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4 Integração 4.7 Integração por frações parciais 5 Aplicações da integral

4.8 Integrais Impróprias

A integral

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(4.635)

é chamada de integral imprópria quando $a,b\to\pm\infty$ ou $f$ tem uma descontinuidade infinita no intervalo $[a,b]$ . Quando a integral existe, dizemos que ela é convergente.

Exemplo 4.8.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{-2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $[-2,\infty)$ é infinito.
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1}e^{x}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o intervalo de integração $(-\infty,1]$ é infinito.
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o integrando $1/(x+1)$ tem uma assíntota vertical no extremo esquerdo do intervalo de integração.
d)

$\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$ Não é uma integral imprópria, pois o integrando é contínuo por partes no intervalo $[0,2]$ .
e)

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x-1}{x^{2}-1}\,dx$ É uma integral imprópria, pois o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=-1$ .

4.8.1 Limites de integração infinitos

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx

(4.636)

calculamos

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.637)

Exemplo 4.8.2.

Vamos calcular

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx

(4.638)

Temos

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx$	(4.639)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}$	(4.640)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[-\cancelto{0}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{1}\right]$	(4.641)
	$\displaystyle=1$	(4.642)

Analogamente, calculamos

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.643)

Exemplo 4.8.3.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx.

(4.644)

Temos

$\displaystyle\int_{-\infty}^{2}e^{x}\,dx$	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{2}e^{x}\,dx$	(4.645)
	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}[e^{x}]_{a}^{2}$	(4.646)
	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}e^{2}-\cancelto{0}{e^{a}}$	(4.647)
	$\displaystyle=e^{2}$	(4.648)

No caso de integrais impróprias da forma

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

(4.649)

escolhemos um $c$ qualquer e calculamos

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty}f(% x)\,dx

(4.650)

Dizemos que a integral é divergente no caso de ao menos uma das integrais à direita ser divergente.

Exemplo 4.8.4.

Vamos calcular

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}

(4.651)

Escolhendo $c=0$ , temos

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{0}\frac{2dx}{1+4x^{2}}+\int_{0}^{\infty}\frac{2% dx}{1+4x^{2}}$	(4.652)
	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{2dx}{1+4x^{2}}+\lim_{b\to% \infty}\int_{0}^{b}\frac{2dx}{1+4x^{2}}$	(4.653)
	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{tg}(2x)]_{a}^% {0}+\lim_{b\to\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{tg}(2x)]_{0}^{b}$	(4.654)
	$\displaystyle=\lim_{a\to-\infty}[\operatorname{arc}\operatorname{tg}(0)-% \cancelto{-\frac{\pi}{4}}{\operatorname{arc}\operatorname{tg}(a)}]_{a}^{0}$	(4.655)
	$\displaystyle+\lim_{b\to\infty}[\cancelto{\frac{\pi}{4}}{\operatorname{arc}% \operatorname{tg}(b)}-\operatorname{arc}\operatorname{tg}(0)]_{0}^{b}$	(4.656)
	$\displaystyle=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$	(4.657)

4.8.2 Integrandos com descontinuidade infinita

No caso de integrais impróprias em que o integrando tem descontinuidade infinita no limite de integração inferior, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{c\to a^{+}}\int_{c}^{b}f(x),dx.

(4.658)

Se a descontinuidade for no limite superior, então calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{c\to b^{-}}\int_{a}^{c}f(x),dx.

(4.659)

Exemplo 4.8.5.

Vamos calcular

\int_{1}^{2}\frac{2x-2}{(x-1)^{2}}\,dx

(4.660)

Temos

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\lim_{c\to 1^{+}}\int_{c}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$		(4.661)
		$\displaystyle=\lim_{c\to 1^{+}}\int_{x=c}^{2}\frac{du}{u^{2}}$		(4.662)

onde, usamos a substituição $u=x-1$ e $du=dx$ . Segue que,

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\lim_{c\to 1^{+}}[-u^{-1}]_{x=c}^{2}$	(4.663)
	$\displaystyle=\lim_{c\to 1^{+}}\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{c}^{2}$	(4.664)
	$\displaystyle=\lim_{c\to 1^{+}}\left[-1+\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{c-1}}\right]$	(4.665)
	$\displaystyle=\infty$	(4.666)

No caso do integrando ter descontinuidade infinita em um ponto interno do limite de integração, calculamos

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx,

(4.667)

onde, $x=c$ é o ponto de descontinuidade de $f$ .

Exemplo 4.8.6.

Vamos calcular

\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}

(4.668)

Fazemos

$\displaystyle\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}$	$\displaystyle=\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3}\frac{dx}{x-2}$	(4.669)
	$\displaystyle=\lim_{c\to 2^{-}}\int_{0}^{c}\frac{dx}{x-2}+\lim_{c\to 2^{+}}% \int_{c}^{3}\frac{dx}{x-2}$	(4.670)
	$\displaystyle=\lim_{c\to 2^{-}}[\ln\|x-2\|]_{0}^{c}+\lim_{x\to 2^{+}}[\ln\|x-2\|]_% {c}^{3}$	(4.671)
	$\displaystyle=\lim_{c\to 2^{-}}[\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}+\ln\|-2\|]_{0}^{c}+% \lim_{x\to 2^{+}}[\ln\|1\|-\cancelto{-\infty}{\ln\|c-2\|}]_{c}^{3}$	(4.672)
	$\displaystyle=-\infty+\infty$	(4.673)

no que concluímos que a integral é divergente.

4.8.3 Exercícios resolvidos

ER 4.8.1.

Para quais valores de $p$ a integral

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}

(4.674)

é convergente.

Solução.

Por definição

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}

(4.675)

Para $p=1$ , temos

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}$	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x}$	(4.676)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{b}$	(4.677)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\cancelto{\infty}{\ln\|b\|}-\ln\|1\|\right]$	(4.678)
	$\displaystyle=\infty$	(4.679)

Ou seja, para $p=1$ a integral é divergente. Agora, para $p\neq 1$ , temos

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{p}}$	(4.680)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b}$	(4.681)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p}\right]$	(4.682)

Para $p<1$ , temos que $b^{1-p}\to\infty$ quando $b\to\infty$ . Agora, para $p>1$ , temos que $b^{1-p}\to 0$ quando $b\to\infty$ . Logo, concluímos que a integral é convergente para $p>1$ e

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{1}{p-1},\quad p>1.

(4.683)

ER 4.8.2.

Calcule

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x-1)^{2}}

(4.684)

Solução.

Notamos que, além do limite de integração infinito, o integrando tem uma descontinuidade infinita em $x=1$ . Logo, calculamos

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x-1}$	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{(x-1)^{2}}$	(4.685)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x% -1)^{2}}\right]$	(4.686)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\left[\lim_{a\to 1^{+}}\left[\frac{1}{1-x}% \right]_{a}^{b}\right]$	(4.687)
	$\displaystyle=\lim_{b\to\infty}\lim_{a\to 1^{+}}\left(\cancelto{0}{\frac{1}{1-% b}}-\cancelto{-\infty}{\frac{1}{1-a}}\right)$	(4.688)
	$\displaystyle=+\infty$	(4.689)

4.8.4 Exercícios

E. 4.8.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{3}}$

Resposta.

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $2$

E. 4.8.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xdx}{\sqrt{x^{2}+1}}$
b)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}\,dx$

Resposta.

a) $\infty$ ; b) $-\frac{\pi}{2}$

E. 4.8.3.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
2.

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x-2}\,dx$

Resposta.

a) $\infty$ ; b) $-\infty$

E. 4.8.4.

Calcule

\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^{2}}

(4.690)

Resposta.

$\infty$

E. 4.8.5.

Calcule

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}

(4.691)

Resposta.

divergente

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