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4 Integração 4.6 Integração por substituição trigonométrica 4.8 Integrais Impróprias

4.7 Integração por frações parciais

O método de integração por frações parciais aplica-se a integrais de funções racionais

\int\frac{p(x)}{q(x)}\,dx

(4.572)

onde, $p$ e $q$ são funções polinomiais. A ideia é usar a chamada decomposição por fatores parciais: toda função racional própria⁵²⁵²endnote: ⁵²Uma função racional $p/q$ é própria, quando o grau de $p$ é menor que o grau do denominador. $p/q$ pode ser reescrita da seguinte forma

\frac{p(x)}{q(x)}=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x),

(4.573)

onde $f_{1},f_{2},\dotsc,f_{n}$ são chamadas de frações parciais e têm a forma

\frac{A}{(ax+b)^{m}}

(4.574)

\frac{Ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(4.575)

sendo seus denominadores os fatores de $q$ .

4.7.1 Raízes reais distintas

Quando o polinômio denominador tem todas suas raízes reais e distintas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\cdots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}

(4.576)

onde, $n$ é o grau do denominador.

Exemplo 4.7.1.

Vamos calcular

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx.

(4.577)

Para fazermos a decomposição por frações parciais, começamos calculando as raízes do denominador.

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}2}x^{2}-5x+3=0$		(4.578)
	$\displaystyle x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$		(4.579)
	$\displaystyle x_{1,2}=\frac{\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-4\cdot\frac{3}{2}% }}{2}$		(4.580)
	$\displaystyle x_{1}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}1},% \quad x_{2}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{3}{2}}$		(4.581)

Com isso, decompomos o denominador como segue

	$\displaystyle 2x^{2}-5x+3$	$\displaystyle={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}2}(x-{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}1})\left(x-{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{3}{2}}\right)$		(4.582)
		$\displaystyle=(x-1)(2x-3)$		(4.583)

Com o Python+SymPy, podemos computar a fatoração do polinômio acima como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> factor(2*x**2 - 5*x + 3)

4 (x - 1)*(2*x - 3)

Uma vez fatorado o denominador, a decomposição por frações parciais consistem em calcular os parâmetros $A$ e $B$ tais que

$\displaystyle\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}$	$\displaystyle=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x-3}$	(4.584)
	$\displaystyle=\frac{A(2x-3)+B(x-1)}{(x-1)(2x-3)}$	(4.585)
	$\displaystyle=\frac{(2A+B)x+(-3A-B))}{(x-1)(2x-3)}$	(4.586)

Então, por comparação direta, obtemos o seguinte sistema linear de duas equações e duas incógnitas

2A+B=2\\ -3A-B=-4

(4.587)

Resolvendo-o, encontramos $A=2$ e $B=-2$ .

Com o Python+SymPy, podemos computar a solução deste sistema como segue:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> A,B = symbols('A,B')

3 >>> solve([Eq(2*A + B, 2),

4 >>> Eq(-3*A - B, -4)])

5 {A: 2, B: -2}

Em fim, obtemos a decomposição por frações parciais

\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}=\frac{2}{x-1}-\frac{2}{2x-3}.

(4.588)

Com o Python+SymPy, podemos computar a decomposição por frações parciais diretamente com o método apart. Neste caso aqui, temos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> apart((2*x-4)/(2*x**2 - 5*x + 3))

4 -2/(2*x - 3) + 2/(x - 1)

Uma vez, calculada a decomposição, temos que a integral que queremos calcular pode ser reescrita da seguinte forma

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=\int\frac{2}{x-1}\,dx-\int\frac{2}{2x-3}\,dx

(4.589)

As integrais do lado esquerdo podem ser computadas pelo método da substituição, obtendo-se

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|2x-3|+C

(4.590)

4.7.2 Raízes reais múltiplas

No caso em que o denominador com raízes reais múltiplas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{(ax+b)^{m}}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\cdots+% \frac{A_{m}}{(ax+b)^{m}}.

(4.591)

Exemplo 4.7.2.

Vamos calcular

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx

(4.592)

O denominador tem raiz real dupla $x_{1,2}=1$ , podendo ser fatorado como segue

x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}

(4.593)

Então, a decomposição do integrando por frações parciais tem a forma

$\displaystyle\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}$	$\displaystyle=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}}{(x-1)^{2}}$	(4.594)
	$\displaystyle=\frac{A_{1}(x-1)+A_{2}}{(x-1)^{2}}$	(4.595)
	$\displaystyle=\frac{A_{1}x+(-A_{1}+A_{2})}{(x-1)^{2}}$	(4.596)

Por comparação direta, encontramos o seguinte sistema de equações lineares

A_{1}=-1\\ -A_{1}+A_{2}=2

(4.597)

Donde, obtemos os parâmetros $A_{1}=-1$ e $A_{2}=1$ . Com isso, a integral pode ser reescrita da seguinte forma

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\int\frac{1}{x-1}\,dx+\int\frac{1}{(x-1)^{2}}% \,dx

(4.598)

Estas últimas podem ser calculadas pelo método de substituição, donde concluímos que

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

(4.599)

Com o Python+SymPy, podemos computar esta integral diretamente com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate((2-x)/(x**2 - 2*x + 1))

4 -log(x - 1) - 1/(x - 1)

4.7.3 Raízes complexas

Quando o polinômio denominador tem raízes complexas, a decomposição por frações parciais tem a forma

\frac{p(x)}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\cdots+\frac{A% _{m}x+B_{m}}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(4.600)

Exemplo 4.7.3.

Vamos calcular

\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx

(4.601)

As raízes do denominador são $x_{1}=1$ e $x_{2,3}=1\pm i$ . Desta forma, fazemos a decomposição por frações parciais do integrando como segue

$\displaystyle\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}$	$\displaystyle=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{x^{2}-2x+2}$	(4.602)
	$\displaystyle=\frac{A_{1}(x^{2}-2x+2)+(A_{2}x+B_{2})(x-1))}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}$	(4.603)
	$\displaystyle=\frac{(A_{1}+A_{2})x^{2}+(-2A_{1}-A_{2}+B_{2})x+(2A_{1}-B_{2})}{% x^{3}-3x^{2}+4x-2}$	(4.604)

Por comparação direta, temos

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(4.605)
	$\displaystyle-2A_{1}-A_{2}+B_{2}=0$		(4.606)
	$\displaystyle 2A_{1}-B_{2}=1$		(4.607)

donde $A_{1}=1$ , $A_{2}=-1$ e $B_{2}=1$ . Com isso, calculamos a integral como segue

	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{(x-1)}\,dx+\int\frac{-x+1}{x^{2}-2x+2}\,dx$		(4.608)
		$\displaystyle=\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln\|x^{2}-2x+2\|+C$		(4.609)

4.7.4 Exercícios resolvidos

ER 4.7.1.

Calcule

\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx

(4.610)

Solução.

Vamos calcular fazendo a decomposição por frações parciais. Começamos observando que $x=1$ é raiz do denominador, donde calculamos a fatoração

2x^{3}+2x^{2}-2x-2=2(x-1)(x+1)^{2}.

(4.611)

Com isso, vemos que o denominador tem raízes $x_{1}=1$ e $x_{2,3}=-1$ . Então, a decomposição por frações parciais do integrando tem a forma

$\displaystyle\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}$	$\displaystyle=\frac{A_{1}}{2x-2}+\frac{A_{2}}{x+1}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{2}}$	(4.612)
	$\displaystyle=\frac{A_{1}(2x+2)^{2}+A_{2}(2x-2)(x+1)+A_{3}(2x-2)}{(2x-2)(x+1)^% {2}}$	(4.613)
	$\displaystyle=\frac{A_{1}(4x^{2}+8x+4)+A_{2}(2x^{2}-2)+A_{3}(2x-2)}{(2x-2)(x+1% )^{2}}$	(4.614)

Por comparação direta, temos

	$\displaystyle 4A_{1}+2A_{2}=0$		(4.615)
	$\displaystyle 8A_{1}+2A_{3}=1$		(4.616)
	$\displaystyle 4A_{1}-2A_{2}-2A_{3}=1$		(4.617)

Resolvendo, obtemos $A_{1}=1/8$ , $A_{2}=-1/4$ e $A_{3}=0$ . Por fim, calculamos a integral como segue

	$\displaystyle\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\frac{1}{8}}{2x-2}\,dx+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}\,dx$		(4.618)
		$\displaystyle=\frac{1}{4}\ln\|x-1\|-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+C$		(4.619)

ER 4.7.2.

Calcule a área entre as curvas $y=5/(x(x^{2}+4))$ , $y=0$ , $x=1$ e $x=2$ .

Solução.

A área pode ser calculada pela integral definida

\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}+4)}\,dx.

(4.620)

Vamos calculá-la pelo método da decomposição por frações parciais

	$\displaystyle\frac{5}{x(x^{2}-4)}$	$\displaystyle=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(x**2+4}$		(4.621)
		$\displaystyle=\frac{A_{1}(x^{2}+4)+(A_{2}x+B_{2})x}{x(x^{2}+4)}$		(4.622)

Por comparação direta, obtemos o seguinte sistema de equações lineares

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(4.623)
	$\displaystyle B_{2}=0$		(4.624)
	$\displaystyle 4A_{1}=5$		(4.625)

Donde, temos os parâmetros $A_{1}=\frac{5}{4}$ , $A_{2}=-\frac{5}{4}$ e $B_{2}=0$ . Com isso, calculamos a integral como segue

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}-4)}\,dx$	$\displaystyle=\int_{1}^{2}\frac{\frac{5}{4}}{x}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{-\frac{5% }{4}x}{x^{2}+4}\,dx$	(4.626)
	$\displaystyle=\frac{5}{4}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{2}-\frac{5}{4}\left[\ln\|x^{2% }+4\|\right]_{1}^{2}$	(4.627)
	$\displaystyle=\frac{5}{4}\ln(2)-\frac{5}{4}\ln(8)+\frac{5}{4}\ln(4)$	(4.628)
	$\displaystyle=\frac{5}{4}\ln(2)$	(4.629)

$-\frac{4}{3}\ln(2)+\ln|3|$

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