}2\sec(\theta)\operatorname{tg}(% \theta)\,d\theta$	(4.539)
	$\displaystyle=4\int\sec(\theta)\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(4.540)
	$\displaystyle=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$	(4.541)
	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|$	(4.542)
	$\displaystyle-4\ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$	(4.543)
	$\displaystyle=x\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left% (\frac{x}{2}\right)\right)$	(4.544)
	$\displaystyle-2\ln\left\|\frac{x}{2}+\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}% \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right\|+C$	(4.545)

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(4.546)

Solução.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=5\operatorname{sen}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(4.547)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(4.548)

Substituindo na integral, temos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\operatorname{sen}^% {2}(\theta)\sqrt{25-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\,d\theta

(4.549)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{5}\right)$		(4.550)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{% sen}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(4.551)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}% \operatorname{sen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(4.552)

Segue que

$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}$	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25% \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$	(4.553)
	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{cossec}^{2}(% \theta)\,d\theta$	(4.554)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\left.\operatorname{cotg}^{2}(\theta)\right\|_{\frac% {\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$	(4.555)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac% {1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$	(4.556)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$	(4.557)

ER 4.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(4.558)

para $x\leq-2$ .

Solução.

Fazemos a substituição trigonométrica

x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi\\ dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)

(4.559)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(\theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta% )\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(4.560)
	$\displaystyle=\int 2\|\operatorname{tg}(\theta)\|\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(4.561)
	$\displaystyle=-2\int\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(4.562)
	$\displaystyle=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$	(4.563)
	$\displaystyle=-2\operatorname{tg}(\theta)+2\theta+C$	(4.564)

Como $x=2\sec(\theta)$ , temos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ e

\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}

(4.565)

Concluímos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(% \frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(4.566)

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}

(4.567)

a)

Pelo método de substituição.
b)

Pelo método de substituição trigonométrica.

Resposta.

a) $u=\frac{1}{2}x$ ; b) $x=\operatorname{sen}(x)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x/2)+C$

E. 4.6.2.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(4.568)

Resposta.

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 4.6.3.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(4.569)

Resposta.

$\displaystyle x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{5}% \right)\right)+5\ln\left|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{5}\right)\right)+\frac{x}{5}\right|+C$

E. 4.6.4.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(4.570)

Resposta.

$(\sqrt{3}-1)/4$

E. 4.6.5.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(4.571)

para $x\geq 3$ .

Resposta.

$\sqrt{x^{2}-9}-2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

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	$\displaystyle x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$		(4.510)
	$\displaystyle\Rightarrow$		(4.511)
	$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$		(4.512)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta% )\,d\theta$	(4.513)
	$\displaystyle=\int\frac{\cos(\theta)}{\|\cos(\theta)\|}\,d\theta$	(4.514)
	$\displaystyle=\int d\theta$	(4.515)
	$\displaystyle=\theta+C$	(4.516)
	$\displaystyle=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$	(4.517)

4.6 Integração por substituição trigonométrica

Integrais envolvendo 𝒂𝟐−𝒙𝟐

Exemplo 4.6.1.

Integrais envolvendo 𝒂𝟐+𝒙𝟐

Exemplo 4.6.2.

Integrais envolvendo 𝒙𝟐−𝒂𝟐

Exemplo 4.6.3.

4.6.1 Exercícios resolvidos

ER 4.6.1.

Solução.

ER 4.6.2.

Solução.

4.6.2 Exercícios

E. 4.6.1.

Resposta.

E. 4.6.2.

Resposta.

E. 4.6.3.

Resposta.

E. 4.6.4.

Resposta.

E. 4.6.5.

Resposta.

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Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$